Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \log_{5} (\tan (2 x))$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \log_{5} (x)$ et $g (x) = \tan (2 x)$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\tan (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{5} (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\log_{5} (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1} \ln (5)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (5)} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\tan (2 x)$ .

$\frac{1}{\tan (2 x) \ln (5)} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x$ .

$\frac{1}{\tan (2 x) \ln (5)} (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\tan (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sec^{2} (u_{2})$ .

$\frac{1}{\tan (2 x) \ln (5)} (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$\frac{1}{\tan (2 x) \ln (5)} (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Associez $\sec^{2} (2 x)$ et $\frac{1}{\tan (2 x) \ln (5)}$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x)}{\tan (2 x) \ln (5)} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x)}{\tan (2 x) \ln (5)} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.3

Associez $2$ et $\frac{\sec^{2} (2 x)}{\tan (2 x) \ln (5)}$ .

$\frac{2 \sec^{2} (2 x)}{\tan (2 x) \ln (5)} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 \sec^{2} (2 x)}{\tan (2 x) \ln (5)} \cdot 1$

Étape 1.3.5

Multipliez $\frac{2 \sec^{2} (2 x)}{\tan (2 x) \ln (5)}$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{2 \sec^{2} (2 x)}{\tan (2 x) \ln (5)}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $\frac{2}{\ln (5)}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 \sec^{2} (2 x)}{\tan (2 x) \ln (5)}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{\ln (5)} \frac{d}{d x} [\frac{\sec^{2} (2 x)}{\tan (2 x)}]$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \frac{d}{d x} [\frac{\sec^{2} (2 x)}{\tan (2 x)}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \sec^{2} (2 x)$ et $g (x) = \tan (2 x)$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{\tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)] - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sec (2 x)$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sec (2 x)$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{\tan (2 x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{\tan (2 x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sec (2 x)$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{\tan (2 x) (2 \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

Étape 2.4

Déplacez $2$ à gauche de $\tan (2 x)$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 \cdot \tan (2 x) \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)] - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 \tan (2 x) \sec (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

Étape 2.5.2

La dérivée de $\sec (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 \tan (2 x) \sec (2 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

Étape 2.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 \tan (2 x) \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

Étape 2.6

Élevez $\tan (2 x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 (\tan^{1} (2 x) \tan (2 x)) \sec (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

Étape 2.7

Élevez $\tan (2 x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 (\tan^{1} (2 x) \tan^{1} (2 x)) \sec (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

Étape 2.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 {\tan (2 x)}^{1 + 1} \sec (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

Étape 2.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

Étape 2.10

Élevez $\sec (2 x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 \tan^{2} (2 x) (\sec^{1} (2 x) \sec (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x] - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

Étape 2.11

Élevez $\sec (2 x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 \tan^{2} (2 x) (\sec^{1} (2 x) \sec^{1} (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x] - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

Étape 2.12

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 \tan^{2} (2 x) {\sec (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x] - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

Étape 2.13

Différenciez.

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Étape 2.13.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

Étape 2.13.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

Étape 2.13.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x] - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

Étape 2.13.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \cdot 1 - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

Étape 2.13.5

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

Étape 2.14

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.14.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $2 x$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - \sec^{2} (2 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\tan (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x])}{\tan^{2} (2 x)}$

Étape 2.14.2

La dérivée de $\tan (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $\sec^{2} (u_{3})$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - \sec^{2} (2 x) (\sec^{2} (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x])}{\tan^{2} (2 x)}$

Étape 2.14.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $2 x$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - \sec^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{\tan^{2} (2 x)}$

Étape 2.15

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - {\sec (2 x)}^{2 + 2} \frac{d}{d x} [2 x]}{\tan^{2} (2 x)}$

Étape 2.16

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - \sec^{4} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\tan^{2} (2 x)}$

Étape 2.17

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - \sec^{4} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{\tan^{2} (2 x)}$

Étape 2.18

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - 2 \sec^{4} (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{\tan^{2} (2 x)}$

Étape 2.19

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - 2 \sec^{4} (2 x) \cdot 1}{\tan^{2} (2 x)}$

Étape 2.20

Associez les fractions.

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Étape 2.20.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - 2 \sec^{4} (2 x)}{\tan^{2} (2 x)}$

Étape 2.20.2

Multipliez $\frac{2}{\ln (5)}$ par $\frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - 2 \sec^{4} (2 x)}{\tan^{2} (2 x)}$ .

$\frac{2 (4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - 2 \sec^{4} (2 x))}{\ln (5) \tan^{2} (2 x)}$

Étape 2.21

Simplifiez

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Étape 2.21.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x)) + 2 (- 2 \sec^{4} (2 x))}{\ln (5) \tan^{2} (2 x)}$

Étape 2.21.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.21.2.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{8 (\tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x)) + 2 (- 2 \sec^{4} (2 x))}{\ln (5) \tan^{2} (2 x)}$

Étape 2.21.2.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{8 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - 4 \sec^{4} (2 x)}{\ln (5) \tan^{2} (2 x)}$

Étape 2.21.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{8 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) - 4 \sec^{4} (2 x)}{\tan^{2} (2 x) \ln (5)}$

Étape 2.21.4

Factorisez $4 \sec^{2} (2 x)$ à partir de $8 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) - 4 \sec^{4} (2 x)$ .

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Étape 2.21.4.1

Factorisez $4 \sec^{2} (2 x)$ à partir de $8 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)$ .

$\frac{4 \sec^{2} (2 x) (2 \tan^{2} (2 x)) - 4 \sec^{4} (2 x)}{\tan^{2} (2 x) \ln (5)}$

Étape 2.21.4.2

Factorisez $4 \sec^{2} (2 x)$ à partir de $- 4 \sec^{4} (2 x)$ .

$\frac{4 \sec^{2} (2 x) (2 \tan^{2} (2 x)) + 4 \sec^{2} (2 x) (- \sec^{2} (2 x))}{\tan^{2} (2 x) \ln (5)}$

Étape 2.21.4.3

Factorisez $4 \sec^{2} (2 x)$ à partir de $4 \sec^{2} (2 x) (2 \tan^{2} (2 x)) + 4 \sec^{2} (2 x) (- \sec^{2} (2 x))$ .

$f'' (x) = \frac{4 \sec^{2} (2 x) (2 \tan^{2} (2 x) - \sec^{2} (2 x))}{\tan^{2} (2 x) \ln (5)}$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{4 \sec^{2} (2 x) (2 \tan^{2} (2 x) - \sec^{2} (2 x))}{\tan^{2} (2 x) \ln (5)}$ .

$\frac{4 \sec^{2} (2 x) (2 \tan^{2} (2 x) - \sec^{2} (2 x))}{\tan^{2} (2 x) \ln (5)}$