Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 8 + 3 x + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{6} x^{3} + \frac{5}{24} x^{4} + \frac{1}{120} x^{5}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 + 3 x + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{6} x^{3} + \frac{5}{24} x^{4} + \frac{1}{120} x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Étape 1.1.2

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$0 + 3 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{2} x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 3 + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 3 + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Étape 1.3.3

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$0 + 3 + \frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Étape 1.3.4

Associez $\frac{2}{2}$ et $x$ .

$0 + 3 + \frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Étape 1.3.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$0 + 3 + \frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Étape 1.3.5.2

Divisez $x$ par $1$ .

$0 + 3 + x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{3}]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{6} x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 + 3 + x + \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$0 + 3 + x + \frac{1}{6} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Étape 1.4.3

Associez $3$ et $\frac{1}{6}$ .

$0 + 3 + x + \frac{3}{6} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Étape 1.4.4

Associez $\frac{3}{6}$ et $x^{2}$ .

$0 + 3 + x + \frac{3 x^{2}}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Étape 1.4.5

Annulez le facteur commun à $3$ et $6$ .

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Étape 1.4.5.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$0 + 3 + x + \frac{3 (x^{2})}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Étape 1.4.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$0 + 3 + x + \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Étape 1.4.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$0 + 3 + x + \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Étape 1.4.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$0 + 3 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Étape 1.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{5}{24} x^{4}]$ .

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Étape 1.5.1

Comme $\frac{5}{24}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{5}{24} x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{5}{24} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$0 + 3 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{24} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Étape 1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$0 + 3 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{5}{24} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Étape 1.5.3

Associez $4$ et $\frac{5}{24}$ .

$0 + 3 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{4 \cdot 5}{24} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Étape 1.5.4

Multipliez $4$ par $5$ .

$0 + 3 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{20}{24} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Étape 1.5.5

Associez $\frac{20}{24}$ et $x^{3}$ .

$0 + 3 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{20 x^{3}}{24} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Étape 1.5.6

Annulez le facteur commun à $20$ et $24$ .

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Étape 1.5.6.1

Factorisez $4$ à partir de $20 x^{3}$ .

$0 + 3 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{4 (5 x^{3})}{24} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Étape 1.5.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.6.2.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$0 + 3 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{4 (5 x^{3})}{4 (6)} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Étape 1.5.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$0 + 3 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{4 (5 x^{3})}{4 \cdot 6} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Étape 1.5.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$0 + 3 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{5 x^{3}}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Étape 1.6

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$ .

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Étape 1.6.1

Comme $\frac{1}{120}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{120} x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{120} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$0 + 3 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{5 x^{3}}{6} + \frac{1}{120} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 1.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$0 + 3 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{5 x^{3}}{6} + \frac{1}{120} (5 x^{4})$

Étape 1.6.3

Associez $5$ et $\frac{1}{120}$ .

$0 + 3 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{5 x^{3}}{6} + \frac{5}{120} x^{4}$

Étape 1.6.4

Associez $\frac{5}{120}$ et $x^{4}$ .

$0 + 3 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{5 x^{3}}{6} + \frac{5 x^{4}}{120}$

Étape 1.6.5

Annulez le facteur commun à $5$ et $120$ .

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Étape 1.6.5.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x^{4}$ .

$0 + 3 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{5 x^{3}}{6} + \frac{5 (x^{4})}{120}$

Étape 1.6.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.6.5.2.1

Factorisez $5$ à partir de $120$ .

$0 + 3 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{5 x^{3}}{6} + \frac{5 x^{4}}{5 \cdot 24}$

Étape 1.6.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$0 + 3 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{5 x^{3}}{6} + \frac{5 x^{4}}{5 \cdot 24}$

Étape 1.6.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$0 + 3 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{5 x^{3}}{6} + \frac{x^{4}}{24}$

Étape 1.7

Simplifiez

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Étape 1.7.1

Additionnez $0$ et $3$ .

$3 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{5 x^{3}}{6} + \frac{x^{4}}{24}$

Étape 1.7.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{x^{4}}{24} + \frac{5 x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} + x + 3$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x^{4}}{24} + \frac{5 x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} + x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{24}] + \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{3}}{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{24}] + \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{3}}{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{24}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $\frac{1}{24}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{4}}{24}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{24} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{24} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{3}}{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{1}{24} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{3}}{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.2.3

Associez $4$ et $\frac{1}{24}$ .

$\frac{4}{24} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{3}}{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.2.4

Associez $\frac{4}{24}$ et $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{24} + \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{3}}{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.2.5

Annulez le facteur commun à $4$ et $24$ .

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Étape 2.2.5.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3})}{24} + \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{3}}{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$\frac{4 x^{3}}{4 \cdot 6} + \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{3}}{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x^{3}}{4 \cdot 6} + \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{3}}{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{3}}{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{3}}{6}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $\frac{5}{6}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{5 x^{3}}{6}$ par rapport à $x$ est $\frac{5}{6} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{5}{6} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{5}{6} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.3.3

Associez $3$ et $\frac{5}{6}$ .

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{3 \cdot 5}{6} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.3.4

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{15}{6} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.3.5

Associez $\frac{15}{6}$ et $x^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{15 x^{2}}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.3.6

Annulez le facteur commun à $15$ et $6$ .

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Étape 2.3.6.1

Factorisez $3$ à partir de $15 x^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{3 (5 x^{2})}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{3 (5 x^{2})}{3 (2)} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{3 (5 x^{2})}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{2}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.4.3

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.4.4

Associez $\frac{2}{2}$ et $x$ .

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.4.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.4.5.2

Divisez $x$ par $1$ .

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{5 x^{2}}{2} + x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.5

Différenciez.

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Étape 2.5.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{5 x^{2}}{2} + x + 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.5.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{5 x^{2}}{2} + x + 1 + 0$

Étape 2.5.3

Additionnez $\frac{x^{3}}{6} + \frac{5 x^{2}}{2} + x + 1$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3}}{6} + \frac{5 x^{2}}{2} + x + 1$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{x^{3}}{6} + \frac{5 x^{2}}{2} + x + 1$ .

$\frac{x^{3}}{6} + \frac{5 x^{2}}{2} + x + 1$