Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{2 x + 5}{- 6 x - 8}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 2 x + 5$ et $g (x) = - 6 x - 8$ .

$\frac{(- 6 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 5] - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [- 6 x - 8]}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{(- 6 x - 8) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [- 6 x - 8]}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Étape 1.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(- 6 x - 8) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [- 6 x - 8]}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(- 6 x - 8) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [- 6 x - 8]}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Étape 1.2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{(- 6 x - 8) (2 + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [- 6 x - 8]}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Étape 1.2.5

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(- 6 x - 8) (2 + 0) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [- 6 x - 8]}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Étape 1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.6.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{(- 6 x - 8) \cdot 2 - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [- 6 x - 8]}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Étape 1.2.6.2

Déplacez $2$ à gauche de $- 6 x - 8$ .

$\frac{2 \cdot (- 6 x - 8) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [- 6 x - 8]}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Étape 1.2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 6 x - 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{2 (- 6 x - 8) - (2 x + 5) (\frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Étape 1.2.8

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (- 6 x - 8) - (2 x + 5) (- 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Étape 1.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 (- 6 x - 8) - (2 x + 5) (- 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Étape 1.2.10

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$\frac{2 (- 6 x - 8) - (2 x + 5) (- 6 + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Étape 1.2.11

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (- 6 x - 8) - (2 x + 5) (- 6 + 0)}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Étape 1.2.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.12.1

Additionnez $- 6$ et $0$ .

$\frac{2 (- 6 x - 8) - (2 x + 5) \cdot - 6}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Étape 1.2.12.2

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$\frac{2 (- 6 x - 8) + 6 (2 x + 5)}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- 6 x) + 2 \cdot - 8 + 6 (2 x + 5)}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Étape 1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- 6 x) + 2 \cdot - 8 + 6 (2 x) + 6 \cdot 5}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Étape 1.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.3.1.1

Multipliez $- 6$ par $2$ .

$\frac{- 12 x + 2 \cdot - 8 + 6 (2 x) + 6 \cdot 5}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Étape 1.3.3.1.2

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$\frac{- 12 x - 16 + 6 (2 x) + 6 \cdot 5}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Étape 1.3.3.1.3

Multipliez $2$ par $6$ .

$\frac{- 12 x - 16 + 12 x + 6 \cdot 5}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Étape 1.3.3.1.4

Multipliez $6$ par $5$ .

$\frac{- 12 x - 16 + 12 x + 30}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Étape 1.3.3.2

Associez les termes opposés dans $- 12 x - 16 + 12 x + 30$ .

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Étape 1.3.3.2.1

Additionnez $- 12 x$ et $12 x$ .

$\frac{0 - 16 + 30}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Étape 1.3.3.2.2

Soustrayez $16$ de $0$ .

$\frac{- 16 + 30}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Étape 1.3.3.3

Additionnez $- 16$ et $30$ .

$\frac{14}{{(- 6 x - 8)}^{2}}$

Étape 1.3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6 x - 8$ .

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Étape 1.3.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6 x$ .

$\frac{14}{{(2 (- 3 x) - 8)}^{2}}$

Étape 1.3.4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 8$ .

$\frac{14}{{(2 (- 3 x) + 2 (- 4))}^{2}}$

Étape 1.3.4.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 3 x) + 2 (- 4)$ .

$\frac{14}{{(2 (- 3 x - 4))}^{2}}$

Étape 1.3.4.2

Appliquez la règle de produit à $2 (- 3 x - 4)$ .

$\frac{14}{2^{2} {(- 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.3.4.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{14}{4 {(- 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.3.5

Annulez le facteur commun à $14$ et $4$ .

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Étape 1.3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $14$ .

$\frac{2 (7)}{4 {(- 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 1.3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 {(- 3 x - 4)}^{2}$ .

$\frac{2 (7)}{2 (2 {(- 3 x - 4)}^{2})}$

Étape 1.3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 7}{2 (2 {(- 3 x - 4)}^{2})}$

Étape 1.3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{7}{2 {(- 3 x - 4)}^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.1.1

Comme $\frac{7}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{7}{2 {(- 3 x - 4)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{7}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 3 x - 4)}^{2}}]$ .

$\frac{7}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 3 x - 4)}^{2}}]$

Étape 2.1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(- 3 x - 4)}^{2}}$ comme ${({(- 3 x - 4)}^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{7}{2} \frac{d}{d x} [{({(- 3 x - 4)}^{2})}^{- 1}]$

Étape 2.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(- 3 x - 4)}^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7}{2} \frac{d}{d x} [{(- 3 x - 4)}^{2 \cdot - 1}]$

Étape 2.1.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{7}{2} \frac{d}{d x} [{(- 3 x - 4)}^{- 2}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 2}$ et $g (x) = - 3 x - 4$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 3 x - 4$ .

$\frac{7}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [- 3 x - 4])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$\frac{7}{2} (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [- 3 x - 4])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 3 x - 4$ .

$\frac{7}{2} (- 2 {(- 3 x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- 3 x - 4])$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Associez $- 2$ et $\frac{7}{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot 7}{2} ({(- 3 x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- 3 x - 4])$

Étape 2.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $- 2$ par $7$ .

$\frac{- 14}{2} ({(- 3 x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- 3 x - 4])$

Étape 2.3.2.2

Associez ${(- 3 x - 4)}^{- 3}$ et $\frac{- 14}{2}$ .

$\frac{{(- 3 x - 4)}^{- 3} \cdot - 14}{2} \frac{d}{d x} [- 3 x - 4]$

Étape 2.3.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.2.3.1

Déplacez $- 14$ à gauche de ${(- 3 x - 4)}^{- 3}$ .

$\frac{- 14 \cdot {(- 3 x - 4)}^{- 3}}{2} \frac{d}{d x} [- 3 x - 4]$

Étape 2.3.2.3.2

Placez ${(- 3 x - 4)}^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 14}{2 {(- 3 x - 4)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 3 x - 4]$

Étape 2.3.2.4

Annulez le facteur commun à $- 14$ et $2$ .

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Étape 2.3.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 14$ .

$\frac{2 \cdot - 7}{2 {(- 3 x - 4)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 3 x - 4]$

Étape 2.3.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(- 3 x - 4)}^{3}$ .

$\frac{2 \cdot - 7}{2 ({(- 3 x - 4)}^{3})} \frac{d}{d x} [- 3 x - 4]$

Étape 2.3.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 7}{2 {(- 3 x - 4)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 3 x - 4]$

Étape 2.3.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 7}{{(- 3 x - 4)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 3 x - 4]$

Étape 2.3.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{7}{{(- 3 x - 4)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 3 x - 4]$

Étape 2.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 3 x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$- \frac{7}{{(- 3 x - 4)}^{3}} (\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 2.3.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{7}{{(- 3 x - 4)}^{3}} (- 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{7}{{(- 3 x - 4)}^{3}} (- 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 2.3.6

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$- \frac{7}{{(- 3 x - 4)}^{3}} (- 3 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 2.3.7

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{7}{{(- 3 x - 4)}^{3}} (- 3 + 0)$

Étape 2.3.8

Associez les fractions.

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Étape 2.3.8.1

Additionnez $- 3$ et $0$ .

$- \frac{7}{{(- 3 x - 4)}^{3}} \cdot - 3$

Étape 2.3.8.2

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$3 \frac{7}{{(- 3 x - 4)}^{3}}$

Étape 2.3.8.3

Associez $3$ et $\frac{7}{{(- 3 x - 4)}^{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 7}{{(- 3 x - 4)}^{3}}$

Étape 2.3.8.4

Multipliez $3$ par $7$ .

$f'' (x) = \frac{21}{{(- 3 x - 4)}^{3}}$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{21}{{(- 3 x - 4)}^{3}}$ .

$\frac{21}{{(- 3 x - 4)}^{3}}$