Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = (4 x^{2} + 3 x) \cos (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 4 x^{2} + 3 x$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$(4 x^{2} + 3 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 3 x]$

Étape 1.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$(4 x^{2} + 3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 3 x]$

Étape 1.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{2} + 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$(4 x^{2} + 3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 1.3.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(4 x^{2} + 3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(4 x^{2} + 3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 1.3.4

Multipliez $2$ par $4$ .

$(4 x^{2} + 3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (8 x + \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 1.3.5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 x^{2} + 3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (8 x + 3 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(4 x^{2} + 3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (8 x + 3 \cdot 1)$

Étape 1.3.7

Multipliez $3$ par $1$ .

$(4 x^{2} + 3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (8 x + 3)$

Étape 1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{2} (- \sin (x)) + 3 x (- \sin (x)) + \cos (x) (8 x + 3)$

Étape 1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{2} (- \sin (x)) + 3 x (- \sin (x)) + \cos (x) (8 x) + \cos (x) \cdot 3$

Étape 1.4.3

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4 x^{2} \sin (x) + 3 x (- \sin (x)) + \cos (x) (8 x) + \cos (x) \cdot 3$

Étape 1.4.3.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 4 x^{2} \sin (x) - 3 x \sin (x) + \cos (x) (8 x) + \cos (x) \cdot 3$

Étape 1.4.3.3

Déplacez $3$ à gauche de $\cos (x)$ .

$- 4 x^{2} \sin (x) - 3 x \sin (x) + \cos (x) (8 x) + 3 \cos (x)$

Étape 1.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 4 x^{2} \sin (x) - 3 x \sin (x) + 8 x \cos (x) + 3 \cos (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 4 x^{2} \sin (x) - 3 x \sin (x) + 8 x \cos (x) + 3 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} \sin (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{2} \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$- 4 (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 3 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.2.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 3 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 3 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x \sin (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 \frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.3.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.3.5

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x \cos (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x \cos (x)$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x)) + 8 \frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x)) + 8 (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.4.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x)) + 8 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x)) + 8 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.4.5

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x)) + 8 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x)) + 8 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 2.5.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x)) + 8 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + 3 (- \sin (x))$

Étape 2.5.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x)) + 8 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 3 \sin (x)$

Étape 2.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 (x^{2} \cos (x)) - 4 (\sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x)) + 8 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 3 \sin (x)$

Étape 2.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 (x^{2} \cos (x)) - 4 (\sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x)) - 3 \sin (x) + 8 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 3 \sin (x)$

Étape 2.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 (x^{2} \cos (x)) - 4 (\sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x)) - 3 \sin (x) + 8 (x (- \sin (x))) + 8 \cos (x) - 3 \sin (x)$

Étape 2.6.4

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.4.1

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$- 4 x^{2} \cos (x) - 8 (\sin (x) (x)) - 3 (x \cos (x)) - 3 \sin (x) + 8 (x (- \sin (x))) + 8 \cos (x) - 3 \sin (x)$

Étape 2.6.4.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$- 4 x^{2} \cos (x) - 8 \sin (x) x - 3 x \cos (x) - 3 \sin (x) - 8 (x (\sin (x))) + 8 \cos (x) - 3 \sin (x)$

Étape 2.6.4.3

Soustrayez $8 x \sin (x)$ de $- 8 \sin (x) x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.4.3.1

Déplacez $\sin (x)$ .

$- 4 x^{2} \cos (x) - 8 x \sin (x) - 8 x \sin (x) - 3 x \cos (x) - 3 \sin (x) + 8 \cos (x) - 3 \sin (x)$

Étape 2.6.4.3.2

Soustrayez $8 x \sin (x)$ de $- 8 x \sin (x)$ .

$- 4 x^{2} \cos (x) - 16 x \sin (x) - 3 x \cos (x) - 3 \sin (x) + 8 \cos (x) - 3 \sin (x)$

Étape 2.6.4.4

Soustrayez $3 \sin (x)$ de $- 3 \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 4 x^{2} \cos (x) - 16 x \sin (x) - 3 x \cos (x) - 6 \sin (x) + 8 \cos (x)$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 4 x^{2} \cos (x) - 16 x \sin (x) - 3 x \cos (x) - 6 \sin (x) + 8 \cos (x)$ .

$- 4 x^{2} \cos (x) - 16 x \sin (x) - 3 x \cos (x) - 6 \sin (x) + 8 \cos (x)$