Calcul infinitésimal Exemples

$y (x) = (9 x^{2} - 7 x) (18 x - \frac{97}{x})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 9 x^{2} - 7 x$ et $g (x) = 18 x - \frac{97}{x}$ .

$(9 x^{2} - 7 x) \frac{d}{d x} [18 x - \frac{97}{x}] + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $18 x - \frac{97}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{97}{x}]$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (\frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{97}{x}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Étape 1.2.2

Comme $18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $18 x$ par rapport à $x$ est $18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{97}{x}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{97}{x}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Étape 1.2.4

Multipliez $18$ par $1$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + \frac{d}{d x} [- \frac{97}{x}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Étape 1.2.5

Comme $- 97$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{97}{x}$ par rapport à $x$ est $- 97 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 - 97 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Étape 1.2.6

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 - 97 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Étape 1.2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 - 97 (- x^{- 2})) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Étape 1.2.8

Multipliez $- 1$ par $- 97$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Étape 1.2.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 x^{2} - 7 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

Étape 1.2.10

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

Étape 1.2.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

Étape 1.2.12

Multipliez $2$ par $9$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

Étape 1.2.13

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7 x$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x - 7 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.2.14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x - 7 \cdot 1)$

Étape 1.2.15

Multipliez $- 7$ par $1$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x - 7)$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 \frac{1}{x^{2}}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x - 7)$

Étape 1.3.2

Associez $97$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + \frac{97}{x^{2}}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x - 7)$

Étape 1.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$(18 + \frac{97}{x^{2}}) (9 x^{2} - 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Étape 1.3.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.4.1

Développez $(18 + \frac{97}{x^{2}}) (9 x^{2} - 7 x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.3.4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$18 (9 x^{2} - 7 x) + \frac{97}{x^{2}} (9 x^{2} - 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Étape 1.3.4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$18 (9 x^{2}) + 18 (- 7 x) + \frac{97}{x^{2}} (9 x^{2} - 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Étape 1.3.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$18 (9 x^{2}) + 18 (- 7 x) + \frac{97}{x^{2}} (9 x^{2}) + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Étape 1.3.4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.4.2.1

Multipliez $9$ par $18$ .

$162 x^{2} + 18 (- 7 x) + \frac{97}{x^{2}} (9 x^{2}) + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Étape 1.3.4.2.2

Multipliez $- 7$ par $18$ .

$162 x^{2} - 126 x + \frac{97}{x^{2}} (9 x^{2}) + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Étape 1.3.4.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$162 x^{2} - 126 x + 9 \frac{97}{x^{2}} x^{2} + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Étape 1.3.4.2.4

Multipliez $9 \frac{97}{x^{2}}$ .

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Étape 1.3.4.2.4.1

Associez $9$ et $\frac{97}{x^{2}}$ .

$162 x^{2} - 126 x + \frac{9 \cdot 97}{x^{2}} x^{2} + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Étape 1.3.4.2.4.2

Multipliez $9$ par $97$ .

$162 x^{2} - 126 x + \frac{873}{x^{2}} x^{2} + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Étape 1.3.4.2.5

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 1.3.4.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$162 x^{2} - 126 x + \frac{873}{x^{2}} x^{2} + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Étape 1.3.4.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Étape 1.3.4.2.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - 7 \frac{97}{x^{2}} x + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Étape 1.3.4.2.7

Multipliez $- 7 \frac{97}{x^{2}}$ .

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Étape 1.3.4.2.7.1

Associez $- 7$ et $\frac{97}{x^{2}}$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{- 7 \cdot 97}{x^{2}} x + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Étape 1.3.4.2.7.2

Multipliez $- 7$ par $97$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{- 679}{x^{2}} x + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Étape 1.3.4.2.8

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.3.4.2.8.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{- 679}{x \cdot x} x + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Étape 1.3.4.2.8.2

Annulez le facteur commun.

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{- 679}{x \cdot x} x + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Étape 1.3.4.2.8.3

Réécrivez l’expression.

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{- 679}{x} + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Étape 1.3.4.2.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Étape 1.3.4.3

Développez $(18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.3.4.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 x (18 x - \frac{97}{x}) - 7 (18 x - \frac{97}{x})$

Étape 1.3.4.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 x (18 x) + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x - \frac{97}{x})$

Étape 1.3.4.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 x (18 x) + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Étape 1.3.4.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.4.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 \cdot 18 x \cdot x + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Étape 1.3.4.4.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.4.4.2.1

Déplacez $x$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 \cdot 18 (x \cdot x) + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Étape 1.3.4.4.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 \cdot 18 x^{2} + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Étape 1.3.4.4.3

Multipliez $18$ par $18$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Étape 1.3.4.4.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.3.4.4.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{97}{x}$ dans le numérateur.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} + 18 x \frac{- 97}{x} - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Étape 1.3.4.4.4.2

Factorisez $x$ à partir de $18 x$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} + x \cdot 18 \frac{- 97}{x} - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Étape 1.3.4.4.4.3

Annulez le facteur commun.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} + x \cdot 18 \frac{- 97}{x} - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Étape 1.3.4.4.4.4

Réécrivez l’expression.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} + 18 \cdot - 97 - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Étape 1.3.4.4.5

Multipliez $18$ par $- 97$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Étape 1.3.4.4.6

Multipliez $18$ par $- 7$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 126 x - 7 (- \frac{97}{x})$

Étape 1.3.4.4.7

Multipliez $- 7 (- \frac{97}{x})$ .

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Étape 1.3.4.4.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 126 x + 7 \frac{97}{x}$

Étape 1.3.4.4.7.2

Associez $7$ et $\frac{97}{x}$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 126 x + \frac{7 \cdot 97}{x}$

Étape 1.3.4.4.7.3

Multipliez $7$ par $97$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 126 x + \frac{679}{x}$

Étape 1.3.5

Associez les termes opposés dans $162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 126 x + \frac{679}{x}$ .

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Étape 1.3.5.1

Additionnez $- \frac{679}{x}$ et $\frac{679}{x}$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 + 324 x^{2} - 1746 - 126 x + 0$

Étape 1.3.5.2

Additionnez $162 x^{2} - 126 x + 873 + 324 x^{2} - 1746 - 126 x$ et $0$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 + 324 x^{2} - 1746 - 126 x$

Étape 1.3.6

Additionnez $162 x^{2}$ et $324 x^{2}$ .

$486 x^{2} - 126 x + 873 - 1746 - 126 x$

Étape 1.3.7

Soustrayez $126 x$ de $- 126 x$ .

$486 x^{2} - 252 x + 873 - 1746$

Étape 1.3.8

Soustrayez $1746$ de $873$ .

$f' (x) = 486 x^{2} - 252 x - 873$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $486 x^{2} - 252 x - 873$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [486 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 252 x] + \frac{d}{d x} [- 873]$ .

$\frac{d}{d x} [486 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 252 x] + \frac{d}{d x} [- 873]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [486 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $486$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $486 x^{2}$ par rapport à $x$ est $486 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$486 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 252 x] + \frac{d}{d x} [- 873]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$486 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 252 x] + \frac{d}{d x} [- 873]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $486$ .

$972 x + \frac{d}{d x} [- 252 x] + \frac{d}{d x} [- 873]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 252 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 252$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 252 x$ par rapport à $x$ est $- 252 \frac{d}{d x} [x]$ .

$972 x - 252 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 873]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$972 x - 252 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 873]$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 252$ par $1$ .

$972 x - 252 + \frac{d}{d x} [- 873]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $- 873$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 873$ par rapport à $x$ est $0$ .

$972 x - 252 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $972 x - 252$ et $0$ .

$f'' (x) = 972 x - 252$

Étape 3

La dérivée seconde de $y (x)$ par rapport à $x$ est $972 x - 252$ .

$972 x - 252$