Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 5 x^{2} \sin (x) + 4 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{2} \sin (x) + 4 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{2} \sin (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2} \sin (x)$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 1.2.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$5 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 4 \cdot 1$

Étape 1.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$5 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 4$

Étape 1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 (x^{2} \cos (x)) + 5 (\sin (x) (2 x)) + 4$

Étape 1.4.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$5 x^{2} \cos (x) + 10 \sin (x) x + 4$

Étape 1.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 5 x^{2} \cos (x) + 10 x \sin (x) + 4$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{2} \cos (x) + 10 x \sin (x) + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [10 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [10 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{2} \cos (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2} \cos (x)$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [10 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [10 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.2.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$5 (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [10 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [10 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [10 x \sin (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x \sin (x)$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$5 (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) + 10 \frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$5 (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) + 10 (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.3.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$5 (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) + 10 (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) + 10 (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.3.5

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$5 (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) + 10 (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$5 (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) + 10 (x \cos (x) + \sin (x)) + 0$

Étape 2.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 (x^{2} (- \sin (x))) + 5 (\cos (x) (2 x)) + 10 (x \cos (x) + \sin (x)) + 0$

Étape 2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$5 (x^{2} (- \sin (x))) + 5 (\cos (x) (2 x)) + 10 (x \cos (x)) + 10 \sin (x) + 0$

Étape 2.5.3

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.3.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$- 5 (x^{2} (\sin (x))) + 5 (\cos (x) (2 x)) + 10 (x \cos (x)) + 10 \sin (x) + 0$

Étape 2.5.3.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$- 5 x^{2} \sin (x) + 10 (\cos (x) (x)) + 10 (x \cos (x)) + 10 \sin (x) + 0$

Étape 2.5.3.3

Additionnez $10 \cos (x) x$ et $10 x \cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.3.3.1

Déplacez $\cos (x)$ .

$- 5 x^{2} \sin (x) + 10 x \cos (x) + 10 x \cos (x) + 10 \sin (x) + 0$

Étape 2.5.3.3.2

Additionnez $10 x \cos (x)$ et $10 x \cos (x)$ .

$- 5 x^{2} \sin (x) + 20 x \cos (x) + 10 \sin (x) + 0$

Étape 2.5.3.4

Additionnez $- 5 x^{2} \sin (x) + 20 x \cos (x) + 10 \sin (x)$ et $0$ .

$f'' (x) = - 5 x^{2} \sin (x) + 20 x \cos (x) + 10 \sin (x)$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 5 x^{2} \sin (x) + 20 x \cos (x) + 10 \sin (x)$ .

$- 5 x^{2} \sin (x) + 20 x \cos (x) + 10 \sin (x)$