Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - 8 x^{2} - 5 e^{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 8 x^{2} - 5 e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$- 16 x + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 e^{x}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$- 16 x - 5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = - 16 x - 5 e^{x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 16 x - 5 e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16 x$ par rapport à $x$ est $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 16$ par $1$ .

$- 16 + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 e^{x}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$- 16 - 5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 16 - 5 e^{x}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Différenciez.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 16 - 5 e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Étape 3.1.2

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 e^{x}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$0 - 5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$0 - 5 e^{x}$

Étape 3.3

Soustrayez $5 e^{x}$ de $0$ .

$f''' (x) = - 5 e^{x}$

Étape 4

La dérivée troisième de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 5 e^{x}$ .

$- 5 e^{x}$