Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{9}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{9}$ et $g (x) = 3 x^{2} - 8 x + 80$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x^{2} - 8 x + 80$ .

$\frac{d}{d u} [u^{9}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 80]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 9$ .

$9 u^{8} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 80]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x^{2} - 8 x + 80$ .

$9 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 80]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 8 x + 80$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [80]$ .

$9 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [80])$

Étape 1.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [80])$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$9 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [80])$

Étape 1.2.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$9 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} (6 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [80])$

Étape 1.2.5

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} (6 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [80])$

Étape 1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$9 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} (6 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [80])$

Étape 1.2.7

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$9 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} (6 x - 8 + \frac{d}{d x} [80])$

Étape 1.2.8

Comme $80$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $80$ par rapport à $x$ est $0$ .

$9 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} (6 x - 8 + 0)$

Étape 1.2.9

Additionnez $6 x - 8$ et $0$ .

$f' (x) = 9 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} (6 x - 8)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} (6 x - 8)$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} (6 x - 8)]$ .

$9 \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} (6 x - 8)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8}$ et $g (x) = 6 x - 8$ .

$9 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} \frac{d}{d x} [6 x - 8] + (6 x - 8) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8}])$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x - 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$9 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + (6 x - 8) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8}])$

Étape 2.3.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + (6 x - 8) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8}])$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$9 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]) + (6 x - 8) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8}])$

Étape 2.3.4

Multipliez $6$ par $1$ .

$9 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} (6 + \frac{d}{d x} [- 8]) + (6 x - 8) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8}])$

Étape 2.3.5

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$9 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} (6 + 0) + (6 x - 8) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8}])$

Étape 2.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.6.1

Additionnez $6$ et $0$ .

$9 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} \cdot 6 + (6 x - 8) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8}])$

Étape 2.3.6.2

Déplacez $6$ à gauche de ${(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8}$ .

$9 (6 \cdot {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + (6 x - 8) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8}])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{8}$ et $g (x) = 3 x^{2} - 8 x + 80$ .

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Étape 2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x^{2} - 8 x + 80$ .

$9 (6 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + (6 x - 8) (\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 80]))$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 8$ .

$9 (6 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + (6 x - 8) (8 u^{7} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 80]))$

Étape 2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x^{2} - 8 x + 80$ .

$9 (6 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + (6 x - 8) (8 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 80]))$

Étape 2.5

Différenciez.

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Étape 2.5.1

Déplacez $8$ à gauche de $6 x - 8$ .

$9 (6 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + 8 \cdot (6 x - 8) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 80])$

Étape 2.5.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 8 x + 80$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [80]$ .

$9 (6 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + 8 (6 x - 8) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [80]))$

Étape 2.5.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 (6 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + 8 (6 x - 8) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [80]))$

Étape 2.5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$9 (6 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + 8 (6 x - 8) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [80]))$

Étape 2.5.5

Multipliez $2$ par $3$ .

$9 (6 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + 8 (6 x - 8) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (6 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [80]))$

Étape 2.5.6

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 (6 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + 8 (6 x - 8) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (6 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [80]))$

Étape 2.5.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$9 (6 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + 8 (6 x - 8) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (6 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [80]))$

Étape 2.5.8

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$9 (6 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + 8 (6 x - 8) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (6 x - 8 + \frac{d}{d x} [80]))$

Étape 2.5.9

Comme $80$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $80$ par rapport à $x$ est $0$ .

$9 (6 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + 8 (6 x - 8) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (6 x - 8 + 0))$

Étape 2.5.10

Additionnez $6 x - 8$ et $0$ .

$9 (6 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + 8 (6 x - 8) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (6 x - 8))$

Étape 2.6

Élevez $6 x - 8$ à la puissance $1$ .

$9 (6 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + 8 ({(6 x - 8)}^{1} (6 x - 8)) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7})$

Étape 2.7

Élevez $6 x - 8$ à la puissance $1$ .

$9 (6 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + 8 ({(6 x - 8)}^{1} {(6 x - 8)}^{1}) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7})$

Étape 2.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$9 (6 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + 8 {(6 x - 8)}^{1 + 1} {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7})$

Étape 2.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$9 (6 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + 8 {(6 x - 8)}^{2} {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7})$

Étape 2.10

Simplifiez

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Étape 2.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$9 (6 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8}) + 9 (8 {(6 x - 8)}^{2} {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7})$

Étape 2.10.2

Multipliez $6$ par $9$ .

$54 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + 9 (8 {(6 x - 8)}^{2} {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7})$

Étape 2.10.3

Multipliez $8$ par $9$ .

$54 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + 72 ({(6 x - 8)}^{2} {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7})$

Étape 2.10.4

Factorisez $18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7}$ à partir de $54 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + 72 {(6 x - 8)}^{2} {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7}$ .

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Étape 2.10.4.1

Factorisez $18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7}$ à partir de $54 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8}$ .

$18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (3 (3 x^{2} - 8 x + 80)) + 72 {(6 x - 8)}^{2} {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7}$

Étape 2.10.4.2

Factorisez $18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7}$ à partir de $72 {(6 x - 8)}^{2} {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7}$ .

$18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (3 (3 x^{2} - 8 x + 80)) + 18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (4 {(6 x - 8)}^{2})$

Étape 2.10.4.3

Factorisez $18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7}$ à partir de $18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (3 (3 x^{2} - 8 x + 80)) + 18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (4 {(6 x - 8)}^{2})$ .

$f'' (x) = 18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (3 (3 x^{2} - 8 x + 80) + 4 {(6 x - 8)}^{2})$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 3.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (3 (3 x^{2}) + 3 (- 8 x) + 3 \cdot 80 + 4 {(6 x - 8)}^{2})]$

Étape 3.1.1.2

Simplifiez

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Étape 3.1.1.2.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} + 3 (- 8 x) + 3 \cdot 80 + 4 {(6 x - 8)}^{2})]$

Étape 3.1.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $3$ .

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} - 24 x + 3 \cdot 80 + 4 {(6 x - 8)}^{2})]$

Étape 3.1.1.2.3

Multipliez $3$ par $80$ .

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} - 24 x + 240 + 4 {(6 x - 8)}^{2})]$

Étape 3.1.1.3

Réécrivez ${(6 x - 8)}^{2}$ comme $(6 x - 8) (6 x - 8)$ .

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} - 24 x + 240 + 4 ((6 x - 8) (6 x - 8)))]$

Étape 3.1.1.4

Développez $(6 x - 8) (6 x - 8)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} - 24 x + 240 + 4 (6 x (6 x - 8) - 8 (6 x - 8)))]$

Étape 3.1.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} - 24 x + 240 + 4 (6 x (6 x) + 6 x \cdot - 8 - 8 (6 x - 8)))]$

Étape 3.1.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} - 24 x + 240 + 4 (6 x (6 x) + 6 x \cdot - 8 - 8 (6 x) - 8 \cdot - 8))]$

Étape 3.1.1.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1.5.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} - 24 x + 240 + 4 (6 \cdot 6 x \cdot x + 6 x \cdot - 8 - 8 (6 x) - 8 \cdot - 8))]$

Étape 3.1.1.5.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.1.5.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} - 24 x + 240 + 4 (6 \cdot 6 (x \cdot x) + 6 x \cdot - 8 - 8 (6 x) - 8 \cdot - 8))]$

Étape 3.1.1.5.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} - 24 x + 240 + 4 (6 \cdot 6 x^{2} + 6 x \cdot - 8 - 8 (6 x) - 8 \cdot - 8))]$

Étape 3.1.1.5.1.3

Multipliez $6$ par $6$ .

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} - 24 x + 240 + 4 (36 x^{2} + 6 x \cdot - 8 - 8 (6 x) - 8 \cdot - 8))]$

Étape 3.1.1.5.1.4

Multipliez $- 8$ par $6$ .

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} - 24 x + 240 + 4 (36 x^{2} - 48 x - 8 (6 x) - 8 \cdot - 8))]$

Étape 3.1.1.5.1.5

Multipliez $6$ par $- 8$ .

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} - 24 x + 240 + 4 (36 x^{2} - 48 x - 48 x - 8 \cdot - 8))]$

Étape 3.1.1.5.1.6

Multipliez $- 8$ par $- 8$ .

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} - 24 x + 240 + 4 (36 x^{2} - 48 x - 48 x + 64))]$

Étape 3.1.1.5.2

Soustrayez $48 x$ de $- 48 x$ .

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} - 24 x + 240 + 4 (36 x^{2} - 96 x + 64))]$

Étape 3.1.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} - 24 x + 240 + 4 (36 x^{2}) + 4 (- 96 x) + 4 \cdot 64)]$

Étape 3.1.1.7

Simplifiez

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Étape 3.1.1.7.1

Multipliez $36$ par $4$ .

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} - 24 x + 240 + 144 x^{2} + 4 (- 96 x) + 4 \cdot 64)]$

Étape 3.1.1.7.2

Multipliez $- 96$ par $4$ .

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} - 24 x + 240 + 144 x^{2} - 384 x + 4 \cdot 64)]$

Étape 3.1.1.7.3

Multipliez $4$ par $64$ .

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} - 24 x + 240 + 144 x^{2} - 384 x + 256)]$

Étape 3.1.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.1.2.1

Additionnez $9 x^{2}$ et $144 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (153 x^{2} - 24 x + 240 - 384 x + 256)]$

Étape 3.1.2.2

Soustrayez $384 x$ de $- 24 x$ .

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (153 x^{2} - 408 x + 240 + 256)]$

Étape 3.1.2.3

Additionnez $240$ et $256$ .

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (153 x^{2} - 408 x + 496)]$

Étape 3.1.3

Comme $18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (153 x^{2} - 408 x + 496)$ par rapport à $x$ est $18 \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (153 x^{2} - 408 x + 496)]$ .

$18 \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (153 x^{2} - 408 x + 496)]$

Étape 3.2

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} \frac{d}{d x} [153 x^{2} - 408 x + 496] + (153 x^{2} - 408 x + 496) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7}])$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $153 x^{2} - 408 x + 496$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [153 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 408 x] + \frac{d}{d x} [496]$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (\frac{d}{d x} [153 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 408 x] + \frac{d}{d x} [496]) + (153 x^{2} - 408 x + 496) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7}])$

Étape 3.3.2

Comme $153$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $153 x^{2}$ par rapport à $x$ est $153 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (153 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 408 x] + \frac{d}{d x} [496]) + (153 x^{2} - 408 x + 496) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7}])$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (153 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 408 x] + \frac{d}{d x} [496]) + (153 x^{2} - 408 x + 496) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7}])$

Étape 3.3.4

Multipliez $2$ par $153$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x + \frac{d}{d x} [- 408 x] + \frac{d}{d x} [496]) + (153 x^{2} - 408 x + 496) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7}])$

Étape 3.3.5

Comme $- 408$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 408 x$ par rapport à $x$ est $- 408 \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [496]) + (153 x^{2} - 408 x + 496) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7}])$

Étape 3.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [496]) + (153 x^{2} - 408 x + 496) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7}])$

Étape 3.3.7

Multipliez $- 408$ par $1$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408 + \frac{d}{d x} [496]) + (153 x^{2} - 408 x + 496) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7}])$

Étape 3.3.8

Comme $496$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $496$ par rapport à $x$ est $0$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408 + 0) + (153 x^{2} - 408 x + 496) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7}])$

Étape 3.3.9

Additionnez $306 x - 408$ et $0$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + (153 x^{2} - 408 x + 496) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7}])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{7}$ et $g (x) = 3 x^{2} - 8 x + 80$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x^{2} - 8 x + 80$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + (153 x^{2} - 408 x + 496) (\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 80]))$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + (153 x^{2} - 408 x + 496) (7 u^{6} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 80]))$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x^{2} - 8 x + 80$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + (153 x^{2} - 408 x + 496) (7 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 80]))$

Étape 3.5

Différenciez.

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Étape 3.5.1

Déplacez $7$ à gauche de $153 x^{2} - 408 x + 496$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + 7 \cdot (153 x^{2} - 408 x + 496) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 80])$

Étape 3.5.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 8 x + 80$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [80]$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + 7 (153 x^{2} - 408 x + 496) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [80]))$

Étape 3.5.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + 7 (153 x^{2} - 408 x + 496) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [80]))$

Étape 3.5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + 7 (153 x^{2} - 408 x + 496) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [80]))$

Étape 3.5.5

Multipliez $2$ par $3$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + 7 (153 x^{2} - 408 x + 496) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} (6 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [80]))$

Étape 3.5.6

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + 7 (153 x^{2} - 408 x + 496) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} (6 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [80]))$

Étape 3.5.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + 7 (153 x^{2} - 408 x + 496) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} (6 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [80]))$

Étape 3.5.8

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + 7 (153 x^{2} - 408 x + 496) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} (6 x - 8 + \frac{d}{d x} [80]))$

Étape 3.5.9

Comme $80$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $80$ par rapport à $x$ est $0$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + 7 (153 x^{2} - 408 x + 496) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} (6 x - 8 + 0))$

Étape 3.5.10

Additionnez $6 x - 8$ et $0$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + 7 (153 x^{2} - 408 x + 496) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} (6 x - 8))$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + (7 (153 x^{2}) + 7 (- 408 x) + 7 \cdot 496) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} (6 x - 8))$

Étape 3.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408)) + 18 ((7 (153 x^{2}) + 7 (- 408 x) + 7 \cdot 496) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} (6 x - 8))$

Étape 3.6.3

Multipliez $153$ par $7$ .

$18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + 18 ((1071 x^{2} + 7 (- 408 x) + 7 \cdot 496) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} (6 x - 8))$

Étape 3.6.4

Multipliez $- 408$ par $7$ .

$18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + 18 ((1071 x^{2} - 2856 x + 7 \cdot 496) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} (6 x - 8))$

Étape 3.6.5

Multipliez $7$ par $496$ .

$18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + 18 ((1071 x^{2} - 2856 x + 3472) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} (6 x - 8))$

Étape 3.6.6

Factorisez $18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6}$ à partir de $18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + 18 (1071 x^{2} - 2856 x + 3472) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} (6 x - 8)$ .

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Étape 3.6.6.1

Factorisez $18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6}$ à partir de $18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408)$ .

$18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} ((3 x^{2} - 8 x + 80) (306 x - 408)) + 18 (1071 x^{2} - 2856 x + 3472) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} (6 x - 8)$

Étape 3.6.6.2

Factorisez $18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6}$ à partir de $18 (1071 x^{2} - 2856 x + 3472) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} (6 x - 8)$ .

$18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} ((3 x^{2} - 8 x + 80) (306 x - 408)) + 18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} ((1071 x^{2} - 2856 x + 3472) (6 x - 8))$

Étape 3.6.6.3

Factorisez $18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6}$ à partir de $18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} ((3 x^{2} - 8 x + 80) (306 x - 408)) + 18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} ((1071 x^{2} - 2856 x + 3472) (6 x - 8))$ .

$f''' (x) = 18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} ((3 x^{2} - 8 x + 80) (306 x - 408) + (1071 x^{2} - 2856 x + 3472) (6 x - 8))$

Étape 4

La dérivée troisième de $f (x)$ par rapport à $x$ est $18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} ((3 x^{2} - 8 x + 80) (306 x - 408) + (1071 x^{2} - 2856 x + 3472) (6 x - 8))$ .

$18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} ((3 x^{2} - 8 x + 80) (306 x - 408) + (1071 x^{2} - 2856 x + 3472) (6 x - 8))$