Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 \tan (3 x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 \tan (3 x)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x$ .

$4 (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\sec^{2} (u)$ .

$4 (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$4 (\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \sec^{2} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 \sec^{2} (3 x) \cdot 1$

Étape 1.3.4

Multipliez $12$ par $1$ .

$f' (x) = 12 \sec^{2} (3 x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 \sec^{2} (3 x)$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (3 x)]$ .

$12 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (3 x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sec (3 x)$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sec (3 x)$ .

$12 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (3 x)])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sec (3 x)$ .

$12 (2 \sec (3 x) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)])$

Étape 2.3

Multipliez $2$ par $12$ .

$24 (\sec (3 x) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $3 x$ .

$24 \sec (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 2.4.2

La dérivée de $\sec (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$24 \sec (3 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 x$ .

$24 \sec (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 2.5

Élevez $\sec (3 x)$ à la puissance $1$ .

$24 (\sec^{1} (3 x) \sec (3 x)) (\tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 2.6

Élevez $\sec (3 x)$ à la puissance $1$ .

$24 (\sec^{1} (3 x) \sec^{1} (3 x)) (\tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$24 {\sec (3 x)}^{1 + 1} (\tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$24 \sec^{2} (3 x) (\tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 2.9

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 \sec^{2} (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.10

Multipliez $3$ par $24$ .

$72 \sec^{2} (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$72 \sec^{2} (3 x) \tan (3 x) \cdot 1$

Étape 2.12

Multipliez $72$ par $1$ .

$f'' (x) = 72 \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Comme $72$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $72 \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$ par rapport à $x$ est $72 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (3 x) \tan (3 x)]$ .

$72 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (3 x) \tan (3 x)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sec^{2} (3 x)$ et $g (x) = \tan (3 x)$ .

$72 (\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\tan (3 x)] + \tan (3 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (3 x)])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $3 x$ .

$72 (\sec^{2} (3 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]) + \tan (3 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (3 x)])$

Étape 3.3.2

La dérivée de $\tan (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\sec^{2} (u_{1})$ .

$72 (\sec^{2} (3 x) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x]) + \tan (3 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (3 x)])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 x$ .

$72 (\sec^{2} (3 x) (\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \tan (3 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (3 x)])$

Étape 3.4

Multipliez $\sec^{2} (3 x)$ par $\sec^{2} (3 x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.1

Déplacez $\sec^{2} (3 x)$ .

$72 (\sec^{2} (3 x) \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \tan (3 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (3 x)])$

Étape 3.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$72 ({\sec (3 x)}^{2 + 2} \frac{d}{d x} [3 x] + \tan (3 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (3 x)])$

Étape 3.4.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$72 (\sec^{4} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \tan (3 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (3 x)])$

Étape 3.5

Différenciez.

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Étape 3.5.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$72 (\sec^{4} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]) + \tan (3 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (3 x)])$

Étape 3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$72 (\sec^{4} (3 x) (3 \cdot 1) + \tan (3 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (3 x)])$

Étape 3.5.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.3.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$72 (\sec^{4} (3 x) \cdot 3 + \tan (3 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (3 x)])$

Étape 3.5.3.2

Déplacez $3$ à gauche de $\sec^{4} (3 x)$ .

$72 (3 \cdot \sec^{4} (3 x) + \tan (3 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (3 x)])$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sec (3 x)$ .

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Étape 3.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\sec (3 x)$ .

$72 (3 \sec^{4} (3 x) + \tan (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]))$

Étape 3.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$72 (3 \sec^{4} (3 x) + \tan (3 x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]))$

Étape 3.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sec (3 x)$ .

$72 (3 \sec^{4} (3 x) + \tan (3 x) (2 \sec (3 x) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]))$

Étape 3.7

Déplacez $2$ à gauche de $\tan (3 x)$ .

$72 (3 \sec^{4} (3 x) + 2 \cdot \tan (3 x) \sec (3 x) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)])$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 3.8.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $3 x$ .

$72 (3 \sec^{4} (3 x) + 2 \tan (3 x) \sec (3 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d x} [3 x]))$

Étape 3.8.2

La dérivée de $\sec (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ .

$72 (3 \sec^{4} (3 x) + 2 \tan (3 x) \sec (3 x) (\sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d x} [3 x]))$

Étape 3.8.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $3 x$ .

$72 (3 \sec^{4} (3 x) + 2 \tan (3 x) \sec (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]))$

Étape 3.9

Élevez $\tan (3 x)$ à la puissance $1$ .

$72 (3 \sec^{4} (3 x) + 2 (\tan^{1} (3 x) \tan (3 x)) \sec (3 x) (\sec (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]))$

Étape 3.10

Élevez $\tan (3 x)$ à la puissance $1$ .

$72 (3 \sec^{4} (3 x) + 2 (\tan^{1} (3 x) \tan^{1} (3 x)) \sec (3 x) (\sec (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]))$

Étape 3.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$72 (3 \sec^{4} (3 x) + 2 {\tan (3 x)}^{1 + 1} \sec (3 x) (\sec (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]))$

Étape 3.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$72 (3 \sec^{4} (3 x) + 2 \tan^{2} (3 x) \sec (3 x) (\sec (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]))$

Étape 3.13

Élevez $\sec (3 x)$ à la puissance $1$ .

$72 (3 \sec^{4} (3 x) + 2 \tan^{2} (3 x) (\sec^{1} (3 x) \sec (3 x)) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 3.14

Élevez $\sec (3 x)$ à la puissance $1$ .

$72 (3 \sec^{4} (3 x) + 2 \tan^{2} (3 x) (\sec^{1} (3 x) \sec^{1} (3 x)) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 3.15

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$72 (3 \sec^{4} (3 x) + 2 \tan^{2} (3 x) {\sec (3 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 3.16

Additionnez $1$ et $1$ .

$72 (3 \sec^{4} (3 x) + 2 \tan^{2} (3 x) \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 3.17

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$72 (3 \sec^{4} (3 x) + 2 \tan^{2} (3 x) \sec^{2} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 3.18

Multipliez $3$ par $2$ .

$72 (3 \sec^{4} (3 x) + 6 \tan^{2} (3 x) \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.19

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$72 (3 \sec^{4} (3 x) + 6 \tan^{2} (3 x) \sec^{2} (3 x) \cdot 1)$

Étape 3.20

Multipliez $6$ par $1$ .

$72 (3 \sec^{4} (3 x) + 6 \tan^{2} (3 x) \sec^{2} (3 x))$

Étape 3.21

Simplifiez

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Étape 3.21.1

Appliquez la propriété distributive.

$72 (3 \sec^{4} (3 x)) + 72 (6 \tan^{2} (3 x) \sec^{2} (3 x))$

Étape 3.21.2

Associez des termes.

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Étape 3.21.2.1

Multipliez $3$ par $72$ .

$216 \sec^{4} (3 x) + 72 (6 \tan^{2} (3 x) \sec^{2} (3 x))$

Étape 3.21.2.2

Multipliez $6$ par $72$ .

$216 \sec^{4} (3 x) + 432 \tan^{2} (3 x) \sec^{2} (3 x)$

Étape 3.21.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f''' (x) = 432 \sec^{2} (3 x) \tan^{2} (3 x) + 216 \sec^{4} (3 x)$

Étape 4

La dérivée troisième de $f (x)$ par rapport à $x$ est $432 \sec^{2} (3 x) \tan^{2} (3 x) + 216 \sec^{4} (3 x)$ .

$432 \sec^{2} (3 x) \tan^{2} (3 x) + 216 \sec^{4} (3 x)$