Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = x f^{- 1} (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d x} [x \frac{1}{f} x]$

Étape 1.2

Associez $x$ et $\frac{1}{f}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{f} x]$

Étape 1.3

Associez $\frac{x}{f}$ et $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x \cdot x}{f}]$

Étape 1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{1} x}{f}]$

Étape 1.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{1} x^{1}}{f}]$

Étape 1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{1 + 1}}{f}]$

Étape 1.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{f}]$

Étape 1.8

Comme $\frac{1}{f}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{2}}{f}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{f} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{f} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{f} (2 x)$

Étape 1.10

Associez les fractions.

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Étape 1.10.1

Associez $2$ et $\frac{1}{f}$ .

$\frac{2}{f} x$

Étape 1.10.2

Associez $\frac{2}{f}$ et $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{f}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $\frac{2}{f}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 x}{f}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{f} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{f} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2}{f} \cdot 1$

Étape 2.3

Multipliez $\frac{2}{f}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{f}$

Étape 3

Comme $\frac{2}{f}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{f}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f''' (x) = 0$

Étape 4

La dérivée troisième de $g (x)$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$