Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 a^{3 x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 a^{3 x}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance généralisée qui indique que $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ est $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ où $f = a$ et $g = 3 x$ .

$3 (\frac{d}{d x} [a] (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Comme $a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $a$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 (0 (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Étape 1.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.2.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$3 (0 (x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Étape 1.3.2.2

Multipliez $x$ par $0$ .

$3 (0 a^{3 x - 1} + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Étape 1.3.2.3

Multipliez $0$ par $a^{3 x - 1}$ .

$3 (0 + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Étape 1.3.2.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a))$ .

$3 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Étape 1.3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (3 \frac{d}{d x} [x]) (a^{3 x} \ln (a))$

Étape 1.3.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$9 \frac{d}{d x} [x] (a^{3 x} \ln (a))$

Étape 1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$9 \cdot 1 (a^{3 x} \ln (a))$

Étape 1.3.6

Multipliez $9$ par $1$ .

$f' (x) = 9 a^{3 x} \ln (a)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $9 \ln (a)$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 a^{3 x} \ln (a)$ par rapport à $x$ est $9 \ln (a) \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$ .

$9 \ln (a) \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance généralisée qui indique que $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ est $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ où $f = a$ et $g = 3 x$ .

$9 \ln (a) (\frac{d}{d x} [a] (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $a$ par rapport à $x$ est $0$ .

$9 \ln (a) (0 (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Étape 2.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$9 \ln (a) (0 (x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $x$ par $0$ .

$9 \ln (a) (0 a^{3 x - 1} + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Étape 2.3.2.3

Multipliez $0$ par $a^{3 x - 1}$ .

$9 \ln (a) (0 + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Étape 2.3.2.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a))$ .

$9 \ln (a) (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Étape 2.4

Élevez $\ln (a)$ à la puissance $1$ .

$9 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} (\ln^{1} (a) \ln (a))))$

Étape 2.5

Élevez $\ln (a)$ à la puissance $1$ .

$9 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} (\ln^{1} (a) \ln^{1} (a))))$

Étape 2.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$9 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} {\ln (a)}^{1 + 1}))$

Étape 2.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$9 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln^{2} (a)))$

Étape 2.8

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 (3 \frac{d}{d x} [x]) (a^{3 x} \ln^{2} (a))$

Étape 2.9

Multipliez $3$ par $9$ .

$27 \frac{d}{d x} [x] (a^{3 x} \ln^{2} (a))$

Étape 2.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$27 \cdot 1 (a^{3 x} \ln^{2} (a))$

Étape 2.11

Multipliez $27$ par $1$ .

$f'' (x) = 27 a^{3 x} \ln^{2} (a)$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Comme $27 \ln^{2} (a)$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $27 a^{3 x} \ln^{2} (a)$ par rapport à $x$ est $27 \ln^{2} (a) \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$ .

$27 \ln^{2} (a) \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance généralisée qui indique que $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ est $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ où $f = a$ et $g = 3 x$ .

$27 \ln^{2} (a) (\frac{d}{d x} [a] (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.3.1

Comme $a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $a$ par rapport à $x$ est $0$ .

$27 \ln^{2} (a) (0 (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Étape 3.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$27 \ln^{2} (a) (0 (x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $x$ par $0$ .

$27 \ln^{2} (a) (0 a^{3 x - 1} + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Étape 3.3.2.3

Multipliez $0$ par $a^{3 x - 1}$ .

$27 \ln^{2} (a) (0 + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Étape 3.3.2.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a))$ .

$27 \ln^{2} (a) (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Étape 3.4

Élevez $\ln (a)$ à la puissance $1$ .

$27 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} (\ln^{2} (a) \ln^{1} (a))))$

Étape 3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$27 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} {\ln (a)}^{2 + 1}))$

Étape 3.6

Additionnez $2$ et $1$ .

$27 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln^{3} (a)))$

Étape 3.7

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$27 (3 \frac{d}{d x} [x]) (a^{3 x} \ln^{3} (a))$

Étape 3.8

Multipliez $3$ par $27$ .

$81 \frac{d}{d x} [x] (a^{3 x} \ln^{3} (a))$

Étape 3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$81 \cdot 1 (a^{3 x} \ln^{3} (a))$

Étape 3.10

Multipliez $81$ par $1$ .

$f''' (x) = 81 a^{3 x} \ln^{3} (a)$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Comme $81 \ln^{3} (a)$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $81 a^{3 x} \ln^{3} (a)$ par rapport à $x$ est $81 \ln^{3} (a) \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$ .

$81 \ln^{3} (a) \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance généralisée qui indique que $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ est $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ où $f = a$ et $g = 3 x$ .

$81 \ln^{3} (a) (\frac{d}{d x} [a] (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.3.1

Comme $a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $a$ par rapport à $x$ est $0$ .

$81 \ln^{3} (a) (0 (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Étape 4.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.2.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$81 \ln^{3} (a) (0 (x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $x$ par $0$ .

$81 \ln^{3} (a) (0 a^{3 x - 1} + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Étape 4.3.2.3

Multipliez $0$ par $a^{3 x - 1}$ .

$81 \ln^{3} (a) (0 + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Étape 4.3.2.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a))$ .

$81 \ln^{3} (a) (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Étape 4.4

Élevez $\ln (a)$ à la puissance $1$ .

$81 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} (\ln^{3} (a) \ln^{1} (a))))$

Étape 4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$81 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} {\ln (a)}^{3 + 1}))$

Étape 4.6

Additionnez $3$ et $1$ .

$81 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln^{4} (a)))$

Étape 4.7

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$81 (3 \frac{d}{d x} [x]) (a^{3 x} \ln^{4} (a))$

Étape 4.8

Multipliez $3$ par $81$ .

$243 \frac{d}{d x} [x] (a^{3 x} \ln^{4} (a))$

Étape 4.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$243 \cdot 1 (a^{3 x} \ln^{4} (a))$

Étape 4.10

Multipliez $243$ par $1$ .

$f^{4} (x) = 243 a^{3 x} \ln^{4} (a)$

Étape 5

La dérivée quatrième de $f (x)$ par rapport à $x$ est $243 a^{3 x} \ln^{4} (a)$ .

$243 a^{3 x} \ln^{4} (a)$