Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = (x - 6) (4 x + 4)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x - 6$ et $g (x) = 4 x + 4$ .

$(x - 6) \frac{d}{d x} [4 x + 4] + (4 x + 4) \frac{d}{d x} [x - 6]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$(x - 6) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (4 x + 4) \frac{d}{d x} [x - 6]$

Étape 1.2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x - 6) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (4 x + 4) \frac{d}{d x} [x - 6]$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x - 6) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + (4 x + 4) \frac{d}{d x} [x - 6]$

Étape 1.2.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$(x - 6) (4 + \frac{d}{d x} [4]) + (4 x + 4) \frac{d}{d x} [x - 6]$

Étape 1.2.5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x - 6) (4 + 0) + (4 x + 4) \frac{d}{d x} [x - 6]$

Étape 1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.6.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$(x - 6) \cdot 4 + (4 x + 4) \frac{d}{d x} [x - 6]$

Étape 1.2.6.2

Déplacez $4$ à gauche de $x - 6$ .

$4 \cdot (x - 6) + (4 x + 4) \frac{d}{d x} [x - 6]$

Étape 1.2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$4 (x - 6) + (4 x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Étape 1.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 (x - 6) + (4 x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Étape 1.2.9

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 (x - 6) + (4 x + 4) (1 + 0)$

Étape 1.2.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.10.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$4 (x - 6) + (4 x + 4) \cdot 1$

Étape 1.2.10.2

Multipliez $4 x + 4$ par $1$ .

$4 (x - 6) + 4 x + 4$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 x + 4 \cdot - 6 + 4 x + 4$

Étape 1.3.2

Associez des termes.

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Étape 1.3.2.1

Multipliez $4$ par $- 6$ .

$4 x - 24 + 4 x + 4$

Étape 1.3.2.2

Additionnez $4 x$ et $4 x$ .

$8 x - 24 + 4$

Étape 1.3.2.3

Additionnez $- 24$ et $4$ .

$f' (x) = 8 x - 20$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 x - 20$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 20]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 20]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 20]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 20]$

Étape 2.2.3

Multipliez $8$ par $1$ .

$8 + \frac{d}{d x} [- 20]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $- 20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 20$ par rapport à $x$ est $0$ .

$8 + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $8$ et $0$ .

$f'' (x) = 8$

Étape 3

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f''' (x) = 0$

Étape 4

Comme $0$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f^{4} (x) = 0$

Étape 5

La dérivée quatrième de $f (x)$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$