Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 \tan (x) + 2 \cot (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 \tan (x) + 2 \cot (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 \tan (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cot (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \tan (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cot (x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 \tan (x)]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \tan (x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cot (x)]$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$3 \sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [2 \cot (x)]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \cot (x)]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \cot (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$3 \sec^{2} (x) + 2 \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Étape 1.3.2

La dérivée de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc^{2} (x)$ .

$3 \sec^{2} (x) + 2 (- \csc^{2} (x))$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (x) = 3 \sec^{2} (x) - 2 \csc^{2} (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 \sec^{2} (x) - 2 \csc^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 \sec^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \sec^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{2} (x)]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 \sec^{2} (x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \sec^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{2} (x)]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sec (x)$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sec (x)$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{2} (x)]$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{2} (x)]$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sec (x)$ .

$3 (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{2} (x)]$

Étape 2.2.3

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$3 (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{2} (x)]$

Étape 2.2.4

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$3 (2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{2} (x)]$

Étape 2.2.5

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$3 (2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{2} (x)]$

Étape 2.2.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{2} (x)]$

Étape 2.2.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 (2 \sec^{2} (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{2} (x)]$

Étape 2.2.8

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 \sec^{2} (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{2} (x)]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 \csc^{2} (x)]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \csc^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$ .

$6 \sec^{2} (x) \tan (x) - 2 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \csc (x)$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\csc (x)$ .

$6 \sec^{2} (x) \tan (x) - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 \sec^{2} (x) \tan (x) - 2 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\csc (x)$ .

$6 \sec^{2} (x) \tan (x) - 2 (2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Étape 2.3.3

La dérivée de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc (x) \cot (x)$ .

$6 \sec^{2} (x) \tan (x) - 2 (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Étape 2.3.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$6 \sec^{2} (x) \tan (x) - 2 (- 2 \csc (x) (\csc (x) \cot (x)))$

Étape 2.3.5

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$6 \sec^{2} (x) \tan (x) - 2 (- 2 (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x))$

Étape 2.3.6

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$6 \sec^{2} (x) \tan (x) - 2 (- 2 (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x))$

Étape 2.3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 \sec^{2} (x) \tan (x) - 2 (- 2 {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x))$

Étape 2.3.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$6 \sec^{2} (x) \tan (x) - 2 (- 2 \csc^{2} (x) \cot (x))$

Étape 2.3.9

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 6 \sec^{2} (x) \tan (x) + 4 \csc^{2} (x) \cot (x)$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 \sec^{2} (x) \tan (x) + 4 \csc^{2} (x) \cot (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 \sec^{2} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \sec^{2} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 \sec^{2} (x) \tan (x)]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 \sec^{2} (x) \tan (x)$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sec^{2} (x)$ et $g (x) = \tan (x)$ .

$6 (\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$

Étape 3.2.3

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$6 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sec (x)$ .

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Étape 3.2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sec (x)$ .

$6 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$

Étape 3.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$

Étape 3.2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sec (x)$ .

$6 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$

Étape 3.2.5

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$6 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$

Étape 3.2.6

Multipliez $\sec^{2} (x)$ par $\sec^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.6.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 ({\sec (x)}^{2 + 2} + \tan (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$

Étape 3.2.6.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$6 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$

Étape 3.2.7

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$6 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$

Étape 3.2.8

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$6 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$

Étape 3.2.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))) + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$

Étape 3.2.10

Additionnez $1$ et $1$ .

$6 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$

Étape 3.2.11

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) (\tan^{1} (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$

Étape 3.2.12

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$

Étape 3.2.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) {\tan (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$

Étape 3.2.14

Additionnez $1$ et $1$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 \csc^{2} (x) \cot (x)]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 \csc^{2} (x) \cot (x)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x) \cot (x)]$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x) \cot (x)]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \csc^{2} (x)$ et $g (x) = \cot (x)$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (\csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Étape 3.3.3

La dérivée de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc^{2} (x)$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (\csc^{2} (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \csc (x)$ .

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Étape 3.3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\csc (x)$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (\csc^{2} (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

Étape 3.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (\csc^{2} (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

Étape 3.3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\csc (x)$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (\csc^{2} (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

Étape 3.3.5

La dérivée de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc (x) \cot (x)$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (\csc^{2} (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

Étape 3.3.6

Multipliez $\csc^{2} (x)$ par $\csc^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.6.1

Déplacez $\csc^{2} (x)$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (\csc^{2} (x) \csc^{2} (x) \cdot - 1 + \cot (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

Étape 3.3.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 ({\csc (x)}^{2 + 2} \cdot - 1 + \cot (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

Étape 3.3.6.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (\csc^{4} (x) \cdot - 1 + \cot (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

Étape 3.3.7

Déplacez $- 1$ à gauche de $\csc^{4} (x)$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (- 1 \cdot \csc^{4} (x) + \cot (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

Étape 3.3.8

Réécrivez $- 1 \csc^{4} (x)$ comme $- \csc^{4} (x)$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

Étape 3.3.9

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (- 2 \csc (x) (\csc (x) \cot (x))))$

Étape 3.3.10

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (- 2 (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x)))$

Étape 3.3.11

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (- 2 (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x)))$

Étape 3.3.12

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (- 2 {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x)))$

Étape 3.3.13

Additionnez $1$ et $1$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (- 2 \csc^{2} (x) \cot (x)))$

Étape 3.3.14

Élevez $\cot (x)$ à la puissance $1$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (- \csc^{4} (x) - 2 \csc^{2} (x) (\cot^{1} (x) \cot (x)))$

Étape 3.3.15

Élevez $\cot (x)$ à la puissance $1$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (- \csc^{4} (x) - 2 \csc^{2} (x) (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)))$

Étape 3.3.16

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (- \csc^{4} (x) - 2 \csc^{2} (x) {\cot (x)}^{1 + 1})$

Étape 3.3.17

Additionnez $1$ et $1$ .

$6 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (- \csc^{4} (x) - 2 \csc^{2} (x) \cot^{2} (x))$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 \sec^{4} (x) + 6 (2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (- \csc^{4} (x) - 2 \csc^{2} (x) \cot^{2} (x))$

Étape 3.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$6 \sec^{4} (x) + 6 (2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (- \csc^{4} (x)) + 4 (- 2 \csc^{2} (x) \cot^{2} (x))$

Étape 3.4.3

Associez des termes.

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Étape 3.4.3.1

Multipliez $2$ par $6$ .

$6 \sec^{4} (x) + 12 (\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 4 (- \csc^{4} (x)) + 4 (- 2 \csc^{2} (x) \cot^{2} (x))$

Étape 3.4.3.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$6 \sec^{4} (x) + 12 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) - 4 \csc^{4} (x) + 4 (- 2 \csc^{2} (x) \cot^{2} (x))$

Étape 3.4.3.3

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$6 \sec^{4} (x) + 12 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) - 4 \csc^{4} (x) - 8 \csc^{2} (x) \cot^{2} (x)$

Étape 3.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f''' (x) = 12 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) - 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x) + 6 \sec^{4} (x) - 4 \csc^{4} (x)$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) - 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x) + 6 \sec^{4} (x) - 4 \csc^{4} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [12 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)]$ .

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Étape 4.2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)]$ .

$12 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.2.2

$12 (\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)] + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \tan (x)$ .

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Étape 4.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\tan (x)$ .

$12 (\sec^{2} (x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 (\sec^{2} (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\tan (x)$ .

$12 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.2.4

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$12 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.2.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sec (x)$ .

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Étape 4.2.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\sec (x)$ .

$12 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.2.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sec (x)$ .

$12 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.2.6

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$12 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.2.7

Multipliez $\sec^{2} (x)$ par $\sec^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.7.1

Déplacez $\sec^{2} (x)$ .

$12 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.2.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$12 ({\sec (x)}^{2 + 2} (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.2.7.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$12 (\sec^{4} (x) (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.2.8

Déplacez $2$ à gauche de $\sec^{4} (x)$ .

$12 (2 \cdot \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.2.9

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.2.10

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.2.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.2.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.2.13

Multipliez $\tan^{2} (x)$ par $\tan (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.13.1

Déplacez $\tan (x)$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan (x) \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.2.13.2

Multipliez $\tan (x)$ par $\tan^{2} (x)$ .

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Étape 4.2.13.2.1

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{1} (x) \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.2.13.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + {\tan (x)}^{1 + 2} (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.2.13.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{3} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.2.14

Déplacez $2$ à gauche de $\tan^{3} (x)$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)]$ .

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Étape 4.3.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x) \csc^{2} (x)]$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cot^{2} (x)$ et $g (x) = \csc^{2} (x)$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{2} (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)] + \csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \csc (x)$ .

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Étape 4.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $\csc (x)$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{2} (x) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]) + \csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ est $n {u_{3}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{2} (x) (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\csc (x)]) + \csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $\csc (x)$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{2} (x) (2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]) + \csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.3.4

La dérivée de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc (x) \cot (x)$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{2} (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.3.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cot (x)$ .

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Étape 4.3.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{4}$ comme $\cot (x)$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{2} (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \csc^{2} (x) (\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cot (x)])) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{n}]$ est $n {u_{4}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{2} (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \csc^{2} (x) (2 u_{4} \frac{d}{d x} [\cot (x)])) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.3.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{4}$ par $\cot (x)$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{2} (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.3.6

La dérivée de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc^{2} (x)$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{2} (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.3.7

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{2} (x) (- 2 \csc (x) (\csc (x) \cot (x))) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.3.8

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{2} (x) (- 2 (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.3.9

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{2} (x) (- 2 (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.3.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{2} (x) (- 2 {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.3.11

Additionnez $1$ et $1$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{2} (x) (- 2 \csc^{2} (x) \cot (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.3.12

Multipliez $\cot^{2} (x)$ par $\cot (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.12.1

Déplacez $\cot (x)$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot (x) \cot^{2} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.3.12.2

Multipliez $\cot (x)$ par $\cot^{2} (x)$ .

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Étape 4.3.12.2.1

Élevez $\cot (x)$ à la puissance $1$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{1} (x) \cot^{2} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.3.12.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 ({\cot (x)}^{1 + 2} (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.3.12.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.3.13

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) (- 2 \cot (x) \csc^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.3.14

Multipliez $\csc^{2} (x)$ par $\csc^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.14.1

Déplacez $\csc^{2} (x)$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) \csc^{2} (x) (- 2 \cot (x))) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.3.14.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + {\csc (x)}^{2 + 2} (- 2 \cot (x))) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.3.14.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + \frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 \sec^{4} (x)]$ .

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Étape 4.4.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 \sec^{4} (x)$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)]$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 6 \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = \sec (x)$ .

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Étape 4.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{5}$ comme $\sec (x)$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 6 (\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{n}]$ est $n {u_{5}}^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 6 (4 {u_{5}}^{3} \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{5}$ par $\sec (x)$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 6 (4 \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.4.3

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 6 (4 \sec^{3} (x) (\sec (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.4.4

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 6 (4 (\sec^{1} (x) \sec^{3} (x)) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 6 (4 {\sec (x)}^{1 + 3} \tan (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.4.6

Additionnez $1$ et $3$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 6 (4 \sec^{4} (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.4.7

Multipliez $4$ par $6$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 24 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$

Étape 4.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 \csc^{4} (x)]$ .

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Étape 4.5.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 \csc^{4} (x)$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [\csc^{4} (x)]$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 24 \sec^{4} (x) \tan (x) - 4 \frac{d}{d x} [\csc^{4} (x)]$

Étape 4.5.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = \csc (x)$ .

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Étape 4.5.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{6}$ comme $\csc (x)$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 24 \sec^{4} (x) \tan (x) - 4 (\frac{d}{d u_{6}} [{u_{6}}^{4}] \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Étape 4.5.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{6}} [{u_{6}}^{n}]$ est $n {u_{6}}^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 24 \sec^{4} (x) \tan (x) - 4 (4 {u_{6}}^{3} \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Étape 4.5.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{6}$ par $\csc (x)$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 24 \sec^{4} (x) \tan (x) - 4 (4 \csc^{3} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Étape 4.5.3

La dérivée de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc (x) \cot (x)$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 24 \sec^{4} (x) \tan (x) - 4 (4 \csc^{3} (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Étape 4.5.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 24 \sec^{4} (x) \tan (x) - 4 (- 4 \csc^{3} (x) (\csc (x) \cot (x)))$

Étape 4.5.5

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 24 \sec^{4} (x) \tan (x) - 4 (- 4 (\csc^{1} (x) \csc^{3} (x)) \cot (x))$

Étape 4.5.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 24 \sec^{4} (x) \tan (x) - 4 (- 4 {\csc (x)}^{1 + 3} \cot (x))$

Étape 4.5.7

Additionnez $1$ et $3$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 24 \sec^{4} (x) \tan (x) - 4 (- 4 \csc^{4} (x) \cot (x))$

Étape 4.5.8

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 24 \sec^{4} (x) \tan (x) + 16 \csc^{4} (x) \cot (x)$

Étape 4.6

Simplifiez

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Étape 4.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x)) + 12 (2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 24 \sec^{4} (x) \tan (x) + 16 \csc^{4} (x) \cot (x)$

Étape 4.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$12 (2 \sec^{4} (x) \tan (x)) + 12 (2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x))) - 8 (\csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 24 \sec^{4} (x) \tan (x) + 16 \csc^{4} (x) \cot (x)$

Étape 4.6.3

Associez des termes.

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Étape 4.6.3.1

Multipliez $2$ par $12$ .

$24 (\sec^{4} (x) \tan (x)) + 12 (2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x))) - 8 (\csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 24 \sec^{4} (x) \tan (x) + 16 \csc^{4} (x) \cot (x)$

Étape 4.6.3.2

Multipliez $2$ par $12$ .

$24 \sec^{4} (x) \tan (x) + 24 (\tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) - 8 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x))) - 8 (\csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 24 \sec^{4} (x) \tan (x) + 16 \csc^{4} (x) \cot (x)$

Étape 4.6.3.3

Multipliez $- 2$ par $- 8$ .

$24 \sec^{4} (x) \tan (x) + 24 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + 16 (\cot^{3} (x) (\csc^{2} (x))) - 8 (\csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 24 \sec^{4} (x) \tan (x) + 16 \csc^{4} (x) \cot (x)$

Étape 4.6.3.4

Multipliez $- 2$ par $- 8$ .

$24 \sec^{4} (x) \tan (x) + 24 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + 16 \cot^{3} (x) \csc^{2} (x) + 16 (\csc^{4} (x) (\cot (x))) + 24 \sec^{4} (x) \tan (x) + 16 \csc^{4} (x) \cot (x)$

Étape 4.6.3.5

Additionnez $24 \sec^{4} (x) \tan (x)$ et $24 \sec^{4} (x) \tan (x)$ .

$48 \sec^{4} (x) \tan (x) + 24 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + 16 \cot^{3} (x) \csc^{2} (x) + 16 \csc^{4} (x) \cot (x) + 16 \csc^{4} (x) \cot (x)$

Étape 4.6.3.6

Additionnez $16 \csc^{4} (x) \cot (x)$ et $16 \csc^{4} (x) \cot (x)$ .

$f^{4} (x) = 48 \sec^{4} (x) \tan (x) + 24 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + 16 \cot^{3} (x) \csc^{2} (x) + 32 \csc^{4} (x) \cot (x)$

Étape 5

La dérivée quatrième de $f (x)$ par rapport à $x$ est $48 \sec^{4} (x) \tan (x) + 24 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + 16 \cot^{3} (x) \csc^{2} (x) + 32 \csc^{4} (x) \cot (x)$ .

$48 \sec^{4} (x) \tan (x) + 24 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + 16 \cot^{3} (x) \csc^{2} (x) + 32 \csc^{4} (x) \cot (x)$