Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {(1 - x)}^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(1 - x)}^{2}$ comme $(1 - x) (1 - x)$ .

$\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x)]$

Étape 1.2

Développez $(1 - x) (1 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [1 (1 - x) - x (1 - x)]$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [1 \cdot 1 + 1 (- x) - x (1 - x)]$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [1 \cdot 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)]$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)]$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $- x$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x - x \cdot 1 - x (- x)]$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x - x - x (- x)]$

Étape 1.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d}{d x} [1 - x - x - 1 \cdot - 1 x \cdot x]$

Étape 1.3.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1.5.1

Déplacez $x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x - x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)]$

Étape 1.3.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x - x - 1 \cdot - 1 x^{2}]$

Étape 1.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x - x + 1 x^{2}]$

Étape 1.3.1.7

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x - x + x^{2}]$

Étape 1.3.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x + x^{2}]$

Étape 1.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 2 x + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.6

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.7

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.9

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 2 + 2 x$

Étape 1.11

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 2 x - 2$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$f'' (x) = 2$

Étape 3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f''' (x) = 0$

Étape 4

Comme $0$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f^{4} (x) = 0$

Étape 5

La dérivée quatrième de $f (x)$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$