Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{(x^{3} - 1)}{x (x^{3} + 1)}$

Étape 1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 1.1

Factorisez la fraction.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\frac{x^{3} - 1^{3}}{x (x^{3} + 1)}$

Étape 1.1.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}{x (x^{3} + 1)}$

Étape 1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.3.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}{x (x^{3} + 1)}$

Étape 1.1.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x (x^{3} + 1)}$

Étape 1.1.4

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x (x^{3} + 1^{3})}$

Étape 1.1.5

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x ((x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}))}$

Étape 1.1.6

Factorisez.

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Étape 1.1.6.1

Simplifiez

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Étape 1.1.6.1.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x ((x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}))}$

Étape 1.1.6.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x ((x + 1) (x^{2} - x + 1))}$

Étape 1.1.6.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x (x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

Étape 1.2

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$

Étape 1.3

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur est du deuxième degré, les termes $2$ sont requis dans le numérateur. Le nombre de termes requis dans le numérateur est toujours égal au degré du facteur dans le dénominateur.

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C x + D}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.4

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $x (x + 1) (x^{2} - x + 1)$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x (x + 1) (x^{2} - x + 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.5

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.5.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.5.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 1.5.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1) ((x + 1) (x^{2} - x + 1))}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.5.2

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 1.5.2.1

Annulez le facteur commun.

Étape 1.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1} = \frac{A (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.5.3

Annulez le facteur commun de $x^{2} - x + 1$ .

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Étape 1.5.3.1

Annulez le facteur commun.

Étape 1.5.3.2

Divisez $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ par $1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) = \frac{A (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.6

Développez $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1 = \frac{A (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.7

Simplifiez les termes.

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Étape 1.7.1

Associez les termes opposés dans $x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1$ .

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Étape 1.7.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot 1$ et $- 1 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1 = \frac{A (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.7.1.2

Soustrayez $1 x$ de $1 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} + 0 - 1 \cdot 1 = \frac{A (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.7.1.3

Additionnez $x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2}$ et $0$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 = \frac{A (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.7.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.2.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.7.2.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.7.2.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

Étape 1.7.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{1 + 2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 = \frac{A (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.7.2.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$x^{3} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 = \frac{A (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.7.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{3} + x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 = \frac{A (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.7.2.3

Réécrivez $- 1 x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 1 = \frac{A (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.7.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1 = \frac{A (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.7.3

Associez les termes opposés dans $x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1$ .

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Étape 1.7.3.1

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$x^{3} + 0 - 1 = \frac{A (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.7.3.2

Additionnez $x^{3}$ et $0$ .

$x^{3} - 1 = \frac{A (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.8.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.8.1.1

Annulez le facteur commun.

$x^{3} - 1 = \frac{A (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.8.1.2

Divisez $A ((x + 1) (x^{2} - x + 1))$ par $1$ .

$x^{3} - 1 = A ((x + 1) (x^{2} - x + 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.8.2

Développez $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$x^{3} - 1 = A (x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.8.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.8.3.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.8.3.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.8.3.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{3} - 1 = A (x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.8.3.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{3} - 1 = A (x^{1 + 2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.8.3.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$x^{3} - 1 = A (x^{3} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.8.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{3} - 1 = A (x^{3} - x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.8.3.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.8.3.3.1

Déplacez $x$ .

$x^{3} - 1 = A (x^{3} - (x \cdot x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.8.3.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{3} - 1 = A (x^{3} - x^{2} + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.8.3.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$x^{3} - 1 = A (x^{3} - x^{2} + x + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.8.3.5

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{3} - 1 = A (x^{3} - x^{2} + x + x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.8.3.6

Multipliez $- x$ par $1$ .

$x^{3} - 1 = A (x^{3} - x^{2} + x + x^{2} - x + 1 \cdot 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.8.3.7

Multipliez $1$ par $1$ .

$x^{3} - 1 = A (x^{3} - x^{2} + x + x^{2} - x + 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.8.4

Associez les termes opposés dans $x^{3} - x^{2} + x + x^{2} - x + 1$ .

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Étape 1.8.4.1

Additionnez $- x^{2}$ et $x^{2}$ .

$x^{3} - 1 = A (x^{3} + x + 0 - x + 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.8.4.2

Additionnez $x^{3} + x$ et $0$ .

$x^{3} - 1 = A (x^{3} + x - x + 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.8.4.3

Soustrayez $x$ de $x$ .

$x^{3} - 1 = A (x^{3} + 0 + 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.8.4.4

Additionnez $x^{3}$ et $0$ .

$x^{3} - 1 = A (x^{3} + 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.8.5

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A \cdot 1 + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.8.6

Multipliez $A$ par $1$ .

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + \frac{(B) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.8.7

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 1.8.7.1

Annulez le facteur commun.

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + \frac{B (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x + 1} + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.8.7.2

Divisez $(B) (x (x^{2} - x + 1))$ par $1$ .

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + (B) (x (x^{2} - x + 1)) + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.8.8

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + B (x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1) + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.8.9

Simplifiez

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Étape 1.8.9.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.8.9.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.8.9.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + B (x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1) + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.8.9.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + B (x^{1 + 2} + x (- x) + x \cdot 1) + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.8.9.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + B (x^{3} + x (- x) + x \cdot 1) + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.8.9.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + B (x^{3} - x \cdot x + x \cdot 1) + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.8.9.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + B (x^{3} - x \cdot x + x) + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.8.10

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.8.10.1

Déplacez $x$ .

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + B (x^{3} - (x \cdot x) + x) + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.8.10.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + B (x^{3} - x^{2} + x) + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.8.11

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + B x^{3} + B (- x^{2}) + B x + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.8.12

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + B x^{3} - B x^{2} + B x + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.8.13

Annulez le facteur commun de $x^{2} - x + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.13.1

Annulez le facteur commun.

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + B x^{3} - B x^{2} + B x + \frac{(C x + D) (x (x + 1) (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.8.13.2

Divisez $(C x + D) (x (x + 1))$ par $1$ .

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + B x^{3} - B x^{2} + B x + (C x + D) (x (x + 1))$

Étape 1.8.14

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + B x^{3} - B x^{2} + B x + (C x + D) (x \cdot x + x \cdot 1)$

Étape 1.8.15

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + B x^{3} - B x^{2} + B x + (C x + D) (x^{2} + x \cdot 1)$

Étape 1.8.16

Multipliez $x$ par $1$ .

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + B x^{3} - B x^{2} + B x + (C x + D) (x^{2} + x)$

Étape 1.8.17

Développez $(C x + D) (x^{2} + x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.17.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + B x^{3} - B x^{2} + B x + C x (x^{2} + x) + D (x^{2} + x)$

Étape 1.8.17.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + B x^{3} - B x^{2} + B x + C x \cdot x^{2} + C x \cdot x + D (x^{2} + x)$

Étape 1.8.17.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + B x^{3} - B x^{2} + B x + C x \cdot x^{2} + C x \cdot x + D x^{2} + D x$

Étape 1.8.18

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.18.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.18.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + B x^{3} - B x^{2} + B x + C (x^{2} x) + C x \cdot x + D x^{2} + D x$

Étape 1.8.18.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.18.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + B x^{3} - B x^{2} + B x + C (x^{2} x) + C x \cdot x + D x^{2} + D x$

Étape 1.8.18.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + B x^{3} - B x^{2} + B x + C x^{2 + 1} + C x \cdot x + D x^{2} + D x$

Étape 1.8.18.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + B x^{3} - B x^{2} + B x + C x^{3} + C x \cdot x + D x^{2} + D x$

Étape 1.8.18.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.18.2.1

Déplacez $x$ .

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + B x^{3} - B x^{2} + B x + C x^{3} + C (x \cdot x) + D x^{2} + D x$

Étape 1.8.18.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + B x^{3} - B x^{2} + B x + C x^{3} + C x^{2} + D x^{2} + D x$

Étape 1.9

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.9.1

Déplacez $B$ .

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + B x^{3} - x^{2} B + B x + C x^{3} + C x^{2} + D x^{2} + D x$

Étape 1.9.2

Remettez dans l’ordre $B$ et $x$ .

$x^{3} - 1 = A x^{3} + A + B x^{3} - x^{2} B + B x + C x^{3} + C x^{2} + D x^{2} + D x$

Étape 1.9.3

Déplacez $A$ .

$x^{3} - 1 = A x^{3} + B x^{3} - x^{2} B + B x + C x^{3} + C x^{2} + D x^{2} + D x + A$

Étape 1.9.4

Déplacez $B x$ .

$x^{3} - 1 = A x^{3} + B x^{3} - x^{2} B + C x^{3} + C x^{2} + D x^{2} + B x + D x + A$

Étape 1.9.5

Déplacez $- x^{2} B$ .

$x^{3} - 1 = A x^{3} + B x^{3} + C x^{3} - x^{2} B + C x^{2} + D x^{2} + B x + D x + A$

Étape 2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x^{3}$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = A + B + C$

Étape 2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x^{2}$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = - 1 B + C + D$

Étape 2.3

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = B + D$

Étape 2.4

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$- 1 = A$

Étape 2.5

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$1 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C + D$

$0 = B + D$

$- 1 = A$

$1 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C + D$

$0 = B + D$

$- 1 = A$

Étape 3

Résolvez le système d’équations.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $A = - 1$ .

$A = - 1$

$1 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C + D$

$0 = B + D$

Étape 3.2

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $- 1$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $1 = A + B + C$ par $- 1$ .

$1 = (- 1) + B + C$

$A = - 1$

$0 = - 1 B + C + D$

$0 = B + D$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$1 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

$0 = - 1 B + C + D$

$0 = B + D$

$1 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

$0 = - 1 B + C + D$

$0 = B + D$

$1 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

$0 = - 1 B + C + D$

$0 = B + D$

Étape 3.3

Résolvez $B$ dans $1 = - 1 + B + C$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $- 1 + B + C = 1$ .

$- 1 + B + C = 1$

$A = - 1$

$0 = - 1 B + C + D$

$0 = B + D$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $B$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$B + C = 1 + 1$

$A = - 1$

$0 = - 1 B + C + D$

$0 = B + D$

Étape 3.3.2.2

Soustrayez $C$ des deux côtés de l’équation.

$B = 1 + 1 - C$

$A = - 1$

$0 = - 1 B + C + D$

$0 = B + D$

Étape 3.3.2.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$B = 2 - C$

$A = - 1$

$0 = - 1 B + C + D$

$0 = B + D$

$B = 2 - C$

$A = - 1$

$0 = - 1 B + C + D$

$0 = B + D$

$B = 2 - C$

$A = - 1$

$0 = - 1 B + C + D$

$0 = B + D$

Étape 3.4

Remplacez toutes les occurrences de $B$ par $2 - C$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $0 = - 1 B + C + D$ par $2 - C$ .

$0 = - 1 (2 - C) + C + D$

$B = 2 - C$

$A = - 1$

$0 = B + D$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1

Simplifiez $- 1 (2 - C) + C + D$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$0 = - 1 \cdot 2 - 1 (- C) + C + D$

$B = 2 - C$

$A = - 1$

$0 = B + D$

Étape 3.4.2.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$0 = - 2 - 1 (- C) + C + D$

$B = 2 - C$

$A = - 1$

$0 = B + D$

Étape 3.4.2.1.1.3

Multipliez $- 1 (- C)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$0 = - 2 + 1 C + C + D$

$B = 2 - C$

$A = - 1$

$0 = B + D$

Étape 3.4.2.1.1.3.2

Multipliez $C$ par $1$ .

$0 = - 2 + C + C + D$

$B = 2 - C$

$A = - 1$

$0 = B + D$

$0 = - 2 + C + C + D$

$B = 2 - C$

$A = - 1$

$0 = B + D$

$0 = - 2 + C + C + D$

$B = 2 - C$

$A = - 1$

$0 = B + D$

Étape 3.4.2.1.2

Additionnez $C$ et $C$ .

$0 = - 2 + 2 C + D$

$B = 2 - C$

$A = - 1$

$0 = B + D$

$0 = - 2 + 2 C + D$

$B = 2 - C$

$A = - 1$

$0 = B + D$

$0 = - 2 + 2 C + D$

$B = 2 - C$

$A = - 1$

$0 = B + D$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $0 = B + D$ par $2 - C$ .

$0 = (2 - C) + D$

$0 = - 2 + 2 C + D$

$B = 2 - C$

$A = - 1$

Étape 3.4.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.1

Supprimez les parenthèses.

$0 = 2 - C + D$

$0 = - 2 + 2 C + D$

$B = 2 - C$

$A = - 1$

$0 = 2 - C + D$

$0 = - 2 + 2 C + D$

$B = 2 - C$

$A = - 1$

$0 = 2 - C + D$

$0 = - 2 + 2 C + D$

$B = 2 - C$

$A = - 1$

Étape 3.5

Remettez dans l’ordre $2$ et $- C$ .

$B = - C + 2$

$0 = 2 - C + D$

$0 = - 2 + 2 C + D$

$A = - 1$

Étape 3.6

Résolvez $D$ dans $0 = 2 - C + D$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Réécrivez l’équation comme $2 - C + D = 0$ .

$2 - C + D = 0$

$B = - C + 2$

$0 = - 2 + 2 C + D$

$A = - 1$

Étape 3.6.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $D$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- C + D = - 2$

$B = - C + 2$

$0 = - 2 + 2 C + D$

$A = - 1$

Étape 3.6.2.2

Ajoutez $C$ aux deux côtés de l’équation.

$D = - 2 + C$

$B = - C + 2$

$0 = - 2 + 2 C + D$

$A = - 1$

$D = - 2 + C$

$B = - C + 2$

$0 = - 2 + 2 C + D$

$A = - 1$

$D = - 2 + C$

$B = - C + 2$

$0 = - 2 + 2 C + D$

$A = - 1$

Étape 3.7

Remplacez toutes les occurrences de $D$ par $- 2 + C$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.1

Remplacez toutes les occurrences de $D$ dans $0 = - 2 + 2 C + D$ par $- 2 + C$ .

$0 = - 2 + 2 C - 2 + C$

$D = - 2 + C$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

Étape 3.7.2

Simplifiez $0 = - 2 + 2 C - 2 + C$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.2.1.1

Supprimez les parenthèses.

$0 = - 2 + 2 C - 2 + C$

$D = - 2 + C$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

$0 = - 2 + 2 C - 2 + C$

$D = - 2 + C$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

Étape 3.7.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.2.2.1

Simplifiez $- 2 + 2 C - 2 + C$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.2.2.1.1

Soustrayez $2$ de $- 2$ .

$0 = 2 C - 4 + C$

$D = - 2 + C$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

Étape 3.7.2.2.1.2

Additionnez $2 C$ et $C$ .

$0 = 3 C - 4$

$D = - 2 + C$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

$0 = 3 C - 4$

$D = - 2 + C$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

$0 = 3 C - 4$

$D = - 2 + C$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

$0 = 3 C - 4$

$D = - 2 + C$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

$0 = 3 C - 4$

$D = - 2 + C$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

Étape 3.8

Résolvez $C$ dans $0 = 3 C - 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.1

Réécrivez l’équation comme $3 C - 4 = 0$ .

$3 C - 4 = 0$

$D = - 2 + C$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

Étape 3.8.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$3 C = 4$

$D = - 2 + C$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

Étape 3.8.3

Divisez chaque terme dans $3 C = 4$ par $3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.3.1

Divisez chaque terme dans $3 C = 4$ par $3$ .

$\frac{3 C}{3} = \frac{4}{3}$

$D = - 2 + C$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

Étape 3.8.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 C}{3} = \frac{4}{3}$

$D = - 2 + C$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

Étape 3.8.3.2.1.2

Divisez $C$ par $1$ .

$C = \frac{4}{3}$

$D = - 2 + C$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

$C = \frac{4}{3}$

$D = - 2 + C$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

$C = \frac{4}{3}$

$D = - 2 + C$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

$C = \frac{4}{3}$

$D = - 2 + C$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

$C = \frac{4}{3}$

$D = - 2 + C$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

Étape 3.9

Remplacez toutes les occurrences de $C$ par $\frac{4}{3}$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.9.1

Remplacez toutes les occurrences de $C$ dans $D = - 2 + C$ par $\frac{4}{3}$ .

$D = - 2 + \frac{4}{3}$

$C = \frac{4}{3}$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

Étape 3.9.2

Simplifiez $D = - 2 + \frac{4}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.9.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.9.2.1.1

Supprimez les parenthèses.

$D = - 2 + \frac{4}{3}$

$C = \frac{4}{3}$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

$D = - 2 + \frac{4}{3}$

$C = \frac{4}{3}$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

Étape 3.9.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.9.2.2.1

Simplifiez $- 2 + \frac{4}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.9.2.2.1.1

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$D = - 2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{4}{3}$

$C = \frac{4}{3}$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

Étape 3.9.2.2.1.2

Associez $- 2$ et $\frac{3}{3}$ .

$D = \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{4}{3}$

$C = \frac{4}{3}$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

Étape 3.9.2.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$D = \frac{- 2 \cdot 3 + 4}{3}$

$C = \frac{4}{3}$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

Étape 3.9.2.2.1.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.9.2.2.1.4.1

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$D = \frac{- 6 + 4}{3}$

$C = \frac{4}{3}$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

Étape 3.9.2.2.1.4.2

Additionnez $- 6$ et $4$ .

$D = \frac{- 2}{3}$

$C = \frac{4}{3}$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

$D = \frac{- 2}{3}$

$C = \frac{4}{3}$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

Étape 3.9.2.2.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$D = - \frac{2}{3}$

$C = \frac{4}{3}$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

$D = - \frac{2}{3}$

$C = \frac{4}{3}$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

$D = - \frac{2}{3}$

$C = \frac{4}{3}$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

$D = - \frac{2}{3}$

$C = \frac{4}{3}$

$B = - C + 2$

$A = - 1$

Étape 3.9.3

Remplacez toutes les occurrences de $C$ dans $B = - C + 2$ par $\frac{4}{3}$ .

$B = - (\frac{4}{3}) + 2$

$D = - \frac{2}{3}$

$C = \frac{4}{3}$

$A = - 1$

Étape 3.9.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.9.4.1

Simplifiez $- (\frac{4}{3}) + 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.9.4.1.1

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$B = - \frac{4}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}$

$D = - \frac{2}{3}$

$C = \frac{4}{3}$

$A = - 1$

Étape 3.9.4.1.2

Associez $2$ et $\frac{3}{3}$ .

$B = - \frac{4}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

$D = - \frac{2}{3}$

$C = \frac{4}{3}$

$A = - 1$

Étape 3.9.4.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$B = \frac{- 4 + 2 \cdot 3}{3}$

$D = - \frac{2}{3}$

$C = \frac{4}{3}$

$A = - 1$

Étape 3.9.4.1.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.9.4.1.4.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$B = \frac{- 4 + 6}{3}$

$D = - \frac{2}{3}$

$C = \frac{4}{3}$

$A = - 1$

Étape 3.9.4.1.4.2

Additionnez $- 4$ et $6$ .

$B = \frac{2}{3}$

$D = - \frac{2}{3}$

$C = \frac{4}{3}$

$A = - 1$

$B = \frac{2}{3}$

$D = - \frac{2}{3}$

$C = \frac{4}{3}$

$A = - 1$

$B = \frac{2}{3}$

$D = - \frac{2}{3}$

$C = \frac{4}{3}$

$A = - 1$

$B = \frac{2}{3}$

$D = - \frac{2}{3}$

$C = \frac{4}{3}$

$A = - 1$

$B = \frac{2}{3}$

$D = - \frac{2}{3}$

$C = \frac{4}{3}$

$A = - 1$

Étape 3.10

Indiquez toutes les solutions.

$B = \frac{2}{3}, D = - \frac{2}{3}, C = \frac{4}{3}, A = - 1$

Étape 4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C x + D}{x^{2} - x + 1}$ par les valeurs trouvées pour $A$ , $B$ , $C$ et $D$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{\frac{2}{3}}{x + 1} + \frac{\frac{4}{3 x} - \frac{2}{3}}{x^{2} - x + 1}$

Étape 5

Associez $\frac{4}{3}$ et $x$ .

$\frac{- 1}{x} + \frac{\frac{2}{3}}{x + 1} + \frac{\frac{4 x}{3} - \frac{2}{3}}{x^{2} - x + 1}$