Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (\sqrt{x^{2} - 3} - x)$

Étape 1

Définissez l’argument dans $\ln (\sqrt{x^{2} - 3} - x)$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\sqrt{x^{2} - 3} - x > 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’inégalité.

$\sqrt{x^{2} - 3} > x$

Étape 2.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${\sqrt{x^{2} - 3}}^{2} > x^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} - 3}$ comme ${(x^{2} - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > x^{2}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez ${({(x^{2} - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > x^{2}$

Étape 2.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x^{2} - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > x^{2}$

Étape 2.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x^{2} - 3)}^{1} > x^{2}$

Étape 2.3.2.1.2

Simplifiez

$x^{2} - 3 > x^{2}$

Étape 2.4

Résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’inégalité.

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Étape 2.4.1.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’inégalité.

$x^{2} - 3 - x^{2} > 0$

Étape 2.4.1.2

Associez les termes opposés dans $x^{2} - 3 - x^{2}$ .

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Étape 2.4.1.2.1

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$0 - 3 > 0$

Étape 2.4.1.2.2

Soustrayez $3$ de $0$ .

$- 3 > 0$

Étape 2.4.2

Comme $- 3 < 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 3

Définissez le radicande dans $\sqrt{x^{2} - 3}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x^{2} - 3 \geq 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x^{2} \geq 3$

Étape 4.2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{3}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \geq \sqrt{3}$

Étape 4.4

Écrivez $| x | \geq \sqrt{3}$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 4.4.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 4.4.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x \geq \sqrt{3}$

Étape 4.4.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 4.4.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x \geq \sqrt{3}$

Étape 4.4.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x \geq \sqrt{3} & x \geq 0 \\ - x \geq \sqrt{3} & x < 0 \end{cases}$

Étape 4.5

Déterminez l’intersection de $x \geq \sqrt{3}$ et $x \geq 0$ .

$x \geq \sqrt{3}$

Étape 4.6

Divisez chaque terme dans $- x \geq \sqrt{3}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.6.1

Divisez chaque terme dans $- x \geq \sqrt{3}$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

Étape 4.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.6.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \leq \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

Étape 4.6.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

Étape 4.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.6.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\sqrt{3}}{- 1}$ .

$x \leq - 1 \cdot \sqrt{3}$

Étape 4.6.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot \sqrt{3}$ comme $- \sqrt{3}$ .

$x \leq - \sqrt{3}$

Étape 4.7

Déterminez l’union des solutions.

$x \leq - \sqrt{3}$ ou $x \geq \sqrt{3}$

Étape 5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - \sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \leq - \sqrt{3}, x \geq \sqrt{3}}$

Étape 6