Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = c x^{2} - 5 x^{- 2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $c x^{2} - 5 x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 2}]$ .

$\frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 2}]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [c x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $c$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $c x^{2}$ par rapport à $x$ est $c \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$c \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 2}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$c (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 2}]$

Étape 1.1.2.3

Déplacez $2$ à gauche de $c$ .

$2 c x + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 2}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x^{- 2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$2 c x - 5 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$2 c x - 5 (- 2 x^{- 3})$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 2$ par $- 5$ .

$2 c x + 10 x^{- 3}$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 c x + 10 \frac{1}{x^{3}}$

Étape 1.1.4.2

Associez $10$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = 2 c x + \frac{10}{x^{3}}$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 c x + \frac{10}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 c x] + \frac{d}{d x} [\frac{10}{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 c x] + \frac{d}{d x} [\frac{10}{x^{3}}]$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 c x]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme $2 c$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 c x$ par rapport à $x$ est $2 c \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 c \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{10}{x^{3}}]$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 c \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{10}{x^{3}}]$

Étape 1.2.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 c + \frac{d}{d x} [\frac{10}{x^{3}}]$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{10}{x^{3}}]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{10}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$2 c + 10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 1.2.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$2 c + 10 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Étape 1.2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{3}$ .

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Étape 1.2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3}$ .

$2 c + 10 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 1.2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$2 c + 10 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 1.2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3}$ .

$2 c + 10 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 1.2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 c + 10 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Étape 1.2.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Étape 1.2.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 c + 10 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Étape 1.2.3.5.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$2 c + 10 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Étape 1.2.3.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$2 c + 10 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Étape 1.2.3.7

Multipliez $x^{- 6}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.3.7.1

Déplacez $x^{2}$ .

$2 c + 10 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Étape 1.2.3.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 c + 10 (- 3 x^{2 - 6})$

Étape 1.2.3.7.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$2 c + 10 (- 3 x^{- 4})$

Étape 1.2.3.8

Multipliez $- 3$ par $10$ .

$2 c - 30 x^{- 4}$

Étape 1.2.4

Simplifiez

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Étape 1.2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 c - 30 \frac{1}{x^{4}}$

Étape 1.2.4.2

Associez des termes.

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Étape 1.2.4.2.1

Associez $- 30$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$2 c + \frac{- 30}{x^{4}}$

Étape 1.2.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = 2 c - \frac{30}{x^{4}}$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 c - \frac{30}{x^{4}}$ .

$2 c - \frac{30}{x^{4}}$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 c - \frac{30}{x^{4}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$2 c - \frac{30}{x^{4}} = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $2 c$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{30}{x^{4}} = - 2 c$

Étape 2.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{4}, 1$

Étape 2.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{4}$

Étape 2.4

Multiplier chaque terme dans $- \frac{30}{x^{4}} = - 2 c$ par $x^{4}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.4.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{30}{x^{4}} = - 2 c$ par $x^{4}$ .

$- \frac{30}{x^{4}} x^{4} = - 2 c x^{4}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{4}$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{30}{x^{4}}$ dans le numérateur.

$\frac{- 30}{x^{4}} x^{4} = - 2 c x^{4}$

Étape 2.4.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 30}{x^{4}} x^{4} = - 2 c x^{4}$

Étape 2.4.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 30 = - 2 c x^{4}$

Étape 2.5

Résolvez l’équation.

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Étape 2.5.1

Réécrivez l’équation comme $- 2 c x^{4} = - 30$ .

$- 2 c x^{4} = - 30$

Étape 2.5.2

Divisez chaque terme dans $- 2 c x^{4} = - 30$ par $- 2 c$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 c x^{4} = - 30$ par $- 2 c$ .

$\frac{- 2 c x^{4}}{- 2 c} = \frac{- 30}{- 2 c}$

Étape 2.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 2.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 c x^{4}}{- 2 c} = \frac{- 30}{- 2 c}$

Étape 2.5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{c x^{4}}{c} = \frac{- 30}{- 2 c}$

Étape 2.5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $c$ .

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Étape 2.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{c x^{4}}{c} = \frac{- 30}{- 2 c}$

Étape 2.5.2.2.2.2

Divisez $x^{4}$ par $1$ .

$x^{4} = \frac{- 30}{- 2 c}$

Étape 2.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 30$ et $- 2$ .

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Étape 2.5.2.3.1.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 30$ .

$x^{4} = \frac{- 2 (15)}{- 2 c}$

Étape 2.5.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.5.2.3.1.2.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 c$ .

$x^{4} = \frac{- 2 (15)}{- 2 (c)}$

Étape 2.5.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{4} = \frac{- 2 \cdot 15}{- 2 c}$

Étape 2.5.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{4} = \frac{15}{c}$

Étape 2.5.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt[4]{\frac{15}{c}}$

Étape 2.5.4

Simplifiez $\pm \sqrt[4]{\frac{15}{c}}$ .

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Étape 2.5.4.1

Réécrivez $\sqrt[4]{\frac{15}{c}}$ comme $\frac{\sqrt[4]{15}}{\sqrt[4]{c}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{15}}{\sqrt[4]{c}}$

Étape 2.5.4.2

Multipliez $\frac{\sqrt[4]{15}}{\sqrt[4]{c}}$ par $\frac{{\sqrt[4]{c}}^{3}}{{\sqrt[4]{c}}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{15}}{\sqrt[4]{c}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{c}}^{3}}{{\sqrt[4]{c}}^{3}}$

Étape 2.5.4.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.5.4.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt[4]{15}}{\sqrt[4]{c}}$ par $\frac{{\sqrt[4]{c}}^{3}}{{\sqrt[4]{c}}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{15} {\sqrt[4]{c}}^{3}}{\sqrt[4]{c} {\sqrt[4]{c}}^{3}}$

Étape 2.5.4.3.2

Élevez $\sqrt[4]{c}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{15} {\sqrt[4]{c}}^{3}}{{\sqrt[4]{c}}^{1} {\sqrt[4]{c}}^{3}}$

Étape 2.5.4.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{15} {\sqrt[4]{c}}^{3}}{{\sqrt[4]{c}}^{1 + 3}}$

Étape 2.5.4.3.4

Additionnez $1$ et $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{15} {\sqrt[4]{c}}^{3}}{{\sqrt[4]{c}}^{4}}$

Étape 2.5.4.3.5

Réécrivez ${\sqrt[4]{c}}^{4}$ comme $c$ .

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Étape 2.5.4.3.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{c}$ comme $c^{\frac{1}{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{15} {\sqrt[4]{c}}^{3}}{{(c^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Étape 2.5.4.3.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{15} {\sqrt[4]{c}}^{3}}{c^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Étape 2.5.4.3.5.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $4$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{15} {\sqrt[4]{c}}^{3}}{c^{\frac{4}{4}}}$

Étape 2.5.4.3.5.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.5.4.3.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{15} {\sqrt[4]{c}}^{3}}{c^{\frac{4}{4}}}$

Étape 2.5.4.3.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{15} {\sqrt[4]{c}}^{3}}{c^{1}}$

Étape 2.5.4.3.5.5

Simplifiez

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{15} {\sqrt[4]{c}}^{3}}{c}$

Étape 2.5.4.4

Réécrivez ${\sqrt[4]{c}}^{3}$ comme $\sqrt[4]{c^{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{15} \sqrt[4]{c^{3}}}{c}$

Étape 2.5.4.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}$

Étape 2.5.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.5.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}$

Étape 2.5.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}$

Étape 2.5.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}$

$x = - \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}$

$x = \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}$

$x = - \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}$

$x = \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}$

$x = - \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}$

$x = \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}$

$x = - \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}$ dans $f (x) = c x^{2} - 5 x^{- 2}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}$ dans l’expression.

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = c {(\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c})}^{2} - 5 {(\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c})}^{- 2}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = c (\frac{{\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{2}}{c^{2}}) - 5 {(\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c})}^{- 2}$

Étape 3.1.2.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.2.1.2.1

Réécrivez ${\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{2}$ comme $\sqrt{15 c^{3}}$ .

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Étape 3.1.2.1.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{15 c^{3}}$ comme ${(15 c^{3})}^{\frac{1}{4}}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = c (\frac{{({(15 c^{3})}^{\frac{1}{4}})}^{2}}{c^{2}}) - 5 {(\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c})}^{- 2}$

Étape 3.1.2.1.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = c (\frac{{(15 c^{3})}^{\frac{1}{4} \cdot 2}}{c^{2}}) - 5 {(\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c})}^{- 2}$

Étape 3.1.2.1.2.1.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $2$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = c (\frac{{(15 c^{3})}^{\frac{2}{4}}}{c^{2}}) - 5 {(\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c})}^{- 2}$

Étape 3.1.2.1.2.1.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 3.1.2.1.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = c (\frac{{(15 c^{3})}^{\frac{2 (1)}{4}}}{c^{2}}) - 5 {(\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c})}^{- 2}$

Étape 3.1.2.1.2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.2.1.2.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = c (\frac{{(15 c^{3})}^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}{c^{2}}) - 5 {(\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c})}^{- 2}$

Étape 3.1.2.1.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = c (\frac{{(15 c^{3})}^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}{c^{2}}) - 5 {(\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c})}^{- 2}$

Étape 3.1.2.1.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = c (\frac{{(15 c^{3})}^{\frac{1}{2}}}{c^{2}}) - 5 {(\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c})}^{- 2}$

Étape 3.1.2.1.2.1.5

Réécrivez ${(15 c^{3})}^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{15 c^{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = c (\frac{\sqrt{15 c^{3}}}{c^{2}}) - 5 {(\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c})}^{- 2}$

Étape 3.1.2.1.2.2

Réécrivez $15 c^{3}$ comme $c^{2} \cdot (15 c)$ .

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Étape 3.1.2.1.2.2.1

Factorisez $c^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = c (\frac{\sqrt{15 (c^{2} c)}}{c^{2}}) - 5 {(\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c})}^{- 2}$

Étape 3.1.2.1.2.2.2

Remettez dans l’ordre $15$ et $c^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = c (\frac{\sqrt{c^{2} \cdot (15 c)}}{c^{2}}) - 5 {(\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c})}^{- 2}$

Étape 3.1.2.1.2.2.3

Ajoutez des parenthèses.

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = c (\frac{\sqrt{c^{2} \cdot (15 c)}}{c^{2}}) - 5 {(\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c})}^{- 2}$

Étape 3.1.2.1.2.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = c (\frac{c \sqrt{15 c}}{c^{2}}) - 5 {(\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c})}^{- 2}$

Étape 3.1.2.1.3

Annulez le facteur commun de $c$ .

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Étape 3.1.2.1.3.1

Factorisez $c$ à partir de $c^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = c (\frac{c \sqrt{15 c}}{c \cdot c}) - 5 {(\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c})}^{- 2}$

Étape 3.1.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = c (\frac{c \sqrt{15 c}}{c \cdot c}) - 5 {(\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c})}^{- 2}$

Étape 3.1.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \frac{c \sqrt{15 c}}{c} - 5 {(\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c})}^{- 2}$

Étape 3.1.2.1.4

Annulez le facteur commun de $c$ .

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Étape 3.1.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \frac{c \sqrt{15 c}}{c} - 5 {(\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c})}^{- 2}$

Étape 3.1.2.1.4.2

Divisez $\sqrt{15 c}$ par $1$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c})}^{- 2}$

Étape 3.1.2.1.5

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(\frac{c}{\sqrt[4]{15 c^{3}}})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.6

Multipliez $\frac{c}{\sqrt[4]{15 c^{3}}}$ par $\frac{{\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{3}}{{\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(\frac{c}{\sqrt[4]{15 c^{3}}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{3}}{{\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{3}})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1.2.1.7.1

Multipliez $\frac{c}{\sqrt[4]{15 c^{3}}}$ par $\frac{{\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{3}}{{\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(\frac{c {\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{3}}{\sqrt[4]{15 c^{3}} {\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{3}})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.7.2

Élevez $\sqrt[4]{15 c^{3}}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(\frac{c {\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{3}}{\sqrt[4]{15 c^{3}} {\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{3}})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.7.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(\frac{c {\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{3}}{{\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{1 + 3}})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.7.4

Additionnez $1$ et $3$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(\frac{c {\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{3}}{{\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{4}})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.7.5

Réécrivez ${\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{4}$ comme $15 c^{3}$ .

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Étape 3.1.2.1.7.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{15 c^{3}}$ comme ${(15 c^{3})}^{\frac{1}{4}}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(\frac{c {\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{3}}{{({(15 c^{3})}^{\frac{1}{4}})}^{4}})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.7.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(\frac{c {\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{3}}{{(15 c^{3})}^{\frac{1}{4} \cdot 4}})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.7.5.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $4$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(\frac{c {\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{3}}{{(15 c^{3})}^{\frac{4}{4}}})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.7.5.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.1.2.1.7.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(\frac{c {\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{3}}{{(15 c^{3})}^{\frac{4}{4}}})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.7.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(\frac{c {\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{3}}{15 c^{3}})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.7.5.5

Simplifiez

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(\frac{c {\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{3}}{15 c^{3}})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.8

Annulez le facteur commun à $c$ et $c^{3}$ .

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Étape 3.1.2.1.8.1

Factorisez $c$ à partir de $c {\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(\frac{c ({\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{3})}{15 c^{3}})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.2.1.8.2.1

Factorisez $c$ à partir de $15 c^{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(\frac{c ({\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{3})}{c (15 c^{2})})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(\frac{c {\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{3}}{c (15 c^{2})})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(\frac{{\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{3}}{15 c^{2}})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.2.1.9.1

Réécrivez ${\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{3}$ comme $\sqrt[4]{{(15 c^{3})}^{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(\frac{\sqrt[4]{{(15 c^{3})}^{3}}}{15 c^{2}})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.9.2

Appliquez la règle de produit à $15 c^{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(\frac{\sqrt[4]{15^{3} {(c^{3})}^{3}}}{15 c^{2}})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.9.3

Élevez $15$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(\frac{\sqrt[4]{3375 {(c^{3})}^{3}}}{15 c^{2}})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.9.4

Multipliez les exposants dans ${(c^{3})}^{3}$ .

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Étape 3.1.2.1.9.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(\frac{\sqrt[4]{3375 c^{3 \cdot 3}}}{15 c^{2}})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.9.4.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(\frac{\sqrt[4]{3375 c^{9}}}{15 c^{2}})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.9.5

Réécrivez $3375 c^{9}$ comme ${(c^{2})}^{4} \cdot (3375 c)$ .

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Étape 3.1.2.1.9.5.1

Factorisez $c^{8}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(\frac{\sqrt[4]{3375 (c^{8} c)}}{15 c^{2}})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.9.5.2

Réécrivez $c^{8}$ comme ${(c^{2})}^{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(\frac{\sqrt[4]{3375 ({(c^{2})}^{4} c)}}{15 c^{2}})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.9.5.3

Remettez dans l’ordre $3375$ et ${(c^{2})}^{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(\frac{\sqrt[4]{{(c^{2})}^{4} \cdot (3375 c)}}{15 c^{2}})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.9.5.4

Ajoutez des parenthèses.

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(\frac{\sqrt[4]{{(c^{2})}^{4} \cdot (3375 c)}}{15 c^{2}})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.9.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(\frac{c^{2} \sqrt[4]{3375 c}}{15 c^{2}})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.10

Annulez le facteur commun de $c^{2}$ .

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Étape 3.1.2.1.10.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(\frac{c^{2} \sqrt[4]{3375 c}}{15 c^{2}})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.10.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(\frac{\sqrt[4]{3375 c}}{15})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.11

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[4]{3375 c}}{15}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 \frac{{\sqrt[4]{3375 c}}^{2}}{15^{2}}$

Étape 3.1.2.1.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.2.1.12.1

Réécrivez ${\sqrt[4]{3375 c}}^{2}$ comme $\sqrt{3375 c}$ .

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Étape 3.1.2.1.12.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{3375 c}$ comme ${(3375 c)}^{\frac{1}{4}}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 \frac{{({(3375 c)}^{\frac{1}{4}})}^{2}}{15^{2}}$

Étape 3.1.2.1.12.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 \frac{{(3375 c)}^{\frac{1}{4} \cdot 2}}{15^{2}}$

Étape 3.1.2.1.12.1.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $2$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 \frac{{(3375 c)}^{\frac{2}{4}}}{15^{2}}$

Étape 3.1.2.1.12.1.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 3.1.2.1.12.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 \frac{{(3375 c)}^{\frac{2 (1)}{4}}}{15^{2}}$

Étape 3.1.2.1.12.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.2.1.12.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 \frac{{(3375 c)}^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}{15^{2}}$

Étape 3.1.2.1.12.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 \frac{{(3375 c)}^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}{15^{2}}$

Étape 3.1.2.1.12.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 \frac{{(3375 c)}^{\frac{1}{2}}}{15^{2}}$

Étape 3.1.2.1.12.1.5

Réécrivez ${(3375 c)}^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{3375 c}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 \frac{\sqrt{3375 c}}{15^{2}}$

Étape 3.1.2.1.12.2

Réécrivez $3375 c$ comme $15^{2} \cdot (15 c)$ .

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Étape 3.1.2.1.12.2.1

Factorisez $225$ à partir de $3375$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 \frac{\sqrt{225 (15) c}}{15^{2}}$

Étape 3.1.2.1.12.2.2

Réécrivez $225$ comme $15^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 \frac{\sqrt{15^{2} \cdot (15 c)}}{15^{2}}$

Étape 3.1.2.1.12.2.3

Ajoutez des parenthèses.

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 \frac{\sqrt{15^{2} \cdot (15 c)}}{15^{2}}$

Étape 3.1.2.1.12.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 \frac{15 \sqrt{15 c}}{15^{2}}$

Étape 3.1.2.1.13

Élevez $15$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 \frac{15 \sqrt{15 c}}{225}$

Étape 3.1.2.1.14

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.1.2.1.14.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} + 5 (- 1) (\frac{15 \sqrt{15 c}}{225})$

Étape 3.1.2.1.14.2

Factorisez $5$ à partir de $225$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} + 5 \cdot (- 1 \frac{15 \sqrt{15 c}}{5 \cdot 45})$

Étape 3.1.2.1.14.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} + 5 \cdot (- 1 \frac{15 \sqrt{15 c}}{5 \cdot 45})$

Étape 3.1.2.1.14.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 1 \frac{15 \sqrt{15 c}}{45}$

Étape 3.1.2.1.15

Annulez le facteur commun à $15$ et $45$ .

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Étape 3.1.2.1.15.1

Factorisez $15$ à partir de $15 \sqrt{15 c}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 1 \frac{15 (\sqrt{15 c})}{45}$

Étape 3.1.2.1.15.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.2.1.15.2.1

Factorisez $15$ à partir de $45$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 1 \frac{15 \sqrt{15 c}}{15 \cdot 3}$

Étape 3.1.2.1.15.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 1 \frac{15 \sqrt{15 c}}{15 \cdot 3}$

Étape 3.1.2.1.15.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 1 \frac{\sqrt{15 c}}{3}$

Étape 3.1.2.1.16

Réécrivez $- 1 \frac{\sqrt{15 c}}{3}$ comme $- \frac{\sqrt{15 c}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - \frac{\sqrt{15 c}}{3}$

Étape 3.1.2.2

Pour écrire $\sqrt{15 c}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} \cdot \frac{3}{3} - \frac{\sqrt{15 c}}{3}$

Étape 3.1.2.3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1.2.3.1

Associez $\sqrt{15 c}$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \frac{\sqrt{15 c} \cdot 3}{3} - \frac{\sqrt{15 c}}{3}$

Étape 3.1.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \frac{\sqrt{15 c} \cdot 3 - \sqrt{15 c}}{3}$

Étape 3.1.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.2.4.1

Déplacez $3$ à gauche de $\sqrt{15 c}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \frac{3 \cdot \sqrt{15 c} - \sqrt{15 c}}{3}$

Étape 3.1.2.4.2

Soustrayez $\sqrt{15 c}$ de $3 \sqrt{15 c}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \frac{2 \sqrt{15 c}}{3}$

Étape 3.1.2.5

La réponse finale est $\frac{2 \sqrt{15 c}}{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{15 c}}{3}$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}$ dans $f (x) = c x^{2} - 5 x^{- 2}$ est $(\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}, \frac{2 \sqrt{15 c}}{3})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}, \frac{2 \sqrt{15 c}}{3})$

Étape 3.3

Remplacez $- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}$ dans $f (x) = c x^{2} - 5 x^{- 2}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}$ dans l’expression.

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = c {(- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c})}^{2} - 5 {(- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c})}^{- 2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = c ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c})}^{2}) - 5 {(- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c})}^{- 2}$

Étape 3.3.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = c ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{2}}{c^{2}})) - 5 {(- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c})}^{- 2}$

Étape 3.3.2.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = {(- 1)}^{2} c (\frac{{\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{2}}{c^{2}}) - 5 {(- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c})}^{- 2}$

Étape 3.3.2.1.3

Annulez le facteur commun de $c$ .

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Étape 3.3.2.1.3.1

Factorisez $c$ à partir de ${(- 1)}^{2} c$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = c {(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{2}}{c^{2}}) - 5 {(- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c})}^{- 2}$

Étape 3.3.2.1.3.2

Factorisez $c$ à partir de $c^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = c {(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{2}}{c \cdot c}) - 5 {(- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c})}^{- 2}$

Étape 3.3.2.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = c {(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{2}}{c \cdot c}) - 5 {(- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c})}^{- 2}$

Étape 3.3.2.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = {(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{2}}{c}) - 5 {(- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c})}^{- 2}$

Étape 3.3.2.1.4

Associez ${(- 1)}^{2}$ et $\frac{{\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{2}}{c}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \frac{{(- 1)}^{2} {\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{2}}{c} - 5 {(- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c})}^{- 2}$

Étape 3.3.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.2.1.5.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \frac{1 {\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{2}}{c} - 5 {(- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c})}^{- 2}$

Étape 3.3.2.1.5.2

Réécrivez ${\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{2}$ comme $\sqrt{15 c^{3}}$ .

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Étape 3.3.2.1.5.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{15 c^{3}}$ comme ${(15 c^{3})}^{\frac{1}{4}}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \frac{1 {({(15 c^{3})}^{\frac{1}{4}})}^{2}}{c} - 5 {(- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c})}^{- 2}$

Étape 3.3.2.1.5.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \frac{1 {(15 c^{3})}^{\frac{1}{4} \cdot 2}}{c} - 5 {(- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c})}^{- 2}$

Étape 3.3.2.1.5.2.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $2$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \frac{1 {(15 c^{3})}^{\frac{2}{4}}}{c} - 5 {(- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c})}^{- 2}$

Étape 3.3.2.1.5.2.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 3.3.2.1.5.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \frac{1 {(15 c^{3})}^{\frac{2 (1)}{4}}}{c} - 5 {(- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c})}^{- 2}$

Étape 3.3.2.1.5.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.2.1.5.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \frac{1 {(15 c^{3})}^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}{c} - 5 {(- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c})}^{- 2}$

Étape 3.3.2.1.5.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \frac{1 {(15 c^{3})}^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}{c} - 5 {(- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c})}^{- 2}$

Étape 3.3.2.1.5.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \frac{1 {(15 c^{3})}^{\frac{1}{2}}}{c} - 5 {(- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c})}^{- 2}$

Étape 3.3.2.1.5.2.5

Réécrivez ${(15 c^{3})}^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{15 c^{3}}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \frac{1 \sqrt{15 c^{3}}}{c} - 5 {(- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c})}^{- 2}$

Étape 3.3.2.1.5.3

Réécrivez $15 c^{3}$ comme $c^{2} \cdot (15 c)$ .

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Étape 3.3.2.1.5.3.1

Factorisez $c^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \frac{1 \sqrt{15 (c^{2} c)}}{c} - 5 {(- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c})}^{- 2}$

Étape 3.3.2.1.5.3.2

Remettez dans l’ordre $15$ et $c^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \frac{1 \sqrt{c^{2} \cdot (15 c)}}{c} - 5 {(- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c})}^{- 2}$

Étape 3.3.2.1.5.3.3

Ajoutez des parenthèses.

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \frac{1 \sqrt{c^{2} \cdot (15 c)}}{c} - 5 {(- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c})}^{- 2}$

Étape 3.3.2.1.5.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \frac{1 (c \sqrt{15 c})}{c} - 5 {(- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c})}^{- 2}$

Étape 3.3.2.1.5.5

Multipliez $c \sqrt{15 c}$ par $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \frac{c \sqrt{15 c}}{c} - 5 {(- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c})}^{- 2}$

Étape 3.3.2.1.6

Annulez le facteur commun de $c$ .

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Étape 3.3.2.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \frac{c \sqrt{15 c}}{c} - 5 {(- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c})}^{- 2}$

Étape 3.3.2.1.6.2

Divisez $\sqrt{15 c}$ par $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c})}^{- 2}$

Étape 3.3.2.1.7

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(- \frac{c}{\sqrt[4]{15 c^{3}}})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.8

Multipliez $\frac{c}{\sqrt[4]{15 c^{3}}}$ par $\frac{{\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{3}}{{\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{3}}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(- (\frac{c}{\sqrt[4]{15 c^{3}}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{3}}{{\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{3}}))}^{2}$

Étape 3.3.2.1.9

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.2.1.9.1

Multipliez $\frac{c}{\sqrt[4]{15 c^{3}}}$ par $\frac{{\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{3}}{{\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{3}}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(- \frac{c {\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{3}}{\sqrt[4]{15 c^{3}} {\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{3}})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.9.2

Élevez $\sqrt[4]{15 c^{3}}$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(- \frac{c {\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{3}}{\sqrt[4]{15 c^{3}} {\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{3}})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.9.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(- \frac{c {\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{3}}{{\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{1 + 3}})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.9.4

Additionnez $1$ et $3$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(- \frac{c {\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{3}}{{\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{4}})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.9.5

Réécrivez ${\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{4}$ comme $15 c^{3}$ .

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Étape 3.3.2.1.9.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{15 c^{3}}$ comme ${(15 c^{3})}^{\frac{1}{4}}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(- \frac{c {\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{3}}{{({(15 c^{3})}^{\frac{1}{4}})}^{4}})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.9.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(- \frac{c {\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{3}}{{(15 c^{3})}^{\frac{1}{4} \cdot 4}})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.9.5.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(- \frac{c {\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{3}}{{(15 c^{3})}^{\frac{4}{4}}})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.9.5.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.3.2.1.9.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(- \frac{c {\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{3}}{{(15 c^{3})}^{\frac{4}{4}}})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.9.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(- \frac{c {\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{3}}{15 c^{3}})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.9.5.5

Simplifiez

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(- \frac{c {\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{3}}{15 c^{3}})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.10

Annulez le facteur commun à $c$ et $c^{3}$ .

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Étape 3.3.2.1.10.1

Factorisez $c$ à partir de $c {\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(- \frac{c ({\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{3})}{15 c^{3}})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.2.1.10.2.1

Factorisez $c$ à partir de $15 c^{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(- \frac{c ({\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{3})}{c (15 c^{2})})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(- \frac{c {\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{3}}{c (15 c^{2})})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(- \frac{{\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{3}}{15 c^{2}})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.2.1.11.1

Réécrivez ${\sqrt[4]{15 c^{3}}}^{3}$ comme $\sqrt[4]{{(15 c^{3})}^{3}}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(- \frac{\sqrt[4]{{(15 c^{3})}^{3}}}{15 c^{2}})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.11.2

Appliquez la règle de produit à $15 c^{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(- \frac{\sqrt[4]{15^{3} {(c^{3})}^{3}}}{15 c^{2}})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.11.3

Élevez $15$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(- \frac{\sqrt[4]{3375 {(c^{3})}^{3}}}{15 c^{2}})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.11.4

Multipliez les exposants dans ${(c^{3})}^{3}$ .

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Étape 3.3.2.1.11.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(- \frac{\sqrt[4]{3375 c^{3 \cdot 3}}}{15 c^{2}})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.11.4.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(- \frac{\sqrt[4]{3375 c^{9}}}{15 c^{2}})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.11.5

Réécrivez $3375 c^{9}$ comme ${(c^{2})}^{4} \cdot (3375 c)$ .

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Étape 3.3.2.1.11.5.1

Factorisez $c^{8}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(- \frac{\sqrt[4]{3375 (c^{8} c)}}{15 c^{2}})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.11.5.2

Réécrivez $c^{8}$ comme ${(c^{2})}^{4}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(- \frac{\sqrt[4]{3375 ({(c^{2})}^{4} c)}}{15 c^{2}})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.11.5.3

Remettez dans l’ordre $3375$ et ${(c^{2})}^{4}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(- \frac{\sqrt[4]{{(c^{2})}^{4} \cdot (3375 c)}}{15 c^{2}})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.11.5.4

Ajoutez des parenthèses.

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(- \frac{\sqrt[4]{{(c^{2})}^{4} \cdot (3375 c)}}{15 c^{2}})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.11.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(- \frac{c^{2} \sqrt[4]{3375 c}}{15 c^{2}})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.12

Annulez le facteur commun de $c^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.12.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(- \frac{c^{2} \sqrt[4]{3375 c}}{15 c^{2}})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.12.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 {(- \frac{\sqrt[4]{3375 c}}{15})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.13

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.3.2.1.13.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt[4]{3375 c}}{15}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt[4]{3375 c}}{15})}^{2})$

Étape 3.3.2.1.13.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[4]{3375 c}}{15}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt[4]{3375 c}}^{2}}{15^{2}}))$

Étape 3.3.2.1.14

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 (1 (\frac{{\sqrt[4]{3375 c}}^{2}}{15^{2}}))$

Étape 3.3.2.1.15

Multipliez $\frac{{\sqrt[4]{3375 c}}^{2}}{15^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 \frac{{\sqrt[4]{3375 c}}^{2}}{15^{2}}$

Étape 3.3.2.1.16

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.2.1.16.1

Réécrivez ${\sqrt[4]{3375 c}}^{2}$ comme $\sqrt{3375 c}$ .

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Étape 3.3.2.1.16.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{3375 c}$ comme ${(3375 c)}^{\frac{1}{4}}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 \frac{{({(3375 c)}^{\frac{1}{4}})}^{2}}{15^{2}}$

Étape 3.3.2.1.16.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 \frac{{(3375 c)}^{\frac{1}{4} \cdot 2}}{15^{2}}$

Étape 3.3.2.1.16.1.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $2$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 \frac{{(3375 c)}^{\frac{2}{4}}}{15^{2}}$

Étape 3.3.2.1.16.1.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 3.3.2.1.16.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 \frac{{(3375 c)}^{\frac{2 (1)}{4}}}{15^{2}}$

Étape 3.3.2.1.16.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.2.1.16.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 \frac{{(3375 c)}^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}{15^{2}}$

Étape 3.3.2.1.16.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 \frac{{(3375 c)}^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}{15^{2}}$

Étape 3.3.2.1.16.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 \frac{{(3375 c)}^{\frac{1}{2}}}{15^{2}}$

Étape 3.3.2.1.16.1.5

Réécrivez ${(3375 c)}^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{3375 c}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 \frac{\sqrt{3375 c}}{15^{2}}$

Étape 3.3.2.1.16.2

Réécrivez $3375 c$ comme $15^{2} \cdot (15 c)$ .

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Étape 3.3.2.1.16.2.1

Factorisez $225$ à partir de $3375$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 \frac{\sqrt{225 (15) c}}{15^{2}}$

Étape 3.3.2.1.16.2.2

Réécrivez $225$ comme $15^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 \frac{\sqrt{15^{2} \cdot (15 c)}}{15^{2}}$

Étape 3.3.2.1.16.2.3

Ajoutez des parenthèses.

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 \frac{\sqrt{15^{2} \cdot (15 c)}}{15^{2}}$

Étape 3.3.2.1.16.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 \frac{15 \sqrt{15 c}}{15^{2}}$

Étape 3.3.2.1.17

Élevez $15$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 5 \frac{15 \sqrt{15 c}}{225}$

Étape 3.3.2.1.18

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.3.2.1.18.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} + 5 (- 1) (\frac{15 \sqrt{15 c}}{225})$

Étape 3.3.2.1.18.2

Factorisez $5$ à partir de $225$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} + 5 \cdot (- 1 \frac{15 \sqrt{15 c}}{5 \cdot 45})$

Étape 3.3.2.1.18.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} + 5 \cdot (- 1 \frac{15 \sqrt{15 c}}{5 \cdot 45})$

Étape 3.3.2.1.18.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 1 \frac{15 \sqrt{15 c}}{45}$

Étape 3.3.2.1.19

Annulez le facteur commun à $15$ et $45$ .

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Étape 3.3.2.1.19.1

Factorisez $15$ à partir de $15 \sqrt{15 c}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 1 \frac{15 (\sqrt{15 c})}{45}$

Étape 3.3.2.1.19.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.2.1.19.2.1

Factorisez $15$ à partir de $45$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 1 \frac{15 \sqrt{15 c}}{15 \cdot 3}$

Étape 3.3.2.1.19.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 1 \frac{15 \sqrt{15 c}}{15 \cdot 3}$

Étape 3.3.2.1.19.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - 1 \frac{\sqrt{15 c}}{3}$

Étape 3.3.2.1.20

Réécrivez $- 1 \frac{\sqrt{15 c}}{3}$ comme $- \frac{\sqrt{15 c}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} - \frac{\sqrt{15 c}}{3}$

Étape 3.3.2.2

Pour écrire $\sqrt{15 c}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \sqrt{15 c} \cdot \frac{3}{3} - \frac{\sqrt{15 c}}{3}$

Étape 3.3.2.3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.3.2.3.1

Associez $\sqrt{15 c}$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \frac{\sqrt{15 c} \cdot 3}{3} - \frac{\sqrt{15 c}}{3}$

Étape 3.3.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \frac{\sqrt{15 c} \cdot 3 - \sqrt{15 c}}{3}$

Étape 3.3.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.2.4.1

Déplacez $3$ à gauche de $\sqrt{15 c}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \frac{3 \cdot \sqrt{15 c} - \sqrt{15 c}}{3}$

Étape 3.3.2.4.2

Soustrayez $\sqrt{15 c}$ de $3 \sqrt{15 c}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) = \frac{2 \sqrt{15 c}}{3}$

Étape 3.3.2.5

La réponse finale est $\frac{2 \sqrt{15 c}}{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{15 c}}{3}$

Étape 3.4

Le point trouvé en remplaçant $- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}$ dans $f (x) = c x^{2} - 5 x^{- 2}$ est $(- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}, \frac{2 \sqrt{15 c}}{3})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}, \frac{2 \sqrt{15 c}}{3})$

Étape 3.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}, \frac{2 \sqrt{15 c}}{3}), (- \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}, \frac{2 \sqrt{15 c}}{3})$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}) \cup (\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $N^{2} a - 0.1$ dans l’expression.

$f'' (N^{2} a - 0.1) = 2 c - \frac{30}{{(N^{2} a - 0.1)}^{4}}$

Étape 5.2

La réponse finale est $2 c - \frac{30}{{(N^{2} a - 0.1)}^{4}}$ .

$2 c - \frac{30}{{(N^{2} a - 0.1)}^{4}}$

Étape 5.3

Sur $N^{2} a - 0.1$ , la dérivée seconde est $N a N$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \infty, \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c})$

Diminue sur $(- \infty, \frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c})$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $N^{2} a + 0.1$ dans l’expression.

$f'' (N^{2} a + 0.1) = 2 c - \frac{30}{{(N^{2} a + 0.1)}^{4}}$

Étape 6.2

La réponse finale est $2 c - \frac{30}{{(N^{2} a + 0.1)}^{4}}$ .

$2 c - \frac{30}{{(N^{2} a + 0.1)}^{4}}$

Étape 6.3

Sur $N^{2} a + 0.1$ , la dérivée seconde est $N a N$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}, \infty)$

Diminue sur $(\frac{\sqrt[4]{15 c^{3}}}{c}, \infty)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Aucun point du graphe ne respecte ces exigences.

Aucun point d’inflexion