Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - e^{- \frac{x^{2}}{50}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{50}}]$ .

$- \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{50}}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - \frac{x^{2}}{50}$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- \frac{x^{2}}{50}$ .

$- (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{50}])$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{50}])$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- \frac{x^{2}}{50}$ .

$- (e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{50}])$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Comme $- \frac{1}{50}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x^{2}}{50}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- e^{- \frac{x^{2}}{50}} (- \frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.1.3.2

Associez les fractions.

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Étape 1.1.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 e^{- \frac{x^{2}}{50}} (\frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.1.3.2.2

Multipliez $e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ par $1$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{50}} (\frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.1.3.2.3

Associez $\frac{1}{50}$ et $e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ .

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} (2 x)$

Étape 1.1.3.4

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1.3.4.1

Associez $2$ et $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50}$ .

$\frac{2 e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} x$

Étape 1.1.3.4.2

Associez $\frac{2 e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50}$ et $x$ .

$\frac{2 e^{- \frac{x^{2}}{50}} x}{50}$

Étape 1.1.3.4.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $50$ .

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Étape 1.1.3.4.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 e^{- \frac{x^{2}}{50}} x$ .

$\frac{2 (e^{- \frac{x^{2}}{50}} x)}{50}$

Étape 1.1.3.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.3.4.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $50$ .

$\frac{2 (e^{- \frac{x^{2}}{50}} x)}{2 \cdot 25}$

Étape 1.1.3.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (e^{- \frac{x^{2}}{50}} x)}{2 \cdot 25}$

Étape 1.1.3.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}} x}{25}$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- \frac{x^{2}}{50}} x$ .

$\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}$

Étape 1.1.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}} x}{25}$

Étape 1.1.4.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}} x}{25}$ .

$f' (x) = \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Comme $\frac{1}{25}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{25} \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{50}}]$ .

$\frac{1}{25} \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{50}}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ .

$\frac{1}{25} (x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{50}}] + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - \frac{x^{2}}{50}$ .

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Étape 1.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- \frac{x^{2}}{50}$ .

$\frac{1}{25} (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{50}]) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{25} (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{50}]) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- \frac{x^{2}}{50}$ .

$\frac{1}{25} (x (e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{50}]) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.2.4

Différenciez.

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Étape 1.2.4.1

Comme $- \frac{1}{50}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x^{2}}{50}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{25} (x (e^{- \frac{x^{2}}{50}} (- \frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.2.4.2

Associez les fractions.

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Étape 1.2.4.2.1

Associez $e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ et $\frac{1}{50}$ .

$\frac{1}{25} (x (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.2.4.2.2

Associez $x$ et $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50}$ .

$\frac{1}{25} (- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.2.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{25} (- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} (2 x) + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.2.4.4

Associez les fractions.

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Étape 1.2.4.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{25} (- 2 \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50} x + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.2.4.4.2

Associez $- 2$ et $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{50}$ .

$\frac{1}{25} (\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50} x + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.2.4.4.3

Associez $\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50}$ et $x$ .

$\frac{1}{25} (\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{50}}) x}{50} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.2.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{25} (\frac{- 2 (x^{1} x e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.2.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{25} (\frac{- 2 (x^{1} x^{1} e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{25} (\frac{- 2 (x^{1 + 1} e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.2.8

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.2.8.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{25} (\frac{- 2 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.2.8.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $50$ .

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Étape 1.2.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ .

$\frac{1}{25} (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{50} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.2.8.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.8.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $50$ .

$\frac{1}{25} (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{2 (25)} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.2.8.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{25} (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}})}{2 \cdot 25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.2.8.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{25} (\frac{- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.2.8.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{25} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{25} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}} \cdot 1)$

Étape 1.2.10

Multipliez $e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ par $1$ .

$\frac{1}{25} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} + e^{- \frac{x^{2}}{50}})$

Étape 1.2.11

Simplifiez

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Étape 1.2.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{25} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}) + \frac{1}{25} e^{- \frac{x^{2}}{50}}$

Étape 1.2.11.2

Associez des termes.

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Étape 1.2.11.2.1

Multipliez $\frac{1}{25}$ par $\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25 \cdot 25} + \frac{1}{25} e^{- \frac{x^{2}}{50}}$

Étape 1.2.11.2.2

Multipliez $25$ par $25$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{625} + \frac{1}{25} e^{- \frac{x^{2}}{50}}$

Étape 1.2.11.2.3

Associez $\frac{1}{25}$ et $e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25}$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{x^{2}}{50}}}{25} = 0$

Étape 2.2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x = - 5, 5$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 3.1

Remplacez $- 5$ dans $f (x) = - e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $- 5$ dans l’expression.

$f (- 5) = - e^{- \frac{{(- 5)}^{2}}{50}}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$f (- 5) = - e^{- \frac{25}{50}}$

Étape 3.1.2.2

Annulez le facteur commun à $25$ et $50$ .

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Étape 3.1.2.2.1

Factorisez $25$ à partir de $25$ .

$f (- 5) = - e^{- \frac{25 (1)}{50}}$

Étape 3.1.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.2.2.2.1

Factorisez $25$ à partir de $50$ .

$f (- 5) = - e^{- \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 2}}$

Étape 3.1.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- 5) = - e^{- \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 2}}$

Étape 3.1.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- 5) = - e^{- \frac{1}{2}}$

Étape 3.1.2.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 5) = - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.1.2.4

La réponse finale est $- \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $- 5$ dans $f (x) = - e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ est $(- 5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- 5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Étape 3.3

Remplacez $5$ dans $f (x) = - e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f (5) = - e^{- \frac{{(5)}^{2}}{50}}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f (5) = - e^{- \frac{25}{50}}$

Étape 3.3.2.2

Annulez le facteur commun à $25$ et $50$ .

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Étape 3.3.2.2.1

Factorisez $25$ à partir de $25$ .

$f (5) = - e^{- \frac{25 (1)}{50}}$

Étape 3.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.2.2.2.1

Factorisez $25$ à partir de $50$ .

$f (5) = - e^{- \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 2}}$

Étape 3.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (5) = - e^{- \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 2}}$

Étape 3.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (5) = - e^{- \frac{1}{2}}$

Étape 3.3.2.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (5) = - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.3.2.4

La réponse finale est $- \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.4

Le point trouvé en remplaçant $5$ dans $f (x) = - e^{- \frac{x^{2}}{50}}$ est $(5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Étape 3.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(- 5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 5) \cup (5, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 5)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 5.1$ dans l’expression.

$f'' (- 5.1) = - \frac{{(- 5.1)}^{2} e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Placez $e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 5.1) = - \frac{{(- 5.1)}^{2}}{625 e^{\frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}} + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Étape 5.2.1.2

Élevez $- 5.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 5.1) = - \frac{{(- 5.1)}^{2}}{625 e^{\frac{26.01}{50}}} + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Étape 5.2.1.3

Élevez $- 5.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 5.1) = - \frac{26.01}{625 e^{\frac{26.01}{50}}} + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Étape 5.2.1.4

Divisez $26.01$ par $50$ .

$f'' (- 5.1) = - \frac{26.01}{625 e^{0.5202}} + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Étape 5.2.1.5

Remplacez $e$ par une approximation.

$f'' (- 5.1) = - \frac{26.01}{625 \cdot {2.71828182}^{0.5202}} + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Étape 5.2.1.6

Élevez $2.71828182$ à la puissance $0.5202$ .

$f'' (- 5.1) = - \frac{26.01}{625 \cdot 1.68236408} + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Étape 5.2.1.7

Multipliez $625$ par $1.68236408$ .

$f'' (- 5.1) = - \frac{26.01}{1051.47755554} + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Étape 5.2.1.8

Divisez $26.01$ par $1051.47755554$ .

$f'' (- 5.1) = - 1 \cdot 0.02473661 + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Étape 5.2.1.9

Multipliez $- 1$ par $0.02473661$ .

$f'' (- 5.1) = - 0.02473661 + \frac{e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Étape 5.2.1.10

Placez $e^{- \frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 5.1) = - 0.02473661 + \frac{1}{25 e^{\frac{{(- 5.1)}^{2}}{50}}}$

Étape 5.2.1.11

Élevez $- 5.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 5.1) = - 0.02473661 + \frac{1}{25 e^{\frac{26.01}{50}}}$

Étape 5.2.1.12

Divisez $26.01$ par $50$ .

$f'' (- 5.1) = - 0.02473661 + \frac{1}{25 e^{0.5202}}$

Étape 5.2.2

Additionnez $- 0.02473661$ et $\frac{1}{25 e^{0.5202}}$ .

$f'' (- 5.1) = - 0.00096055$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 0.00096055$ .

$- 0.00096055$

Étape 5.3

Sur $- 5.1$ , la dérivée seconde est $- 0.00096055$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \infty, - 5)$

Diminue sur $(- \infty, - 5)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 5, 5)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = - \frac{{(0)}^{2} e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = - \frac{0^{2} e^{- \frac{0}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

Étape 6.2.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.1.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = - \frac{0 e^{- \frac{0}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

Étape 6.2.1.2.2

Divisez $0$ par $50$ .

$f'' (0) = - \frac{0 e^{- 0}}{625} + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

Étape 6.2.1.2.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f'' (0) = - \frac{0 e^{0}}{625} + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

Étape 6.2.1.2.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$f'' (0) = - \frac{0 \cdot 1}{625} + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $0$ par $1$ .

$f'' (0) = - \frac{0}{625} + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

Étape 6.2.1.4

Divisez $0$ par $625$ .

$f'' (0) = - 0 + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

Étape 6.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 + \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{50}}}{25}$

Étape 6.2.1.6

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = 0 + \frac{e^{- \frac{0}{50}}}{25}$

Étape 6.2.1.7

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.7.1

Divisez $0$ par $50$ .

$f'' (0) = 0 + \frac{e^{- 0}}{25}$

Étape 6.2.1.7.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 + \frac{e^{0}}{25}$

Étape 6.2.1.7.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$f'' (0) = 0 + \frac{1}{25}$

Étape 6.2.2

Additionnez $0$ et $\frac{1}{25}$ .

$f'' (0) = \frac{1}{25}$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $\frac{1}{25}$ .

$\frac{1}{25}$

Étape 6.3

Sur $0$ , la dérivée seconde est $0.04$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- 5, 5)$ .

Augmente sur $(- 5, 5)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(5, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $5.1$ dans l’expression.

$f'' (5.1) = - \frac{{(5.1)}^{2} e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{625} + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Placez $e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (5.1) = - \frac{{(5.1)}^{2}}{625 e^{\frac{{5.1}^{2}}{50}}} + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Étape 7.2.1.2

Élevez $5.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (5.1) = - \frac{{5.1}^{2}}{625 e^{\frac{26.01}{50}}} + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Étape 7.2.1.3

Élevez $5.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (5.1) = - \frac{26.01}{625 e^{\frac{26.01}{50}}} + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Étape 7.2.1.4

Divisez $26.01$ par $50$ .

$f'' (5.1) = - \frac{26.01}{625 e^{0.5202}} + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Étape 7.2.1.5

Remplacez $e$ par une approximation.

$f'' (5.1) = - \frac{26.01}{625 \cdot {2.71828182}^{0.5202}} + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Étape 7.2.1.6

Élevez $2.71828182$ à la puissance $0.5202$ .

$f'' (5.1) = - \frac{26.01}{625 \cdot 1.68236408} + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Étape 7.2.1.7

Multipliez $625$ par $1.68236408$ .

$f'' (5.1) = - \frac{26.01}{1051.47755554} + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Étape 7.2.1.8

Divisez $26.01$ par $1051.47755554$ .

$f'' (5.1) = - 1 \cdot 0.02473661 + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Étape 7.2.1.9

Multipliez $- 1$ par $0.02473661$ .

$f'' (5.1) = - 0.02473661 + \frac{e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}}{25}$

Étape 7.2.1.10

Placez $e^{- \frac{{(5.1)}^{2}}{50}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (5.1) = - 0.02473661 + \frac{1}{25 e^{\frac{{5.1}^{2}}{50}}}$

Étape 7.2.1.11

Élevez $5.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (5.1) = - 0.02473661 + \frac{1}{25 e^{\frac{26.01}{50}}}$

Étape 7.2.1.12

Divisez $26.01$ par $50$ .

$f'' (5.1) = - 0.02473661 + \frac{1}{25 e^{0.5202}}$

Étape 7.2.2

Additionnez $- 0.02473661$ et $\frac{1}{25 e^{0.5202}}$ .

$f'' (5.1) = - 0.00096055$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- 0.00096055$ .

$- 0.00096055$

Étape 7.3

Sur $5.1$ , la dérivée seconde est $- 0.00096055$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(5, \infty)$

Diminue sur $(5, \infty)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 8

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, les points d’inflexion sont $(- 5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ .

$(- 5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (5, - \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Étape 9