Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} (5 x + 20)$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = 5 x + 20$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [5 x + 20] + (5 x + 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x + 20$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [20]$ .

$x^{3} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [20]) + (5 x + 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.1.2.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{3} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [20]) + (5 x + 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{3} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20]) + (5 x + 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.1.2.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$x^{3} (5 + \frac{d}{d x} [20]) + (5 x + 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.1.2.5

Comme $20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $20$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{3} (5 + 0) + (5 x + 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.1.2.6

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.6.1

Additionnez $5$ et $0$ .

$x^{3} \cdot 5 + (5 x + 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.1.2.6.2

Déplacez $5$ à gauche de $x^{3}$ .

$5 \cdot x^{3} + (5 x + 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.1.2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$5 x^{3} + (5 x + 20) (3 x^{2})$

Étape 1.1.2.8

Déplacez $3$ à gauche de $5 x + 20$ .

$5 x^{3} + 3 \cdot (5 x + 20) x^{2}$

Étape 1.1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 x^{3} + (3 (5 x) + 3 \cdot 20) x^{2}$

Étape 1.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$5 x^{3} + 3 (5 x) x^{2} + 3 \cdot 20 x^{2}$

Étape 1.1.3.3

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.3.1

Multipliez $5$ par $3$ .

$5 x^{3} + 15 x \cdot x^{2} + 3 \cdot 20 x^{2}$

Étape 1.1.3.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.3.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$5 x^{3} + 15 (x^{2} x) + 3 \cdot 20 x^{2}$

Étape 1.1.3.3.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.3.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$5 x^{3} + 15 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot 20 x^{2}$

Étape 1.1.3.3.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 x^{3} + 15 x^{2 + 1} + 3 \cdot 20 x^{2}$

Étape 1.1.3.3.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$5 x^{3} + 15 x^{3} + 3 \cdot 20 x^{2}$

Étape 1.1.3.3.3

Multipliez $3$ par $20$ .

$5 x^{3} + 15 x^{3} + 60 x^{2}$

Étape 1.1.3.3.4

Additionnez $5 x^{3}$ et $15 x^{3}$ .

$f' (x) = 20 x^{3} + 60 x^{2}$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $20 x^{3} + 60 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

Comme $20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $20 x^{3}$ par rapport à $x$ est $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$

Étape 1.2.2.3

Multipliez $3$ par $20$ .

$60 x^{2} + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Comme $60$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $60 x^{2}$ par rapport à $x$ est $60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$60 x^{2} + 60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$60 x^{2} + 60 (2 x)$

Étape 1.2.3.3

Multipliez $2$ par $60$ .

$f'' (x) = 60 x^{2} + 120 x$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $60 x^{2} + 120 x$ .

$60 x^{2} + 120 x$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $60 x^{2} + 120 x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$60 x^{2} + 120 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez $60 x$ à partir de $60 x^{2} + 120 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Factorisez $60 x$ à partir de $60 x^{2}$ .

$60 x (x) + 120 x = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $60 x$ à partir de $120 x$ .

$60 x (x) + 60 x (2) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $60 x$ à partir de $60 x (x) + 60 x (2)$ .

$60 x (x + 2) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $60 x (x + 2) = 0$ vraie.

$x = 0, - 2$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Remplacez $0$ dans $f (x) = x^{3} (5 x + 20)$ pour déterminer la valeur de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = {(0)}^{3} (5 (0) + 20)$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 (5 (0) + 20)$

Étape 3.1.2.2

Multipliez $5$ par $0$ .

$f (0) = 0 (0 + 20)$

Étape 3.1.2.3

Additionnez $0$ et $20$ .

$f (0) = 0 \cdot 20$

Étape 3.1.2.4

Multipliez $0$ par $20$ .

$f (0) = 0$

Étape 3.1.2.5

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $0$ dans $f (x) = x^{3} (5 x + 20)$ est $(0, 0)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(0, 0)$

Étape 3.3

Remplacez $- 2$ dans $f (x) = x^{3} (5 x + 20)$ pour déterminer la valeur de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = {(- 2)}^{3} (5 (- 2) + 20)$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f (- 2) = - 8 (5 (- 2) + 20)$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $5$ par $- 2$ .

$f (- 2) = - 8 (- 10 + 20)$

Étape 3.3.2.3

Additionnez $- 10$ et $20$ .

$f (- 2) = - 8 \cdot 10$

Étape 3.3.2.4

Multipliez $- 8$ par $10$ .

$f (- 2) = - 80$

Étape 3.3.2.5

La réponse finale est $- 80$ .

$- 80$

Étape 3.4

Le point trouvé en remplaçant $- 2$ dans $f (x) = x^{3} (5 x + 20)$ est $(- 2, - 80)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- 2, - 80)$

Étape 3.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(0, 0), (- 2, - 80)$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 2)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2.1$ dans l’expression.

$f'' (- 2.1) = 60 {(- 2.1)}^{2} + 120 (- 2.1)$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Élevez $- 2.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 2.1) = 60 \cdot 4.41 + 120 (- 2.1)$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $60$ par $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = 264.6 + 120 (- 2.1)$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $120$ par $- 2.1$ .

$f'' (- 2.1) = 264.6 - 252$

Étape 5.2.2

Soustrayez $252$ de $264.6$ .

$f'' (- 2.1) = 12.6$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $12.6$ .

$12.6$

Étape 5.3

Sur $- 2.1$ , la dérivée seconde est $12.6$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, - 2)$ .

Augmente sur $(- \infty, - 2)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 2, 0)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f'' (- 1) = 60 {(- 1)}^{2} + 120 (- 1)$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 1) = 60 \cdot 1 + 120 (- 1)$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $60$ par $1$ .

$f'' (- 1) = 60 + 120 (- 1)$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $120$ par $- 1$ .

$f'' (- 1) = 60 - 120$

Étape 6.2.2

Soustrayez $120$ de $60$ .

$f'' (- 1) = - 60$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 60$ .

$- 60$

Étape 6.3

Sur $- 1$ , la dérivée seconde est $- 60$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- 2, 0)$

Diminue sur $(- 2, 0)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0.1$ dans l’expression.

$f'' (0.1) = 60 {(0.1)}^{2} + 120 (0.1)$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Élevez $0.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (0.1) = 60 \cdot 0.01 + 120 (0.1)$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $60$ par $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.6 + 120 (0.1)$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $120$ par $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.6 + 12$

Étape 7.2.2

Additionnez $0.6$ et $12$ .

$f'' (0.1) = 12.6$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $12.6$ .

$12.6$

Étape 7.3

Sur $0.1$ , la dérivée seconde est $12.6$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(0, \infty)$ .

Augmente sur $(0, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, les points d’inflexion sont $(- 2, - 80), (0, 0)$ .

$(- 2, - 80), (0, 0)$

Étape 9