Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{\frac{2}{3}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{3} x^{3} - x^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{3} x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 1.1.2.3

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 1.1.2.4

Associez $\frac{3}{3}$ et $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 1.1.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.1.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 1.1.2.5.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$x^{2} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Étape 1.1.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 1.1.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 1.1.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{2} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 1.1.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$x^{2} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Étape 1.1.3.6.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$x^{2} - (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Étape 1.1.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} - (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Étape 1.1.3.8

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$x^{2} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Étape 1.1.3.9

Placez $x^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x^{2} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Différenciez.

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Étape 1.2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 1.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme $- \frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$2 x - \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 1.2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ comme ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$2 x - \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Étape 1.2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 1.2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$2 x - \frac{2}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Étape 1.2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Étape 1.2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{1}{3}}$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Étape 1.2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Étape 1.2.2.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

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Étape 1.2.2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Étape 1.2.2.5.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 2$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Étape 1.2.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Étape 1.2.2.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Étape 1.2.2.7

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Étape 1.2.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Étape 1.2.2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.2.9.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

Étape 1.2.2.9.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

Étape 1.2.2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

Étape 1.2.2.11

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Étape 1.2.2.12

Associez $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ et $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Étape 1.2.2.13

Multipliez $x^{- \frac{2}{3}}$ par $x^{- \frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.2.13.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x - \frac{2}{3} (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3})$

Étape 1.2.2.13.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x - \frac{2}{3} (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3})$

Étape 1.2.2.13.3

Soustrayez $2$ de $- 2$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3})$

Étape 1.2.2.13.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 x - \frac{2}{3} (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Étape 1.2.2.14

Placez $x^{- \frac{4}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x - \frac{2}{3} (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

Étape 1.2.2.15

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 x + 1 (\frac{2}{3}) \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 1.2.2.16

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

$2 x + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 1.2.2.17

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$2 x + \frac{2}{3 (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Étape 1.2.2.18

Multipliez $3$ par $3$ .

$f'' (x) = 2 x + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 x + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$2 x + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 x + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$2 x + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$

Étape 2.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, 9 x^{\frac{4}{3}}, 1$

Étape 2.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$9 x^{\frac{4}{3}}$

Étape 2.3

Multiplier chaque terme dans $2 x + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$ par $9 x^{\frac{4}{3}}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.3.1

Multipliez chaque terme dans $2 x + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$ par $9 x^{\frac{4}{3}}$ .

$2 x (9 x^{\frac{4}{3}}) + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \cdot 9 x \cdot x^{\frac{4}{3}} + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Étape 2.3.2.1.2

Multipliez $x$ par $x^{\frac{4}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.2.1.2.1

Déplacez $x^{\frac{4}{3}}$ .

$2 \cdot 9 (x^{\frac{4}{3}} x) + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Étape 2.3.2.1.2.2

Multipliez $x^{\frac{4}{3}}$ par $x$ .

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Étape 2.3.2.1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 \cdot 9 (x^{\frac{4}{3}} x^{1}) + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Étape 2.3.2.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \cdot 9 x^{\frac{4}{3} + 1} + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Étape 2.3.2.1.2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$2 \cdot 9 x^{\frac{4}{3} + \frac{3}{3}} + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Étape 2.3.2.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \cdot 9 x^{\frac{4 + 3}{3}} + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Étape 2.3.2.1.2.5

Additionnez $4$ et $3$ .

$2 \cdot 9 x^{\frac{7}{3}} + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Étape 2.3.2.1.3

Multipliez $2$ par $9$ .

$18 x^{\frac{7}{3}} + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Étape 2.3.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$18 x^{\frac{7}{3}} + 9 \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} x^{\frac{4}{3}} = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Étape 2.3.2.1.5

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 2.3.2.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$18 x^{\frac{7}{3}} + 9 \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} x^{\frac{4}{3}} = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Étape 2.3.2.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$18 x^{\frac{7}{3}} + \frac{2}{x^{\frac{4}{3}}} x^{\frac{4}{3}} = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Étape 2.3.2.1.6

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{4}{3}}$ .

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Étape 2.3.2.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$18 x^{\frac{7}{3}} + \frac{2}{x^{\frac{4}{3}}} x^{\frac{4}{3}} = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Étape 2.3.2.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$18 x^{\frac{7}{3}} + 2 = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $0 (9 x^{\frac{4}{3}})$ .

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Étape 2.3.3.1.1

Multipliez $9$ par $0$ .

$18 x^{\frac{7}{3}} + 2 = 0 x^{\frac{4}{3}}$

Étape 2.3.3.1.2

Multipliez $0$ par $x^{\frac{4}{3}}$ .

$18 x^{\frac{7}{3}} + 2 = 0$

Étape 2.4

Résolvez l’équation.

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Étape 2.4.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$18 x^{\frac{7}{3}} = - 2$

Étape 2.4.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{3}{7}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(18 x^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$

Étape 2.4.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.3.1

Simplifiez ${(18 x^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}}$ .

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Étape 2.4.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $18 x^{\frac{7}{3}}$ .

$18^{\frac{3}{7}} {(x^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$

Étape 2.4.3.1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}}$ .

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Étape 2.4.3.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$18^{\frac{3}{7}} x^{\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7}} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$

Étape 2.4.3.1.2.2

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 2.4.3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$18^{\frac{3}{7}} x^{\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7}} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$

Étape 2.4.3.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$18^{\frac{3}{7}} x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$

Étape 2.4.3.1.2.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.4.3.1.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$18^{\frac{3}{7}} x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$

Étape 2.4.3.1.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$18^{\frac{3}{7}} x^{1} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$

Étape 2.4.3.1.3

Simplifiez

$18^{\frac{3}{7}} x = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$

Étape 2.4.3.1.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $18^{\frac{3}{7}} x$ .

$x \cdot 18^{\frac{3}{7}} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$

Étape 2.4.4

Divisez chaque terme dans $x \cdot 18^{\frac{3}{7}} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$ par $18^{\frac{3}{7}}$ et simplifiez.

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Étape 2.4.4.1

Divisez chaque terme dans $x \cdot 18^{\frac{3}{7}} = {(- 2)}^{\frac{3}{7}}$ par $18^{\frac{3}{7}}$ .

$\frac{x \cdot 18^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}} = \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}$

Étape 2.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot 18^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}} = \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}$

Étape 2.4.4.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}$ dans $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{\frac{2}{3}}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}$ dans l’expression.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{1}{3} \cdot {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{3} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{3}}{{(18^{\frac{3}{7}})}^{3}} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.1.2.1.2

Associez.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{1 {({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{3}}{3 {(18^{\frac{3}{7}})}^{3}} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.1.2.1.3

Multipliez ${({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{3}$ par $1$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{3}}{3 {(18^{\frac{3}{7}})}^{3}} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.1.2.1.4

Multipliez les exposants dans ${(18^{\frac{3}{7}})}^{3}$ .

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Étape 3.1.2.1.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{3}}{3 \cdot 18^{\frac{3}{7} \cdot 3}} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.1.2.1.4.2

Multipliez $\frac{3}{7} \cdot 3$ .

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Étape 3.1.2.1.4.2.1

Associez $\frac{3}{7}$ et $3$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{3}}{3 \cdot 18^{\frac{3 \cdot 3}{7}}} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.1.2.1.4.2.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{3}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.1.2.1.5

Multipliez les exposants dans ${({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{3}$ .

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Étape 3.1.2.1.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7} \cdot 3}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.1.2.1.5.2

Multipliez $\frac{3}{7} \cdot 3$ .

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Étape 3.1.2.1.5.2.1

Associez $\frac{3}{7}$ et $3$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{3 \cdot 3}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.1.2.1.5.2.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - {(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.1.2.1.6

Appliquez la règle de produit à $\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}}{{(18^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.1.2.1.7

Multipliez les exposants dans ${({(- 2)}^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 3.1.2.1.7.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7} \cdot \frac{2}{3}}}{{(18^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.1.2.1.7.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.1.2.1.7.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7} \cdot \frac{2}{3}}}{{(18^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.1.2.1.7.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{1}{7} \cdot 2}}{{(18^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.1.2.1.7.3

Associez $\frac{1}{7}$ et $2$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{{(18^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.1.2.1.8

Multipliez les exposants dans ${(18^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 3.1.2.1.8.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{18^{\frac{3}{7} \cdot \frac{2}{3}}}$

Étape 3.1.2.1.8.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.1.2.1.8.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{18^{\frac{3}{7} \cdot \frac{2}{3}}}$

Étape 3.1.2.1.8.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{18^{\frac{1}{7} \cdot 2}}$

Étape 3.1.2.1.8.3

Associez $\frac{1}{7}$ et $2$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{18^{\frac{2}{7}}}$

Étape 3.1.2.2

Pour écrire $- \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{18^{\frac{2}{7}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 \cdot 18^{\frac{7}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{7}{7}}}$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{18^{\frac{2}{7}}} \cdot \frac{3 \cdot 18^{\frac{7}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{7}{7}}}$

Étape 3.1.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1.2.3.1

Multipliez $\frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{18^{\frac{2}{7}}}$ par $\frac{3 \cdot 18^{\frac{7}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{7}{7}}}$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}} (3 \cdot 18^{\frac{7}{7}})}{18^{\frac{2}{7}} (3 \cdot 18^{\frac{7}{7}})}$

Étape 3.1.2.3.2

Multipliez $18^{\frac{2}{7}}$ par $18^{\frac{7}{7}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.2.3.2.1

Déplacez $18^{\frac{7}{7}}$ .

Étape 3.1.2.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

Étape 3.1.2.3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}} (3 \cdot 18^{\frac{7}{7}})}{18^{\frac{7 + 2}{7}} \cdot 3}$

Étape 3.1.2.3.2.4

Additionnez $7$ et $2$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}} (3 \cdot 18^{\frac{7}{7}})}{18^{\frac{9}{7}} \cdot 3}$

Étape 3.1.2.3.3

Réorganisez les facteurs de $18^{\frac{9}{7}} \cdot 3$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}} - \frac{{(- 2)}^{\frac{2}{7}} (3 \cdot 18^{\frac{7}{7}})}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}}$

Étape 3.1.2.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.1.2.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - {(- 2)}^{\frac{2}{7}} (3 \cdot 18^{\frac{7}{7}})}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}}$

Étape 3.1.2.4.2

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 3.1.2.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - {(- 2)}^{\frac{2}{7}} (3 \cdot 18^{\frac{7}{7}})}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}}$

Étape 3.1.2.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - {(- 2)}^{\frac{2}{7}} (3 \cdot 18)}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}}$

Étape 3.1.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.2.5.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - 3 {(- 2)}^{\frac{2}{7}} \cdot 18}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}}$

Étape 3.1.2.5.2

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - 3 {(- 2)}^{\frac{2}{7}} \cdot 18}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}}$

Étape 3.1.2.5.3

Multipliez $18$ par $- 3$ .

$f (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) = \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - 54 {(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}}$

Étape 3.1.2.6

La réponse finale est $\frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - 54 {(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}}$ .

$\frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - 54 {(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}}$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}$ dans $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{\frac{2}{3}}$ est $(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}, \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - 54 {(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}, \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - 54 {(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}})$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}) \cup (\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.48997693$ dans l’expression.

$f'' (- 0.48997693) = 2 (- 0.48997693) + \frac{2}{9 {(- 0.48997693)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Multipliez $2$ par $- 0.48997693$ .

$f'' (- 0.48997693) = - 0.97995387 + \frac{2}{9 {(- 0.48997693)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 5.2.2

La réponse finale est $- 0.97995387 + \frac{2}{9 {(- 0.48997693)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$- 0.97995387 + \frac{2}{9 {(- 0.48997693)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 5.3

Sur $- 0.48997693$ , la dérivée seconde est $- 0.40466412$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \infty, \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})$

Diminue sur $(- \infty, \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}})$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.28997693$ dans l’expression.

$f'' (- 0.28997693) = 2 (- 0.28997693) + \frac{2}{9 {(- 0.28997693)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Multipliez $2$ par $- 0.28997693$ .

$f'' (- 0.28997693) = - 0.57995387 + \frac{2}{9 {(- 0.28997693)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 6.2.2

La réponse finale est $- 0.57995387 + \frac{2}{9 {(- 0.28997693)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$- 0.57995387 + \frac{2}{9 {(- 0.28997693)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 6.3

Sur $- 0.28997693$ , la dérivée seconde est $0.57785322$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}, \infty)$ .

Augmente sur $(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 7

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, le point d’inflexion est $(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}, \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - 54 {(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}})$ .

$(\frac{{(- 2)}^{\frac{3}{7}}}{18^{\frac{3}{7}}}, \frac{{(- 2)}^{\frac{9}{7}} - 54 {(- 2)}^{\frac{2}{7}}}{3 \cdot 18^{\frac{9}{7}}})$

Étape 8