Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{3}{32} x^{2} - 4 x^{- 2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{3}{32} x^{2} - 4 x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{3}{32} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{32} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{3}{32} x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $\frac{3}{32}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3}{32} x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{3}{32} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Étape 1.1.2.3

Associez $2$ et $\frac{3}{32}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{32} x + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Étape 1.1.2.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6}{32} x + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Étape 1.1.2.5

Associez $\frac{6}{32}$ et $x$ .

$\frac{6 x}{32} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Étape 1.1.2.6

Annulez le facteur commun à $6$ et $32$ .

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Étape 1.1.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x$ .

$\frac{2 (3 x)}{32} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Étape 1.1.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $32$ .

$\frac{2 (3 x)}{2 (16)} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Étape 1.1.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (3 x)}{2 \cdot 16} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Étape 1.1.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 x}{16} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$\frac{3 x}{16} - 4 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$\frac{3 x}{16} - 4 (- 2 x^{- 3})$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$\frac{3 x}{16} + 8 x^{- 3}$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3 x}{16} + 8 \frac{1}{x^{3}}$

Étape 1.1.4.2

Associez $8$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = \frac{3 x}{16} + \frac{8}{x^{3}}$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{3 x}{16} + \frac{8}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{3 x}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}]$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{3 x}{16}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme $\frac{3}{16}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3 x}{16}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{16} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3}{16} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}]$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{3}{16} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}]$

Étape 1.2.2.3

Multipliez $\frac{3}{16}$ par $1$ .

$\frac{3}{16} + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}]$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{8}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{3}{16} + 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 1.2.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{3}{16} + 8 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Étape 1.2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{3}$ .

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Étape 1.2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3}$ .

$\frac{3}{16} + 8 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 1.2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{3}{16} + 8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 1.2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3}$ .

$\frac{3}{16} + 8 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 1.2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{3}{16} + 8 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Étape 1.2.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Étape 1.2.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{16} + 8 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Étape 1.2.3.5.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{3}{16} + 8 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Étape 1.2.3.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{3}{16} + 8 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Étape 1.2.3.7

Multipliez $x^{- 6}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.3.7.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{3}{16} + 8 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Étape 1.2.3.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3}{16} + 8 (- 3 x^{2 - 6})$

Étape 1.2.3.7.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$\frac{3}{16} + 8 (- 3 x^{- 4})$

Étape 1.2.3.8

Multipliez $- 3$ par $8$ .

$\frac{3}{16} - 24 x^{- 4}$

Étape 1.2.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{16} - 24 \frac{1}{x^{4}}$

Étape 1.2.5

Simplifiez

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Étape 1.2.5.1

Associez des termes.

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Étape 1.2.5.1.1

Associez $- 24$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{3}{16} + \frac{- 24}{x^{4}}$

Étape 1.2.5.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{3}{16} - \frac{24}{x^{4}}$

Étape 1.2.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = - \frac{24}{x^{4}} + \frac{3}{16}$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{24}{x^{4}} + \frac{3}{16}$ .

$- \frac{24}{x^{4}} + \frac{3}{16}$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{24}{x^{4}} + \frac{3}{16} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- \frac{24}{x^{4}} + \frac{3}{16} = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $\frac{3}{16}$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{24}{x^{4}} = - \frac{3}{16}$

Étape 2.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{4}, 16$

Étape 2.3.2

Comme $x^{4}, 16$ contient des nombres et des variables, deux étapes sont nécessaires pour déterminer le plus petit multiple commun. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique $1, 16$ puis déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable $x^{4}$ .

Étape 2.3.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 2.3.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 2.3.5

Les facteurs premiers pour $16$ sont $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Étape 2.3.5.1

$16$ a des facteurs de $2$ et $8$ .

$2 \cdot 8$

Étape 2.3.5.2

$8$ a des facteurs de $2$ et $4$ .

$2 \cdot 2 \cdot 4$

Étape 2.3.5.3

$4$ a des facteurs de $2$ et $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Étape 2.3.6

Multipliez $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Étape 2.3.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 \cdot 2 \cdot 2$

Étape 2.3.6.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$8 \cdot 2$

Étape 2.3.6.3

Multipliez $8$ par $2$ .

$16$

Étape 2.3.7

Les facteurs pour $x^{4}$ sont $x \cdot x \cdot x \cdot x$ , qui correspond à $x$ multipliés entre eux $4$ fois.

$x^{4} = x \cdot x \cdot x \cdot x$

$x$ se produit $4$ fois.

Étape 2.3.8

Le plus petit multiple commun de $x^{4}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x \cdot x \cdot x \cdot x$

Étape 2.3.9

Simplifiez $x \cdot x \cdot x \cdot x$ .

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Étape 2.3.9.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} \cdot x \cdot x$

Étape 2.3.9.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.9.2.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 2.3.9.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1} \cdot x$

Étape 2.3.9.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2 + 1} \cdot x$

Étape 2.3.9.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$x^{3} \cdot x$

Étape 2.3.9.3

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.9.3.1

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 2.3.9.3.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{3} \cdot x^{1}$

Étape 2.3.9.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{3 + 1}$

Étape 2.3.9.3.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$x^{4}$

Étape 2.3.10

Le plus petit multiple commun pour $x^{4}, 16$ est la partie numérique $16$ multipliée par la partie variable.

$16 x^{4}$

Étape 2.4

Multiplier chaque terme dans $- \frac{24}{x^{4}} = - \frac{3}{16}$ par $16 x^{4}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.4.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{24}{x^{4}} = - \frac{3}{16}$ par $16 x^{4}$ .

$- \frac{24}{x^{4}} (16 x^{4}) = - \frac{3}{16} (16 x^{4})$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{4}$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{24}{x^{4}}$ dans le numérateur.

$\frac{- 24}{x^{4}} (16 x^{4}) = - \frac{3}{16} (16 x^{4})$

Étape 2.4.2.1.2

Factorisez $x^{4}$ à partir de $16 x^{4}$ .

$\frac{- 24}{x^{4}} (x^{4} \cdot 16) = - \frac{3}{16} (16 x^{4})$

Étape 2.4.2.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 24}{x^{4}} (x^{4} \cdot 16) = - \frac{3}{16} (16 x^{4})$

Étape 2.4.2.1.4

Réécrivez l’expression.

$- 24 \cdot 16 = - \frac{3}{16} (16 x^{4})$

Étape 2.4.2.2

Multipliez $- 24$ par $16$ .

$- 384 = - \frac{3}{16} (16 x^{4})$

Étape 2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.3.1

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 2.4.3.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{16}$ dans le numérateur.

$- 384 = \frac{- 3}{16} (16 x^{4})$

Étape 2.4.3.1.2

Factorisez $16$ à partir de $16 x^{4}$ .

$- 384 = \frac{- 3}{16} (16 (x^{4}))$

Étape 2.4.3.1.3

Annulez le facteur commun.

$- 384 = \frac{- 3}{16} (16 x^{4})$

Étape 2.4.3.1.4

Réécrivez l’expression.

$- 384 = - 3 x^{4}$

Étape 2.5

Résolvez l’équation.

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Étape 2.5.1

Réécrivez l’équation comme $- 3 x^{4} = - 384$ .

$- 3 x^{4} = - 384$

Étape 2.5.2

Divisez chaque terme dans $- 3 x^{4} = - 384$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- 3 x^{4} = - 384$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{4}}{- 3} = \frac{- 384}{- 3}$

Étape 2.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 2.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 x^{4}}{- 3} = \frac{- 384}{- 3}$

Étape 2.5.2.2.1.2

Divisez $x^{4}$ par $1$ .

$x^{4} = \frac{- 384}{- 3}$

Étape 2.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.3.1

Divisez $- 384$ par $- 3$ .

$x^{4} = 128$

Étape 2.5.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt[4]{128}$

Étape 2.5.4

Simplifiez $\pm \sqrt[4]{128}$ .

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Étape 2.5.4.1

Réécrivez $128$ comme $2^{4} \cdot 8$ .

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Étape 2.5.4.1.1

Factorisez $16$ à partir de $128$ .

$x = \pm \sqrt[4]{16 (8)}$

Étape 2.5.4.1.2

Réécrivez $16$ comme $2^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{2^{4} \cdot 8}$

Étape 2.5.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm 2 \sqrt[4]{8}$

Étape 2.5.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.5.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2 \sqrt[4]{8}$

Étape 2.5.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2 \sqrt[4]{8}$

Étape 2.5.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2 \sqrt[4]{8}, - 2 \sqrt[4]{8}$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 3.1

Remplacez $2 \sqrt[4]{8}$ dans $f (x) = \frac{3}{32} x^{2} - 4 x^{- 2}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $2 \sqrt[4]{8}$ dans l’expression.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{32} \cdot {(2 \sqrt[4]{8})}^{2} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt[4]{8}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{32} \cdot (2^{2} {\sqrt[4]{8}}^{2}) - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Étape 3.1.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{32} \cdot (4 {\sqrt[4]{8}}^{2}) - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Étape 3.1.2.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.1.2.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $32$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{4 (8)} \cdot (4 {\sqrt[4]{8}}^{2}) - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Étape 3.1.2.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $4 {\sqrt[4]{8}}^{2}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{4 (8)} \cdot (4 ({\sqrt[4]{8}}^{2})) - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Étape 3.1.2.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{4 \cdot 8} \cdot (4 {\sqrt[4]{8}}^{2}) - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Étape 3.1.2.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{8} \cdot {\sqrt[4]{8}}^{2} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Étape 3.1.2.1.4

Associez $\frac{3}{8}$ et ${\sqrt[4]{8}}^{2}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 {\sqrt[4]{8}}^{2}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Étape 3.1.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.2.1.5.1

Réécrivez ${\sqrt[4]{8}}^{2}$ comme $\sqrt{8}$ .

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Étape 3.1.2.1.5.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{8}$ comme $8^{\frac{1}{4}}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 {(8^{\frac{1}{4}})}^{2}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Étape 3.1.2.1.5.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{1}{4} \cdot 2}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Étape 3.1.2.1.5.1.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $2$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{2}{4}}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Étape 3.1.2.1.5.1.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 3.1.2.1.5.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{2 (1)}{4}}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Étape 3.1.2.1.5.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.2.1.5.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Étape 3.1.2.1.5.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Étape 3.1.2.1.5.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{1}{2}}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Étape 3.1.2.1.5.1.5

Réécrivez $8^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{8}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{8}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Étape 3.1.2.1.5.2

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 3.1.2.1.5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{4 (2)}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Étape 3.1.2.1.5.2.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Étape 3.1.2.1.5.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot (2 \sqrt{2})}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Étape 3.1.2.1.5.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{6 \sqrt{2}}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Étape 3.1.2.1.6

Annulez le facteur commun à $6$ et $8$ .

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Étape 3.1.2.1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $6 \sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 (3 \sqrt{2})}{8} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Étape 3.1.2.1.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.2.1.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 (4)} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Étape 3.1.2.1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 \cdot 4} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Étape 3.1.2.1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 {(2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Étape 3.1.2.1.7

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{{(2 \sqrt[4]{8})}^{2}}$

Étape 3.1.2.1.8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1.2.1.8.1

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt[4]{8}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{2^{2} {\sqrt[4]{8}}^{2}}$

Étape 3.1.2.1.8.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 {\sqrt[4]{8}}^{2}}$

Étape 3.1.2.1.8.3

Réécrivez ${\sqrt[4]{8}}^{2}$ comme $\sqrt{8}$ .

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Étape 3.1.2.1.8.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{8}$ comme $8^{\frac{1}{4}}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 {(8^{\frac{1}{4}})}^{2}}$

Étape 3.1.2.1.8.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{1}{4} \cdot 2}}$

Étape 3.1.2.1.8.3.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $2$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{2}{4}}}$

Étape 3.1.2.1.8.3.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 3.1.2.1.8.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{2 (1)}{4}}}$

Étape 3.1.2.1.8.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.2.1.8.3.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}$

Étape 3.1.2.1.8.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}$

Étape 3.1.2.1.8.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.1.2.1.8.3.5

Réécrivez $8^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{8}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \sqrt{8}}$

Étape 3.1.2.1.8.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 3.1.2.1.8.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \sqrt{4 (2)}}$

Étape 3.1.2.1.8.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Étape 3.1.2.1.8.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot (2 \sqrt{2})}$

Étape 3.1.2.1.8.6

Multipliez $4$ par $2$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{8 \sqrt{2}}$

Étape 3.1.2.1.9

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.1.2.1.9.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} + 4 (- 1) (\frac{1}{8 \sqrt{2}})$

Étape 3.1.2.1.9.2

Factorisez $4$ à partir de $8 \sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} + 4 (- 1) (\frac{1}{4 (2 \sqrt{2})})$

Étape 3.1.2.1.9.3

Annulez le facteur commun.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} + 4 \cdot (- 1 \frac{1}{4 (2 \sqrt{2})})$

Étape 3.1.2.1.9.4

Réécrivez l’expression.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{1}{2 \sqrt{2}}$

Étape 3.1.2.1.10

Multipliez $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 (\frac{1}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Étape 3.1.2.1.11

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1.2.1.11.1

Multipliez $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 3.1.2.1.11.2

Déplacez $\sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Étape 3.1.2.1.11.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Étape 3.1.2.1.11.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Étape 3.1.2.1.11.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 3.1.2.1.11.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 3.1.2.1.11.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 3.1.2.1.11.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.1.2.1.11.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.1.2.1.11.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.1.2.1.11.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.2.1.11.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.1.2.1.11.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.2.1.11.7.5

Évaluez l’exposant.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.2.1.12

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{4}$

Étape 3.1.2.1.13

Réécrivez $- 1 \frac{\sqrt{2}}{4}$ comme $- \frac{\sqrt{2}}{4}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{2}}{4}$

Étape 3.1.2.2.2

Soustrayez $\sqrt{2}$ de $3 \sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 \sqrt{2}}{4}$

Étape 3.1.2.2.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 3.1.2.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 (\sqrt{2})}{4}$

Étape 3.1.2.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.2.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.2.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (2 \sqrt[4]{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 3.1.2.3

La réponse finale est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $2 \sqrt[4]{8}$ dans $f (x) = \frac{3}{32} x^{2} - 4 x^{- 2}$ est $(2 \sqrt[4]{8}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(2 \sqrt[4]{8}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 3.3

Remplacez $- 2 \sqrt[4]{8}$ dans $f (x) = \frac{3}{32} x^{2} - 4 x^{- 2}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2 \sqrt[4]{8}$ dans l’expression.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{32} \cdot {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{2} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- 2 \sqrt[4]{8}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{32} \cdot ({(- 2)}^{2} {\sqrt[4]{8}}^{2}) - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Étape 3.3.2.1.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{32} \cdot (4 {\sqrt[4]{8}}^{2}) - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Étape 3.3.2.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.3.2.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $32$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{4 (8)} \cdot (4 {\sqrt[4]{8}}^{2}) - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Étape 3.3.2.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $4 {\sqrt[4]{8}}^{2}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{4 (8)} \cdot (4 ({\sqrt[4]{8}}^{2})) - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Étape 3.3.2.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{4 \cdot 8} \cdot (4 {\sqrt[4]{8}}^{2}) - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Étape 3.3.2.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3}{8} \cdot {\sqrt[4]{8}}^{2} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Étape 3.3.2.1.4

Associez $\frac{3}{8}$ et ${\sqrt[4]{8}}^{2}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 {\sqrt[4]{8}}^{2}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Étape 3.3.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.2.1.5.1

Réécrivez ${\sqrt[4]{8}}^{2}$ comme $\sqrt{8}$ .

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Étape 3.3.2.1.5.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{8}$ comme $8^{\frac{1}{4}}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 {(8^{\frac{1}{4}})}^{2}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Étape 3.3.2.1.5.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{1}{4} \cdot 2}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Étape 3.3.2.1.5.1.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $2$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{2}{4}}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Étape 3.3.2.1.5.1.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 3.3.2.1.5.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{2 (1)}{4}}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Étape 3.3.2.1.5.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.2.1.5.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Étape 3.3.2.1.5.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Étape 3.3.2.1.5.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot 8^{\frac{1}{2}}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Étape 3.3.2.1.5.1.5

Réécrivez $8^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{8}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{8}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Étape 3.3.2.1.5.2

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 3.3.2.1.5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{4 (2)}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Étape 3.3.2.1.5.2.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Étape 3.3.2.1.5.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \cdot (2 \sqrt{2})}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Étape 3.3.2.1.5.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{6 \sqrt{2}}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Étape 3.3.2.1.6

Annulez le facteur commun à $6$ et $8$ .

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Étape 3.3.2.1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $6 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 (3 \sqrt{2})}{8} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Étape 3.3.2.1.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.2.1.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 (4)} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Étape 3.3.2.1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 \cdot 4} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Étape 3.3.2.1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 {(- 2 \sqrt[4]{8})}^{- 2}$

Étape 3.3.2.1.7

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{{(- 2 \sqrt[4]{8})}^{2}}$

Étape 3.3.2.1.8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.2.1.8.1

Appliquez la règle de produit à $- 2 \sqrt[4]{8}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{{(- 2)}^{2} {\sqrt[4]{8}}^{2}}$

Étape 3.3.2.1.8.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 {\sqrt[4]{8}}^{2}}$

Étape 3.3.2.1.8.3

Réécrivez ${\sqrt[4]{8}}^{2}$ comme $\sqrt{8}$ .

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Étape 3.3.2.1.8.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{8}$ comme $8^{\frac{1}{4}}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 {(8^{\frac{1}{4}})}^{2}}$

Étape 3.3.2.1.8.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{1}{4} \cdot 2}}$

Étape 3.3.2.1.8.3.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $2$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{2}{4}}}$

Étape 3.3.2.1.8.3.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 3.3.2.1.8.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{2 (1)}{4}}}$

Étape 3.3.2.1.8.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.2.1.8.3.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}$

Étape 3.3.2.1.8.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}$

Étape 3.3.2.1.8.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot 8^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.3.2.1.8.3.5

Réécrivez $8^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{8}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \sqrt{8}}$

Étape 3.3.2.1.8.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 3.3.2.1.8.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \sqrt{4 (2)}}$

Étape 3.3.2.1.8.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Étape 3.3.2.1.8.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{4 \cdot (2 \sqrt{2})}$

Étape 3.3.2.1.8.6

Multipliez $4$ par $2$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 4 \frac{1}{8 \sqrt{2}}$

Étape 3.3.2.1.9

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.3.2.1.9.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} + 4 (- 1) (\frac{1}{8 \sqrt{2}})$

Étape 3.3.2.1.9.2

Factorisez $4$ à partir de $8 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} + 4 (- 1) (\frac{1}{4 (2 \sqrt{2})})$

Étape 3.3.2.1.9.3

Annulez le facteur commun.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} + 4 \cdot (- 1 \frac{1}{4 (2 \sqrt{2})})$

Étape 3.3.2.1.9.4

Réécrivez l’expression.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{1}{2 \sqrt{2}}$

Étape 3.3.2.1.10

Multipliez $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 (\frac{1}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Étape 3.3.2.1.11

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.2.1.11.1

Multipliez $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 3.3.2.1.11.2

Déplacez $\sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Étape 3.3.2.1.11.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Étape 3.3.2.1.11.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Étape 3.3.2.1.11.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 3.3.2.1.11.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 3.3.2.1.11.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 3.3.2.1.11.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.3.2.1.11.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.3.2.1.11.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.3.2.1.11.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1.11.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.3.2.1.11.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.1.11.7.5

Évaluez l’exposant.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.1.12

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - 1 \frac{\sqrt{2}}{4}$

Étape 3.3.2.1.13

Réécrivez $- 1 \frac{\sqrt{2}}{4}$ comme $- \frac{\sqrt{2}}{4}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.3.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{2}}{4}$

Étape 3.3.2.2.2

Soustrayez $\sqrt{2}$ de $3 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 \sqrt{2}}{4}$

Étape 3.3.2.2.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 3.3.2.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 (\sqrt{2})}{4}$

Étape 3.3.2.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.2.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- 2 \sqrt[4]{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 3.3.2.3

La réponse finale est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 3.4

Le point trouvé en remplaçant $- 2 \sqrt[4]{8}$ dans $f (x) = \frac{3}{32} x^{2} - 4 x^{- 2}$ est $(- 2 \sqrt[4]{8}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- 2 \sqrt[4]{8}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 3.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(2 \sqrt[4]{8}, \frac{\sqrt{2}}{2}), (- 2 \sqrt[4]{8}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - 2 \sqrt[4]{8}) \cup (- 2 \sqrt[4]{8}, 2 \sqrt[4]{8}) \cup (2 \sqrt[4]{8}, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 2 \sqrt[4]{8})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3.46358566$ dans l’expression.

$f'' (- 3.46358566) = - \frac{24}{{(- 3.46358566)}^{4}} + \frac{3}{16}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 3.46358566$ à la puissance $4$ .

$f'' (- 3.46358566) = - \frac{24}{143.91422792} + \frac{3}{16}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $24$ par $143.91422792$ .

$f'' (- 3.46358566) = - 1 \cdot 0.16676599 + \frac{3}{16}$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $0.16676599$ .

$f'' (- 3.46358566) = - 0.16676599 + \frac{3}{16}$

Étape 5.2.2

Pour écrire $- 0.16676599$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{16}{16}$ .

$f'' (- 3.46358566) = - 0.16676599 \cdot \frac{16}{16} + \frac{3}{16}$

Étape 5.2.3

Associez les fractions.

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Étape 5.2.3.1

Associez $- 0.16676599$ et $\frac{16}{16}$ .

$f'' (- 3.46358566) = \frac{- 0.16676599 \cdot 16}{16} + \frac{3}{16}$

Étape 5.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (- 3.46358566) = \frac{- 0.16676599 \cdot 16 + 3}{16}$

Étape 5.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.4.1

Multipliez $- 0.16676599$ par $16$ .

$f'' (- 3.46358566) = \frac{- 2.66825598 + 3}{16}$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $- 2.66825598$ et $3$ .

$f'' (- 3.46358566) = \frac{0.33174401}{16}$

Étape 5.2.5

Divisez $0.33174401$ par $16$ .

$f'' (- 3.46358566) = 0.020734$

Étape 5.2.6

La réponse finale est $0.020734$ .

$0.020734$

Étape 5.3

Sur $- 3.46358566$ , la dérivée seconde est $0.020734$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, - 2 \sqrt[4]{8})$ .

Augmente sur $(- \infty, - 2 \sqrt[4]{8})$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 2 \sqrt[4]{8}, 2 \sqrt[4]{8})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = - \frac{24}{{(0)}^{4}} + \frac{3}{16}$

Étape 6.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = - \frac{24}{0} + \frac{3}{16}$

Étape 6.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

$f'' (0) = Undefined$

Étape 6.4

Sur $0$ , la dérivée seconde est $N a N$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- 2 \sqrt[4]{8}, 2 \sqrt[4]{8})$

Diminue sur $(- 2 \sqrt[4]{8}, 2 \sqrt[4]{8})$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(2 \sqrt[4]{8}, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $3.46358566$ dans l’expression.

$f'' (3.46358566) = - \frac{24}{{(3.46358566)}^{4}} + \frac{3}{16}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $3.46358566$ à la puissance $4$ .

$f'' (3.46358566) = - \frac{24}{143.91422792} + \frac{3}{16}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $24$ par $143.91422792$ .

$f'' (3.46358566) = - 1 \cdot 0.16676599 + \frac{3}{16}$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $0.16676599$ .

$f'' (3.46358566) = - 0.16676599 + \frac{3}{16}$

Étape 7.2.2

Pour écrire $- 0.16676599$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{16}{16}$ .

$f'' (3.46358566) = - 0.16676599 \cdot \frac{16}{16} + \frac{3}{16}$

Étape 7.2.3

Associez les fractions.

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Étape 7.2.3.1

Associez $- 0.16676599$ et $\frac{16}{16}$ .

$f'' (3.46358566) = \frac{- 0.16676599 \cdot 16}{16} + \frac{3}{16}$

Étape 7.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (3.46358566) = \frac{- 0.16676599 \cdot 16 + 3}{16}$

Étape 7.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.4.1

Multipliez $- 0.16676599$ par $16$ .

$f'' (3.46358566) = \frac{- 2.66825598 + 3}{16}$

Étape 7.2.4.2

Additionnez $- 2.66825598$ et $3$ .

$f'' (3.46358566) = \frac{0.33174401}{16}$

Étape 7.2.5

Divisez $0.33174401$ par $16$ .

$f'' (3.46358566) = 0.020734$

Étape 7.2.6

La réponse finale est $0.020734$ .

$0.020734$

Étape 7.3

Sur $3.46358566$ , la dérivée seconde est $0.020734$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(2 \sqrt[4]{8}, \infty)$ .

Augmente sur $(2 \sqrt[4]{8}, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, les points d’inflexion sont $(- 2 \sqrt[4]{8}, \frac{\sqrt{2}}{2}), (2 \sqrt[4]{8}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

$(- 2 \sqrt[4]{8}, \frac{\sqrt{2}}{2}), (2 \sqrt[4]{8}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 9