Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x^{4} - 20 x^{3} + 42 x^{2} - 36 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{4} - 20 x^{3} + 42 x^{2} - 36 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 20 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} - 20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$12 x^{3} - 20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 20$ .

$12 x^{3} - 60 x^{2} + \frac{d}{d x} [42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [42 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.4.1

Comme $42$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $42 x^{2}$ par rapport à $x$ est $42 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{3} - 60 x^{2} + 42 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 x^{3} - 60 x^{2} + 42 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 1.1.4.3

Multipliez $2$ par $42$ .

$12 x^{3} - 60 x^{2} + 84 x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 1.1.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

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Étape 1.1.5.1

Comme $- 36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 36 x$ par rapport à $x$ est $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{3} - 60 x^{2} + 84 x - 36 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 x^{3} - 60 x^{2} + 84 x - 36 \cdot 1$

Étape 1.1.5.3

Multipliez $- 36$ par $1$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 60 x^{2} + 84 x - 36$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 x^{3} - 60 x^{2} + 84 x - 36$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [84 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [84 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x^{3}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [84 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [84 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$

Étape 1.2.2.3

Multipliez $3$ par $12$ .

$36 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [84 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $- 60$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 60 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$36 x^{2} - 60 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [84 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$36 x^{2} - 60 (2 x) + \frac{d}{d x} [84 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$

Étape 1.2.3.3

Multipliez $2$ par $- 60$ .

$36 x^{2} - 120 x + \frac{d}{d x} [84 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$

Étape 1.2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [84 x]$ .

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Étape 1.2.4.1

Comme $84$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $84 x$ par rapport à $x$ est $84 \frac{d}{d x} [x]$ .

$36 x^{2} - 120 x + 84 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 36]$

Étape 1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$36 x^{2} - 120 x + 84 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 36]$

Étape 1.2.4.3

Multipliez $84$ par $1$ .

$36 x^{2} - 120 x + 84 + \frac{d}{d x} [- 36]$

Étape 1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.2.5.1

Comme $- 36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 36$ par rapport à $x$ est $0$ .

$36 x^{2} - 120 x + 84 + 0$

Étape 1.2.5.2

Additionnez $36 x^{2} - 120 x + 84$ et $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 120 x + 84$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $36 x^{2} - 120 x + 84$ .

$36 x^{2} - 120 x + 84$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $36 x^{2} - 120 x + 84 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$36 x^{2} - 120 x + 84 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $12$ à partir de $36 x^{2} - 120 x + 84$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $12$ à partir de $36 x^{2}$ .

$12 (3 x^{2}) - 120 x + 84 = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $12$ à partir de $- 120 x$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 10 x) + 84 = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $12$ à partir de $84$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 10 x) + 12 (7) = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $12$ à partir de $12 (3 x^{2}) + 12 (- 10 x)$ .

$12 (3 x^{2} - 10 x) + 12 (7) = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $12$ à partir de $12 (3 x^{2} - 10 x) + 12 (7)$ .

$12 (3 x^{2} - 10 x + 7) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.2.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot 7 = 21$ et dont la somme est $b = - 10$ .

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Étape 2.2.2.1.1.1

Factorisez $- 10$ à partir de $- 10 x$ .

$12 (3 x^{2} - 10 x + 7) = 0$

Étape 2.2.2.1.1.2

Réécrivez $- 10$ comme $- 3$ plus $- 7$

$12 (3 x^{2} + (- 3 - 7) x + 7) = 0$

Étape 2.2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$12 (3 x^{2} - 3 x - 7 x + 7) = 0$

Étape 2.2.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$12 ((3 x^{2} - 3 x) - 7 x + 7) = 0$

Étape 2.2.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$12 (3 x (x - 1) - 7 (x - 1)) = 0$

Étape 2.2.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 1$ .

$12 ((x - 1) (3 x - 7)) = 0$

Étape 2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$12 (x - 1) (3 x - 7) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

$3 x - 7 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.5

Définissez $3 x - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $3 x - 7$ égal à $0$ .

$3 x - 7 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $3 x - 7 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 7$

Étape 2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 7$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 7$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Étape 2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Étape 2.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{7}{3}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $12 (x - 1) (3 x - 7) = 0$ vraie.

$x = 1, \frac{7}{3}$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 3.1

Remplacez $1$ dans $f (x) = 3 x^{4} - 20 x^{3} + 42 x^{2} - 36 x$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = 3 {(1)}^{4} - 20 {(1)}^{3} + 42 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 3 \cdot 1 - 20 {(1)}^{3} + 42 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1$

Étape 3.1.2.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (1) = 3 - 20 {(1)}^{3} + 42 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1$

Étape 3.1.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 3 - 20 \cdot 1 + 42 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1$

Étape 3.1.2.1.4

Multipliez $- 20$ par $1$ .

$f (1) = 3 - 20 + 42 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1$

Étape 3.1.2.1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 3 - 20 + 42 \cdot 1 - 36 \cdot 1$

Étape 3.1.2.1.6

Multipliez $42$ par $1$ .

$f (1) = 3 - 20 + 42 - 36 \cdot 1$

Étape 3.1.2.1.7

Multipliez $- 36$ par $1$ .

$f (1) = 3 - 20 + 42 - 36$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 3.1.2.2.1

Soustrayez $20$ de $3$ .

$f (1) = - 17 + 42 - 36$

Étape 3.1.2.2.2

Additionnez $- 17$ et $42$ .

$f (1) = 25 - 36$

Étape 3.1.2.2.3

Soustrayez $36$ de $25$ .

$f (1) = - 11$

Étape 3.1.2.3

La réponse finale est $- 11$ .

$- 11$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $1$ dans $f (x) = 3 x^{4} - 20 x^{3} + 42 x^{2} - 36 x$ est $(1, - 11)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(1, - 11)$

Étape 3.3

Remplacez $\frac{7}{3}$ dans $f (x) = 3 x^{4} - 20 x^{3} + 42 x^{2} - 36 x$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{7}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{7}{3}) = 3 {(\frac{7}{3})}^{4} - 20 {(\frac{7}{3})}^{3} + 42 {(\frac{7}{3})}^{2} - 36 (\frac{7}{3})$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{7}{3}$ .

$f (\frac{7}{3}) = 3 (\frac{7^{4}}{3^{4}}) - 20 {(\frac{7}{3})}^{3} + 42 {(\frac{7}{3})}^{2} - 36 (\frac{7}{3})$

Étape 3.3.2.1.2

Élevez $7$ à la puissance $4$ .

$f (\frac{7}{3}) = 3 (\frac{2401}{3^{4}}) - 20 {(\frac{7}{3})}^{3} + 42 {(\frac{7}{3})}^{2} - 36 (\frac{7}{3})$

Étape 3.3.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$f (\frac{7}{3}) = 3 (\frac{2401}{81}) - 20 {(\frac{7}{3})}^{3} + 42 {(\frac{7}{3})}^{2} - 36 (\frac{7}{3})$

Étape 3.3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.2.1.4.1

Factorisez $3$ à partir de $81$ .

$f (\frac{7}{3}) = 3 (\frac{2401}{3 (27)}) - 20 {(\frac{7}{3})}^{3} + 42 {(\frac{7}{3})}^{2} - 36 (\frac{7}{3})$

Étape 3.3.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{7}{3}) = 3 (\frac{2401}{3 \cdot 27}) - 20 {(\frac{7}{3})}^{3} + 42 {(\frac{7}{3})}^{2} - 36 (\frac{7}{3})$

Étape 3.3.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} - 20 {(\frac{7}{3})}^{3} + 42 {(\frac{7}{3})}^{2} - 36 (\frac{7}{3})$

Étape 3.3.2.1.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{7}{3}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} - 20 \frac{7^{3}}{3^{3}} + 42 {(\frac{7}{3})}^{2} - 36 (\frac{7}{3})$

Étape 3.3.2.1.6

Élevez $7$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} - 20 \frac{343}{3^{3}} + 42 {(\frac{7}{3})}^{2} - 36 (\frac{7}{3})$

Étape 3.3.2.1.7

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} - 20 (\frac{343}{27}) + 42 {(\frac{7}{3})}^{2} - 36 (\frac{7}{3})$

Étape 3.3.2.1.8

Multipliez $- 20 (\frac{343}{27})$ .

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Étape 3.3.2.1.8.1

Associez $- 20$ et $\frac{343}{27}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} + \frac{- 20 \cdot 343}{27} + 42 {(\frac{7}{3})}^{2} - 36 (\frac{7}{3})$

Étape 3.3.2.1.8.2

Multipliez $- 20$ par $343$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} + \frac{- 6860}{27} + 42 {(\frac{7}{3})}^{2} - 36 (\frac{7}{3})$

Étape 3.3.2.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} - \frac{6860}{27} + 42 {(\frac{7}{3})}^{2} - 36 (\frac{7}{3})$

Étape 3.3.2.1.10

Appliquez la règle de produit à $\frac{7}{3}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} - \frac{6860}{27} + 42 (\frac{7^{2}}{3^{2}}) - 36 (\frac{7}{3})$

Étape 3.3.2.1.11

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} - \frac{6860}{27} + 42 (\frac{49}{3^{2}}) - 36 (\frac{7}{3})$

Étape 3.3.2.1.12

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} - \frac{6860}{27} + 42 (\frac{49}{9}) - 36 (\frac{7}{3})$

Étape 3.3.2.1.13

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.2.1.13.1

Factorisez $3$ à partir de $42$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} - \frac{6860}{27} + 3 (14) (\frac{49}{9}) - 36 (\frac{7}{3})$

Étape 3.3.2.1.13.2

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} - \frac{6860}{27} + 3 \cdot (14 (\frac{49}{3 \cdot 3})) - 36 (\frac{7}{3})$

Étape 3.3.2.1.13.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} - \frac{6860}{27} + 3 \cdot (14 (\frac{49}{3 \cdot 3})) - 36 (\frac{7}{3})$

Étape 3.3.2.1.13.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} - \frac{6860}{27} + 14 (\frac{49}{3}) - 36 (\frac{7}{3})$

Étape 3.3.2.1.14

Associez $14$ et $\frac{49}{3}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} - \frac{6860}{27} + \frac{14 \cdot 49}{3} - 36 (\frac{7}{3})$

Étape 3.3.2.1.15

Multipliez $14$ par $49$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} - \frac{6860}{27} + \frac{686}{3} - 36 (\frac{7}{3})$

Étape 3.3.2.1.16

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.2.1.16.1

Factorisez $3$ à partir de $- 36$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} - \frac{6860}{27} + \frac{686}{3} + 3 (- 12) (\frac{7}{3})$

Étape 3.3.2.1.16.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} - \frac{6860}{27} + \frac{686}{3} + 3 \cdot (- 12 (\frac{7}{3}))$

Étape 3.3.2.1.16.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} - \frac{6860}{27} + \frac{686}{3} - 12 \cdot 7$

Étape 3.3.2.1.17

Multipliez $- 12$ par $7$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2401}{27} - \frac{6860}{27} + \frac{686}{3} - 84$

Étape 3.3.2.2

Associez les fractions.

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Étape 3.3.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{7}{3}) = - 84 + \frac{2401 - 6860}{27} + \frac{686}{3}$

Étape 3.3.2.2.2

Soustrayez $6860$ de $2401$ .

$f (\frac{7}{3}) = - 84 + \frac{- 4459}{27} + \frac{686}{3}$

Étape 3.3.2.3

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 3.3.2.3.1

Écrivez $- 84$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{- 84}{1} + \frac{- 4459}{27} + \frac{686}{3}$

Étape 3.3.2.3.2

Multipliez $\frac{- 84}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{- 84}{1} \cdot \frac{27}{27} + \frac{- 4459}{27} + \frac{686}{3}$

Étape 3.3.2.3.3

Multipliez $\frac{- 84}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{- 84 \cdot 27}{27} + \frac{- 4459}{27} + \frac{686}{3}$

Étape 3.3.2.3.4

Multipliez $\frac{686}{3}$ par $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{- 84 \cdot 27}{27} + \frac{- 4459}{27} + \frac{686}{3} \cdot \frac{9}{9}$

Étape 3.3.2.3.5

Multipliez $\frac{686}{3}$ par $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{- 84 \cdot 27}{27} + \frac{- 4459}{27} + \frac{686 \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Étape 3.3.2.3.6

Multipliez $3$ par $9$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{- 84 \cdot 27}{27} + \frac{- 4459}{27} + \frac{686 \cdot 9}{27}$

Étape 3.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{7}{3}) = \frac{- 84 \cdot 27 - 4459 + 686 \cdot 9}{27}$

Étape 3.3.2.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.5.1

Multipliez $- 84$ par $27$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{- 2268 - 4459 + 686 \cdot 9}{27}$

Étape 3.3.2.5.2

Multipliez $686$ par $9$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{- 2268 - 4459 + 6174}{27}$

Étape 3.3.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.2.6.1

Soustrayez $4459$ de $- 2268$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{- 6727 + 6174}{27}$

Étape 3.3.2.6.2

Additionnez $- 6727$ et $6174$ .

$f (\frac{7}{3}) = \frac{- 553}{27}$

Étape 3.3.2.6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{7}{3}) = - \frac{553}{27}$

Étape 3.3.2.7

La réponse finale est $- \frac{553}{27}$ .

$- \frac{553}{27}$

Étape 3.4

Le point trouvé en remplaçant $\frac{7}{3}$ dans $f (x) = 3 x^{4} - 20 x^{3} + 42 x^{2} - 36 x$ est $(\frac{7}{3}, - \frac{553}{27})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(\frac{7}{3}, - \frac{553}{27})$

Étape 3.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(1, - 11), (\frac{7}{3}, - \frac{553}{27})$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, 1) \cup (1, \frac{7}{3}) \cup (\frac{7}{3}, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 1)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0.9$ dans l’expression.

$f'' (0.9) = 36 {(0.9)}^{2} - 120 \cdot 0.9 + 84$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $0.9$ à la puissance $2$ .

$f'' (0.9) = 36 \cdot 0.81 - 120 \cdot 0.9 + 84$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $36$ par $0.81$ .

$f'' (0.9) = 29.16 - 120 \cdot 0.9 + 84$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- 120$ par $0.9$ .

$f'' (0.9) = 29.16 - 108 + 84$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 5.2.2.1

Soustrayez $108$ de $29.16$ .

$f'' (0.9) = - 78.84 + 84$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $- 78.84$ et $84$ .

$f'' (0.9) = 5.16$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $5.16$ .

$5.16$

Étape 5.3

Sur $0.9$ , la dérivée seconde est $5.16$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, 1)$ .

Augmente sur $(- \infty, 1)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(1, \frac{7}{3})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $1.66666666$ dans l’expression.

$f'' (1.66666666) = 36 {(1.66666666)}^{2} - 120 \cdot 1.66666666 + 84$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $1.66666666$ à la puissance $2$ .

$f'' (1.66666666) = 36 \cdot 2.\overline{7} - 120 \cdot 1.66666666 + 84$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $36$ par $2.\overline{7}$ .

$f'' (1.66666666) = 100 - 120 \cdot 1.66666666 + 84$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 120$ par $1.66666666$ .

$f'' (1.66666666) = 100 - 200 + 84$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 6.2.2.1

Soustrayez $200$ de $100$ .

$f'' (1.66666666) = - 100 + 84$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $- 100$ et $84$ .

$f'' (1.66666666) = - 16$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 16$ .

$- 16$

Étape 6.3

Sur $1.66666666$ , la dérivée seconde est $- 16$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(1, \frac{7}{3})$

Diminue sur $(1, \frac{7}{3})$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{7}{3}, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $2.4\overline{3}$ dans l’expression.

$f'' (2.4\overline{3}) = 36 {(2.4\overline{3})}^{2} - 120 \cdot 2.4\overline{3} + 84$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $2.4\overline{3}$ à la puissance $2$ .

$f'' (2.4\overline{3}) = 36 \cdot 5.92\overline{1} - 120 \cdot 2.4\overline{3} + 84$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $36$ par $5.92\overline{1}$ .

$f'' (2.4\overline{3}) = 213.15\overline{9} - 120 \cdot 2.4\overline{3} + 84$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $- 120$ par $2.4\overline{3}$ .

$f'' (2.4\overline{3}) = 213.15\overline{9} - 292 + 84$

Étape 7.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 7.2.2.1

Soustrayez $292$ de $213.15\overline{9}$ .

$f'' (2.4\overline{3}) = - 78.84 + 84$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $- 78.84$ et $84$ .

$f'' (2.4\overline{3}) = 5.15\overline{9}$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $5.15\overline{9}$ .

$5.15\overline{9}$

Étape 7.3

Sur $2.4\overline{3}$ , la dérivée seconde est $5.15\overline{9}$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(\frac{7}{3}, \infty)$ .

Augmente sur $(\frac{7}{3}, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, les points d’inflexion sont $(1, - 11), (\frac{7}{3}, - \frac{553}{27})$ .

$(1, - 11), (\frac{7}{3}, - \frac{553}{27})$

Étape 9