Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = 2 x^{4} + 12 x^{2} - 10$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{4} + 12 x^{2} - 10$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{4}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$8 x^{3} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8 x^{3} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$8 x^{3} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $12$ .

$8 x^{3} + 24 x + \frac{d}{d x} [- 10]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10$ par rapport à $x$ est $0$ .

$8 x^{3} + 24 x + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $8 x^{3} + 24 x$ et $0$ .

$f' (x) = 8 x^{3} + 24 x$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 x^{3} + 24 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x]$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x^{3}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x]$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [24 x]$

Étape 1.2.2.3

Multipliez $3$ par $8$ .

$24 x^{2} + \frac{d}{d x} [24 x]$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24 x$ par rapport à $x$ est $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$24 x^{2} + 24 \cdot 1$

Étape 1.2.3.3

Multipliez $24$ par $1$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} + 24$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $g (x)$ par rapport à $x$ est $24 x^{2} + 24$ .

$24 x^{2} + 24$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $24 x^{2} + 24 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$24 x^{2} + 24 = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $24$ des deux côtés de l’équation.

$24 x^{2} = - 24$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $24 x^{2} = - 24$ par $24$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $24 x^{2} = - 24$ par $24$ .

$\frac{24 x^{2}}{24} = \frac{- 24}{24}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $24$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{24 x^{2}}{24} = \frac{- 24}{24}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 24}{24}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Divisez $- 24$ par $24$ .

$x^{2} = - 1$

Étape 2.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Étape 2.5

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i$

Étape 2.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i$

Étape 2.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i$

Étape 2.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i, - i$

Étape 3

Aucune valeur trouvée qui peut rendre la dérivée seconde égale à $0$ .

Aucun point d’inflexion