Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{2 x^{5}}{x^{4} + 1}$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 x^{5}}{x^{4} + 1}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{x^{4} + 1}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{x^{4} + 1}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = x^{4} + 1$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}] - x^{5} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) (5 x^{4}) - x^{5} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Déplacez $5$ à gauche de $x^{4} + 1$ .

$2 \frac{5 \cdot (x^{4} + 1) x^{4} - x^{5} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{5 (x^{4} + 1) x^{4} - x^{5} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$2 \frac{5 (x^{4} + 1) x^{4} - x^{5} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 \frac{5 (x^{4} + 1) x^{4} - x^{5} (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.6.1

Additionnez $4 x^{3}$ et $0$ .

$2 \frac{5 (x^{4} + 1) x^{4} - x^{5} (4 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.6.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$2 \frac{5 (x^{4} + 1) x^{4} - 4 x^{5} x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.4

Multipliez $x^{5}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.4.1

Déplacez $x^{3}$ .

$2 \frac{5 (x^{4} + 1) x^{4} - 4 (x^{3} x^{5})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \frac{5 (x^{4} + 1) x^{4} - 4 x^{3 + 5}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.4.3

Additionnez $3$ et $5$ .

$2 \frac{5 (x^{4} + 1) x^{4} - 4 x^{8}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.5

Associez $2$ et $\frac{5 (x^{4} + 1) x^{4} - 4 x^{8}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 (5 (x^{4} + 1) x^{4} - 4 x^{8})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.6

Simplifiez

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Étape 1.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 ((5 x^{4} + 5 \cdot 1) x^{4} - 4 x^{8})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (5 x^{4} x^{4} + 5 \cdot 1 x^{4} - 4 x^{8})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (5 x^{4} x^{4}) + 2 (5 \cdot 1 x^{4}) + 2 (- 4 x^{8})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.6.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.6.4.1.1

Multipliez $x^{4}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.6.4.1.1.1

Déplacez $x^{4}$ .

$\frac{2 (5 (x^{4} x^{4})) + 2 (5 \cdot 1 x^{4}) + 2 (- 4 x^{8})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.6.4.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (5 x^{4 + 4}) + 2 (5 \cdot 1 x^{4}) + 2 (- 4 x^{8})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.6.4.1.1.3

Additionnez $4$ et $4$ .

$\frac{2 (5 x^{8}) + 2 (5 \cdot 1 x^{4}) + 2 (- 4 x^{8})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.6.4.1.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{10 x^{8} + 2 (5 \cdot 1 x^{4}) + 2 (- 4 x^{8})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.6.4.1.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{10 x^{8} + 2 (5 x^{4}) + 2 (- 4 x^{8})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.6.4.1.4

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{10 x^{8} + 10 x^{4} + 2 (- 4 x^{8})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.6.4.1.5

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$\frac{10 x^{8} + 10 x^{4} - 8 x^{8}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.6.4.2

Soustrayez $8 x^{8}$ de $10 x^{8}$ .

$\frac{2 x^{8} + 10 x^{4}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.6.5

Factorisez $2 x^{4}$ à partir de $2 x^{8} + 10 x^{4}$ .

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Étape 1.1.6.5.1

Factorisez $2 x^{4}$ à partir de $2 x^{8}$ .

$\frac{2 x^{4} (x^{4}) + 10 x^{4}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.6.5.2

Factorisez $2 x^{4}$ à partir de $10 x^{4}$ .

$\frac{2 x^{4} (x^{4}) + 2 x^{4} (5)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.6.5.3

Factorisez $2 x^{4}$ à partir de $2 x^{4} (x^{4}) + 2 x^{4} (5)$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{4} (x^{4} + 5)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 x^{4} (x^{4} + 5)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{4} (x^{4} + 5)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{4} (x^{4} + 5)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}]$

Étape 1.2.2

$2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} (x^{4} + 5)] - x^{4} (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{({(x^{4} + 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.2.3

Multipliez les exposants dans ${({(x^{4} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 1.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} (x^{4} + 5)] - x^{4} (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 1.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} (x^{4} + 5)] - x^{4} (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = x^{4} + 5$ .

$2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{4} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5] + (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [x^{4}]) - x^{4} (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 1.2.5

Différenciez.

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Étape 1.2.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{4} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [x^{4}]) - x^{4} (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 1.2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{4} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [x^{4}]) - x^{4} (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 1.2.5.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{4} (4 x^{3} + 0) + (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [x^{4}]) - x^{4} (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 1.2.5.4

Additionnez $4 x^{3}$ et $0$ .

$2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{4} (4 x^{3}) + (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [x^{4}]) - x^{4} (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 1.2.6

Multipliez $x^{4}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.6.1

Déplacez $x^{3}$ .

$2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{3} x^{4} \cdot 4 + (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [x^{4}]) - x^{4} (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 1.2.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{3 + 4} \cdot 4 + (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [x^{4}]) - x^{4} (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 1.2.6.3

Additionnez $3$ et $4$ .

$2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{7} \cdot 4 + (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [x^{4}]) - x^{4} (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 1.2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.2.7.1

Déplacez $4$ à gauche de $x^{7}$ .

$2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 \cdot x^{7} + (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [x^{4}]) - x^{4} (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 1.2.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{7} + (x^{4} + 5) (4 x^{3})) - x^{4} (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 1.2.7.3

Déplacez $4$ à gauche de $x^{4} + 5$ .

$2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{7} + 4 \cdot (x^{4} + 5) x^{3}) - x^{4} (x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 1.2.8

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{4} + 1$ .

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Étape 1.2.8.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{4} + 1$ .

$2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - x^{4} (x^{4} + 5) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 1.2.8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - x^{4} (x^{4} + 5) (2 u \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 1.2.8.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{4} + 1$ .

$2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - x^{4} (x^{4} + 5) (2 (x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 1.2.9

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.2.9.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - 2 x^{4} (x^{4} + 5) ((x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 1.2.9.2

Factorisez $x^{4} + 1$ à partir de ${(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - 2 x^{4} (x^{4} + 5) ((x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$ .

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Étape 1.2.9.2.1

Factorisez $x^{4} + 1$ à partir de ${(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3})$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3})) - 2 x^{4} (x^{4} + 5) ((x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 1.2.9.2.2

Factorisez $x^{4} + 1$ à partir de $- 2 x^{4} (x^{4} + 5) ((x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3})) + (x^{4} + 1) (- 2 x^{4} (x^{4} + 5) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1]))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 1.2.9.2.3

Factorisez $x^{4} + 1$ à partir de $(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3})) + (x^{4} + 1) (- 2 x^{4} (x^{4} + 5) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1]))$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - 2 x^{4} (x^{4} + 5) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1]))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 1.2.10

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.10.1

Factorisez $x^{4} + 1$ à partir de ${(x^{4} + 1)}^{4}$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - 2 x^{4} (x^{4} + 5) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1]))}{(x^{4} + 1) {(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.10.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - 2 x^{4} (x^{4} + 5) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1]))}{(x^{4} + 1) {(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.10.3

Réécrivez l’expression.

$2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - 2 x^{4} (x^{4} + 5) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.11

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - 2 x^{4} (x^{4} + 5) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - 2 x^{4} (x^{4} + 5) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.13

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - 2 x^{4} (x^{4} + 5) (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.14

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.14.1

Additionnez $4 x^{3}$ et $0$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - 2 x^{4} (x^{4} + 5) (4 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.14.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - 8 x^{4} (x^{4} + 5) x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.15

Multipliez $x^{4}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.15.1

Déplacez $x^{3}$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - 8 (x^{3} x^{4}) (x^{4} + 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.15.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - 8 x^{3 + 4} (x^{4} + 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.15.3

Additionnez $3$ et $4$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - 8 x^{7} (x^{4} + 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.16

Associez $2$ et $\frac{(x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - 8 x^{7} (x^{4} + 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 (x^{4} + 5) x^{3}) - 8 x^{7} (x^{4} + 5))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.17

Simplifiez

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Étape 1.2.17.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{7} + (4 x^{4} + 4 \cdot 5) x^{3}) - 8 x^{7} (x^{4} + 5))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.17.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 x^{4} x^{3} + 4 \cdot 5 x^{3}) - 8 x^{7} (x^{4} + 5))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.17.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 x^{4} x^{3} + 4 \cdot 5 x^{3}) - 8 x^{7} x^{4} - 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.17.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 x^{4} x^{3} + 4 \cdot 5 x^{3})) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.17.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.17.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.17.5.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.17.5.1.1.1

Multipliez $x^{4}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.17.5.1.1.1.1

Déplacez $x^{3}$ .

$\frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 (x^{3} x^{4}) + 4 \cdot 5 x^{3})) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.17.5.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 x^{3 + 4} + 4 \cdot 5 x^{3})) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.17.5.1.1.1.3

Additionnez $3$ et $4$ .

$\frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 x^{7} + 4 \cdot 5 x^{3})) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.17.5.1.1.2

Multipliez $4$ par $5$ .

$\frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{7} + 4 x^{7} + 20 x^{3})) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.17.5.1.2

Additionnez $4 x^{7}$ et $4 x^{7}$ .

$\frac{2 ((x^{4} + 1) (8 x^{7} + 20 x^{3})) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.17.5.1.3

Développez $(x^{4} + 1) (8 x^{7} + 20 x^{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.17.5.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (x^{4} (8 x^{7} + 20 x^{3}) + 1 (8 x^{7} + 20 x^{3})) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.17.5.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (x^{4} (8 x^{7}) + x^{4} (20 x^{3}) + 1 (8 x^{7} + 20 x^{3})) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.17.5.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (x^{4} (8 x^{7}) + x^{4} (20 x^{3}) + 1 (8 x^{7}) + 1 (20 x^{3})) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.17.5.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.17.5.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.17.5.1.4.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 (8 x^{4} x^{7} + x^{4} (20 x^{3}) + 1 (8 x^{7}) + 1 (20 x^{3})) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.17.5.1.4.1.2

Multipliez $x^{4}$ par $x^{7}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.17.5.1.4.1.2.1

Déplacez $x^{7}$ .

$\frac{2 (8 (x^{7} x^{4}) + x^{4} (20 x^{3}) + 1 (8 x^{7}) + 1 (20 x^{3})) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.17.5.1.4.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (8 x^{7 + 4} + x^{4} (20 x^{3}) + 1 (8 x^{7}) + 1 (20 x^{3})) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.17.5.1.4.1.2.3

Additionnez $7$ et $4$ .

$\frac{2 (8 x^{11} + x^{4} (20 x^{3}) + 1 (8 x^{7}) + 1 (20 x^{3})) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.17.5.1.4.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 (8 x^{11} + 20 x^{4} x^{3} + 1 (8 x^{7}) + 1 (20 x^{3})) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.17.5.1.4.1.4

Multipliez $x^{4}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.17.5.1.4.1.4.1

Déplacez $x^{3}$ .

$\frac{2 (8 x^{11} + 20 (x^{3} x^{4}) + 1 (8 x^{7}) + 1 (20 x^{3})) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.17.5.1.4.1.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (8 x^{11} + 20 x^{3 + 4} + 1 (8 x^{7}) + 1 (20 x^{3})) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.17.5.1.4.1.4.3

Additionnez $3$ et $4$ .

$\frac{2 (8 x^{11} + 20 x^{7} + 1 (8 x^{7}) + 1 (20 x^{3})) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.17.5.1.4.1.5

Multipliez $8 x^{7}$ par $1$ .

$\frac{2 (8 x^{11} + 20 x^{7} + 8 x^{7} + 1 (20 x^{3})) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.17.5.1.4.1.6

Multipliez $20 x^{3}$ par $1$ .

$\frac{2 (8 x^{11} + 20 x^{7} + 8 x^{7} + 20 x^{3}) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.17.5.1.4.2

Additionnez $20 x^{7}$ et $8 x^{7}$ .

$\frac{2 (8 x^{11} + 28 x^{7} + 20 x^{3}) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.17.5.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (8 x^{11}) + 2 (28 x^{7}) + 2 (20 x^{3}) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.17.5.1.6

Simplifiez

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Étape 1.2.17.5.1.6.1

Multipliez $8$ par $2$ .

$\frac{16 x^{11} + 2 (28 x^{7}) + 2 (20 x^{3}) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.17.5.1.6.2

Multipliez $28$ par $2$ .

$\frac{16 x^{11} + 56 x^{7} + 2 (20 x^{3}) + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.17.5.1.6.3

Multipliez $20$ par $2$ .

$\frac{16 x^{11} + 56 x^{7} + 40 x^{3} + 2 (- 8 x^{7} x^{4}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.17.5.1.7

Multipliez $x^{7}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.17.5.1.7.1

Déplacez $x^{4}$ .

$\frac{16 x^{11} + 56 x^{7} + 40 x^{3} + 2 (- 8 (x^{4} x^{7})) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.17.5.1.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{16 x^{11} + 56 x^{7} + 40 x^{3} + 2 (- 8 x^{4 + 7}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.17.5.1.7.3

Additionnez $4$ et $7$ .

$\frac{16 x^{11} + 56 x^{7} + 40 x^{3} + 2 (- 8 x^{11}) + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.17.5.1.8

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$\frac{16 x^{11} + 56 x^{7} + 40 x^{3} - 16 x^{11} + 2 (- 8 x^{7} \cdot 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.17.5.1.9

Multipliez $5$ par $- 8$ .

$\frac{16 x^{11} + 56 x^{7} + 40 x^{3} - 16 x^{11} + 2 (- 40 x^{7})}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.17.5.1.10

Multipliez $- 40$ par $2$ .

$\frac{16 x^{11} + 56 x^{7} + 40 x^{3} - 16 x^{11} - 80 x^{7}}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.17.5.2

Associez les termes opposés dans $16 x^{11} + 56 x^{7} + 40 x^{3} - 16 x^{11} - 80 x^{7}$ .

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Étape 1.2.17.5.2.1

Soustrayez $16 x^{11}$ de $16 x^{11}$ .

$\frac{56 x^{7} + 40 x^{3} + 0 - 80 x^{7}}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.17.5.2.2

Additionnez $56 x^{7} + 40 x^{3}$ et $0$ .

$\frac{56 x^{7} + 40 x^{3} - 80 x^{7}}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.17.5.3

Soustrayez $80 x^{7}$ de $56 x^{7}$ .

$\frac{- 24 x^{7} + 40 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.17.6

Factorisez $8 x^{3}$ à partir de $- 24 x^{7} + 40 x^{3}$ .

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Étape 1.2.17.6.1

Factorisez $8 x^{3}$ à partir de $- 24 x^{7}$ .

$\frac{8 x^{3} (- 3 x^{4}) + 40 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.17.6.2

Factorisez $8 x^{3}$ à partir de $40 x^{3}$ .

$\frac{8 x^{3} (- 3 x^{4}) + 8 x^{3} (5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.17.6.3

Factorisez $8 x^{3}$ à partir de $8 x^{3} (- 3 x^{4}) + 8 x^{3} (5)$ .

$\frac{8 x^{3} (- 3 x^{4} + 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.17.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{4}$ .

$\frac{8 x^{3} (- (3 x^{4}) + 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.17.8

Réécrivez $5$ comme $- 1 (- 5)$ .

$\frac{8 x^{3} (- (3 x^{4}) - 1 (- 5))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.17.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{4}) - 1 (- 5)$ .

$\frac{8 x^{3} (- (3 x^{4} - 5))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.17.10

Réécrivez $- (3 x^{4} - 5)$ comme $- 1 (3 x^{4} - 5)$ .

$\frac{8 x^{3} (- 1 (3 x^{4} - 5))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.17.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(8 x^{3}) (3 x^{4} - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.17.12

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{(8 x^{3}) (3 x^{4} - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} (3 x^{4} - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{8 x^{3} (3 x^{4} - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$ .

$- \frac{8 x^{3} (3 x^{4} - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{8 x^{3} (3 x^{4} - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- \frac{8 x^{3} (3 x^{4} - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$8 x^{3} (3 x^{4} - 5) = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{3} = 0$

$3 x^{4} - 5 = 0$

Étape 2.3.2

Définissez $x^{3}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Définissez $x^{3}$ égal à $0$ .

$x^{3} = 0$

Étape 2.3.2.2

Résolvez $x^{3} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 2.3.2.2.2

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 2.3.2.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 2.3.2.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 2.3.3

Définissez $3 x^{4} - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.3.1

Définissez $3 x^{4} - 5$ égal à $0$ .

$3 x^{4} - 5 = 0$

Étape 2.3.3.2

Résolvez $3 x^{4} - 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.3.2.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x^{4} = 5$

Étape 2.3.3.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x^{4} = 5$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.3.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{4} = 5$ par $3$ .

$\frac{3 x^{4}}{3} = \frac{5}{3}$

Étape 2.3.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{4}}{3} = \frac{5}{3}$

Étape 2.3.3.2.2.2.1.2

Divisez $x^{4}$ par $1$ .

$x^{4} = \frac{5}{3}$

Étape 2.3.3.2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt[4]{\frac{5}{3}}$

Étape 2.3.3.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt[4]{\frac{5}{3}}$ .

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Étape 2.3.3.2.4.1

Réécrivez $\sqrt[4]{\frac{5}{3}}$ comme $\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt[4]{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt[4]{3}}$

Étape 2.3.3.2.4.2

Multipliez $\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt[4]{3}}$ par $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt[4]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Étape 2.3.3.2.4.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.3.2.4.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt[4]{3}}$ par $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{5} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{\sqrt[4]{3} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Étape 2.3.3.2.4.3.2

Élevez $\sqrt[4]{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{5} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Étape 2.3.3.2.4.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{5} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1 + 3}}$

Étape 2.3.3.2.4.3.4

Additionnez $1$ et $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{5} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{4}}$

Étape 2.3.3.2.4.3.5

Réécrivez ${\sqrt[4]{3}}^{4}$ comme $3$ .

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Étape 2.3.3.2.4.3.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{3}$ comme $3^{\frac{1}{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{5} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Étape 2.3.3.2.4.3.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{5} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Étape 2.3.3.2.4.3.5.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $4$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{5} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Étape 2.3.3.2.4.3.5.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.3.3.2.4.3.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{5} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Étape 2.3.3.2.4.3.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{5} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{1}}$

Étape 2.3.3.2.4.3.5.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{5} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3}$

Étape 2.3.3.2.4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.3.2.4.4.1

Réécrivez ${\sqrt[4]{3}}^{3}$ comme $\sqrt[4]{3^{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{5} \sqrt[4]{3^{3}}}{3}$

Étape 2.3.3.2.4.4.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{5} \sqrt[4]{27}}{3}$

Étape 2.3.3.2.4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.3.2.4.5.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{5 \cdot 27}}{3}$

Étape 2.3.3.2.4.5.2

Multipliez $5$ par $27$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{135}}{3}$

Étape 2.3.3.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.3.3.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt[4]{135}}{3}$

Étape 2.3.3.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt[4]{135}}{3}$

Étape 2.3.3.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt[4]{135}}{3}, - \frac{\sqrt[4]{135}}{3}$

Étape 2.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $8 x^{3} (3 x^{4} - 5) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{\sqrt[4]{135}}{3}, - \frac{\sqrt[4]{135}}{3}$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 3.1

Remplacez $0$ dans $f (x) = \frac{2 x^{5}}{x^{4} + 1}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{5}}{{(0)}^{4} + 1}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = \frac{2 \cdot 0}{0^{4} + 1}$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1.2.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = \frac{2 \cdot 0}{0 + 1}$

Étape 3.1.2.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (0) = \frac{2 \cdot 0}{1}$

Étape 3.1.2.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.3.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$f (0) = \frac{0}{1}$

Étape 3.1.2.3.2

Divisez $0$ par $1$ .

$f (0) = 0$

Étape 3.1.2.4

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $0$ dans $f (x) = \frac{2 x^{5}}{x^{4} + 1}$ est $(0, 0)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(0, 0)$

Étape 3.3

Remplacez $\frac{\sqrt[4]{135}}{3}$ dans $f (x) = \frac{2 x^{5}}{x^{4} + 1}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{\sqrt[4]{135}}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 {(\frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{5}}{{(\frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[4]{135}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{{\sqrt[4]{135}}^{5}}{3^{5}})}{{(\frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Étape 3.3.2.1.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.2.1

Réécrivez ${\sqrt[4]{135}}^{5}$ comme $\sqrt[4]{135^{5}}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{\sqrt[4]{135^{5}}}{3^{5}})}{{(\frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Étape 3.3.2.1.2.2

Élevez $135$ à la puissance $5$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{\sqrt[4]{44840334375}}{3^{5}})}{{(\frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Étape 3.3.2.1.2.3

Réécrivez $44840334375$ comme $135^{4} \cdot 135$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.2.3.1

Factorisez $332150625$ à partir de $44840334375$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{\sqrt[4]{332150625 (135)}}{3^{5}})}{{(\frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Étape 3.3.2.1.2.3.2

Réécrivez $332150625$ comme $135^{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{\sqrt[4]{135^{4} \cdot 135}}{3^{5}})}{{(\frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Étape 3.3.2.1.2.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{135 \sqrt[4]{135}}{3^{5}})}{{(\frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Étape 3.3.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $5$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{135 \sqrt[4]{135}}{243})}{{(\frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Étape 3.3.2.1.4

Annulez le facteur commun à $135$ et $243$ .

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Étape 3.3.2.1.4.1

Factorisez $27$ à partir de $135 \sqrt[4]{135}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{27 (5 \sqrt[4]{135})}{243})}{{(\frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Étape 3.3.2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.4.2.1

Factorisez $27$ à partir de $243$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{27 (5 \sqrt[4]{135})}{27 (9)})}{{(\frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Étape 3.3.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{27 (5 \sqrt[4]{135})}{27 \cdot 9})}{{(\frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Étape 3.3.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9})}{{(\frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[4]{135}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9})}{\frac{{\sqrt[4]{135}}^{4}}{3^{4}} + 1}$

Étape 3.3.2.2.2

Réécrivez ${\sqrt[4]{135}}^{4}$ comme $135$ .

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Étape 3.3.2.2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{135}$ comme $135^{\frac{1}{4}}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9})}{\frac{{(135^{\frac{1}{4}})}^{4}}{3^{4}} + 1}$

Étape 3.3.2.2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9})}{\frac{135^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{3^{4}} + 1}$

Étape 3.3.2.2.2.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $4$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9})}{\frac{135^{\frac{4}{4}}}{3^{4}} + 1}$

Étape 3.3.2.2.2.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9})}{\frac{135^{\frac{4}{4}}}{3^{4}} + 1}$

Étape 3.3.2.2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9})}{\frac{135}{3^{4}} + 1}$

Étape 3.3.2.2.2.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9})}{\frac{135}{3^{4}} + 1}$

Étape 3.3.2.2.3

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9})}{\frac{135}{81} + 1}$

Étape 3.3.2.2.4

Annulez le facteur commun à $135$ et $81$ .

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Étape 3.3.2.2.4.1

Factorisez $27$ à partir de $135$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9})}{\frac{27 (5)}{81} + 1}$

Étape 3.3.2.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.2.2.4.2.1

Factorisez $27$ à partir de $81$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9})}{\frac{27 \cdot 5}{27 \cdot 3} + 1}$

Étape 3.3.2.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9})}{\frac{27 \cdot 5}{27 \cdot 3} + 1}$

Étape 3.3.2.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9})}{\frac{5}{3} + 1}$

Étape 3.3.2.2.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9})}{\frac{5}{3} + \frac{3}{3}}$

Étape 3.3.2.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9})}{\frac{5 + 3}{3}}$

Étape 3.3.2.2.7

Additionnez $5$ et $3$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9})}{\frac{8}{3}}$

Étape 3.3.2.3

Associez $2$ et $\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{\frac{2 (5 \sqrt[4]{135})}{9}}{\frac{8}{3}}$

Étape 3.3.2.4

Multipliez $2$ par $5$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{\frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{\frac{8}{3}}$

Étape 3.3.2.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9} \cdot \frac{3}{8}$

Étape 3.3.2.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $10 \sqrt[4]{135}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (5 \sqrt[4]{135})}{9} \cdot \frac{3}{8}$

Étape 3.3.2.6.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (5 \sqrt[4]{135})}{9} \cdot \frac{3}{2 (4)}$

Étape 3.3.2.6.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (5 \sqrt[4]{135})}{9} \cdot \frac{3}{2 \cdot 4}$

Étape 3.3.2.6.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{5 \sqrt[4]{135}}{9} \cdot \frac{3}{4}$

Étape 3.3.2.7

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.2.7.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{5 \sqrt[4]{135}}{3 (3)} \cdot \frac{3}{4}$

Étape 3.3.2.7.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{5 \sqrt[4]{135}}{3 \cdot 3} \cdot \frac{3}{4}$

Étape 3.3.2.7.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{5 \sqrt[4]{135}}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 3.3.2.8

Multipliez $\frac{5 \sqrt[4]{135}}{3}$ par $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{5 \sqrt[4]{135}}{3 \cdot 4}$

Étape 3.3.2.9

Multipliez $3$ par $4$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{5 \sqrt[4]{135}}{12}$

Étape 3.3.2.10

La réponse finale est $\frac{5 \sqrt[4]{135}}{12}$ .

$\frac{5 \sqrt[4]{135}}{12}$

Étape 3.4

Le point trouvé en remplaçant $\frac{\sqrt[4]{135}}{3}$ dans $f (x) = \frac{2 x^{5}}{x^{4} + 1}$ est $(\frac{\sqrt[4]{135}}{3}, \frac{5 \sqrt[4]{135}}{12})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(\frac{\sqrt[4]{135}}{3}, \frac{5 \sqrt[4]{135}}{12})$

Étape 3.5

Remplacez $- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}$ dans $f (x) = \frac{2 x^{5}}{x^{4} + 1}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}$ dans l’expression.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 {(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{5}}{{(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 {(- 1)}^{5} {(\frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{5}}{{(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Étape 3.5.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 \cdot (- 1 {(\frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{5})}{{(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Étape 3.5.2.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[4]{135}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 \cdot (- 1 \frac{{\sqrt[4]{135}}^{5}}{3^{5}})}{{(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Étape 3.5.2.1.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1.4.1

Réécrivez ${\sqrt[4]{135}}^{5}$ comme $\sqrt[4]{135^{5}}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 \cdot (- 1 \frac{\sqrt[4]{135^{5}}}{3^{5}})}{{(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Étape 3.5.2.1.4.2

Élevez $135$ à la puissance $5$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 \cdot (- 1 \frac{\sqrt[4]{44840334375}}{3^{5}})}{{(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Étape 3.5.2.1.4.3

Réécrivez $44840334375$ comme $135^{4} \cdot 135$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1.4.3.1

Factorisez $332150625$ à partir de $44840334375$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 \cdot (- 1 \frac{\sqrt[4]{332150625 (135)}}{3^{5}})}{{(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Étape 3.5.2.1.4.3.2

Réécrivez $332150625$ comme $135^{4}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 \cdot (- 1 \frac{\sqrt[4]{135^{4} \cdot 135}}{3^{5}})}{{(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Étape 3.5.2.1.4.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 \cdot (- 1 \frac{135 \sqrt[4]{135}}{3^{5}})}{{(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Étape 3.5.2.1.5

Élevez $3$ à la puissance $5$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 \cdot (- 1 \frac{135 \sqrt[4]{135}}{243})}{{(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Étape 3.5.2.1.6

Annulez le facteur commun à $135$ et $243$ .

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Étape 3.5.2.1.6.1

Factorisez $27$ à partir de $135 \sqrt[4]{135}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 \cdot (- 1 \frac{27 (5 \sqrt[4]{135})}{243})}{{(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Étape 3.5.2.1.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.2.1.6.2.1

Factorisez $27$ à partir de $243$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 \cdot (- 1 \frac{27 (5 \sqrt[4]{135})}{27 (9)})}{{(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Étape 3.5.2.1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 \cdot (- 1 \frac{27 (5 \sqrt[4]{135})}{27 \cdot 9})}{{(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Étape 3.5.2.1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 \cdot (- 1 \frac{5 \sqrt[4]{135}}{9})}{{(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Étape 3.5.2.1.7

Associez les exposants.

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Étape 3.5.2.1.7.1

Factorisez le signe négatif.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- (2 (\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9}))}{{(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Étape 3.5.2.1.7.2

Associez $2$ et $\frac{5 \sqrt[4]{135}}{9}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{2 (5 \sqrt[4]{135})}{9}}{{(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Étape 3.5.2.1.7.3

Multipliez $5$ par $2$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{{(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Étape 3.5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.2.2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.5.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{{(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt[4]{135}}{3})}^{4} + 1}$

Étape 3.5.2.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[4]{135}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{{(- 1)}^{4} (\frac{{\sqrt[4]{135}}^{4}}{3^{4}}) + 1}$

Étape 3.5.2.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{1 (\frac{{\sqrt[4]{135}}^{4}}{3^{4}}) + 1}$

Étape 3.5.2.2.3

Multipliez $\frac{{\sqrt[4]{135}}^{4}}{3^{4}}$ par $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{\frac{{\sqrt[4]{135}}^{4}}{3^{4}} + 1}$

Étape 3.5.2.2.4

Réécrivez ${\sqrt[4]{135}}^{4}$ comme $135$ .

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Étape 3.5.2.2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{135}$ comme $135^{\frac{1}{4}}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{\frac{{(135^{\frac{1}{4}})}^{4}}{3^{4}} + 1}$

Étape 3.5.2.2.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{\frac{135^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{3^{4}} + 1}$

Étape 3.5.2.2.4.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{\frac{135^{\frac{4}{4}}}{3^{4}} + 1}$

Étape 3.5.2.2.4.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.5.2.2.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{\frac{135^{\frac{4}{4}}}{3^{4}} + 1}$

Étape 3.5.2.2.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{\frac{135}{3^{4}} + 1}$

Étape 3.5.2.2.4.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{\frac{135}{3^{4}} + 1}$

Étape 3.5.2.2.5

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{\frac{135}{81} + 1}$

Étape 3.5.2.2.6

Annulez le facteur commun à $135$ et $81$ .

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Étape 3.5.2.2.6.1

Factorisez $27$ à partir de $135$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{\frac{27 (5)}{81} + 1}$

Étape 3.5.2.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.2.2.6.2.1

Factorisez $27$ à partir de $81$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{\frac{27 \cdot 5}{27 \cdot 3} + 1}$

Étape 3.5.2.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{\frac{27 \cdot 5}{27 \cdot 3} + 1}$

Étape 3.5.2.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{\frac{5}{3} + 1}$

Étape 3.5.2.2.7

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{\frac{5}{3} + \frac{3}{3}}$

Étape 3.5.2.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{\frac{5 + 3}{3}}$

Étape 3.5.2.2.9

Additionnez $5$ et $3$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}}{\frac{8}{3}}$

Étape 3.5.2.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = - \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9} \cdot \frac{3}{8}$

Étape 3.5.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{10 \sqrt[4]{135}}{9}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- 10 \sqrt[4]{135}}{9} \cdot \frac{3}{8}$

Étape 3.5.2.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 10 \sqrt[4]{135}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (- 5 \sqrt[4]{135})}{9} \cdot \frac{3}{8}$

Étape 3.5.2.4.3

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (- 5 \sqrt[4]{135})}{9} \cdot \frac{3}{2 (4)}$

Étape 3.5.2.4.4

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{2 (- 5 \sqrt[4]{135})}{9} \cdot \frac{3}{2 \cdot 4}$

Étape 3.5.2.4.5

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- 5 \sqrt[4]{135}}{9} \cdot \frac{3}{4}$

Étape 3.5.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.5.2.5.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- 5 \sqrt[4]{135}}{3 (3)} \cdot \frac{3}{4}$

Étape 3.5.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- 5 \sqrt[4]{135}}{3 \cdot 3} \cdot \frac{3}{4}$

Étape 3.5.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- 5 \sqrt[4]{135}}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 3.5.2.6

Multipliez $\frac{- 5 \sqrt[4]{135}}{3}$ par $\frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- 5 \sqrt[4]{135}}{3 \cdot 4}$

Étape 3.5.2.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.2.7.1

Multipliez $3$ par $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = \frac{- 5 \sqrt[4]{135}}{12}$

Étape 3.5.2.7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) = - \frac{5 \sqrt[4]{135}}{12}$

Étape 3.5.2.8

La réponse finale est $- \frac{5 \sqrt[4]{135}}{12}$ .

$- \frac{5 \sqrt[4]{135}}{12}$

Étape 3.6

Le point trouvé en remplaçant $- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}$ dans $f (x) = \frac{2 x^{5}}{x^{4} + 1}$ est $(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}, - \frac{5 \sqrt[4]{135}}{12})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}, - \frac{5 \sqrt[4]{135}}{12})$

Étape 3.7

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(0, 0), (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}, \frac{5 \sqrt[4]{135}}{12}), (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}, - \frac{5 \sqrt[4]{135}}{12})$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}, 0) \cup (0, \frac{\sqrt[4]{135}}{3}) \cup (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{135}}{3})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.23621936$ dans l’expression.

$f'' (- 1.23621936) = - \frac{8 {(- 1.23621936)}^{3} (3 {(- 1.23621936)}^{4} - 5)}{{({(- 1.23621936)}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Élevez $- 1.23621936$ à la puissance $4$ .

$f'' (- 1.23621936) = - \frac{8 {(- 1.23621936)}^{3} (3 \cdot 2.33551236 - 5)}{{({(- 1.23621936)}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $3$ par $2.33551236$ .

$f'' (- 1.23621936) = - \frac{8 {(- 1.23621936)}^{3} (7.0065371 - 5)}{{({(- 1.23621936)}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 5.2.1.3

Soustrayez $5$ de $7.0065371$ .

$f'' (- 1.23621936) = - \frac{8 {(- 1.23621936)}^{3} \cdot 2.0065371}{{({(- 1.23621936)}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 5.2.1.4

Associez les exposants.

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Étape 5.2.1.4.1

Multipliez $2.0065371$ par $8$ .

$f'' (- 1.23621936) = - \frac{16.05229685 {(- 1.23621936)}^{3}}{{({(- 1.23621936)}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 5.2.1.4.2

Multipliez $16.05229685$ par ${(- 1.23621936)}^{3}$ .

$f'' (- 1.23621936) = - \frac{- 30.32660615}{{({(- 1.23621936)}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.2.1

Élevez $- 1.23621936$ à la puissance $4$ .

$f'' (- 1.23621936) = - \frac{- 30.32660615}{{(2.33551236 + 1)}^{3}}$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $2.33551236$ et $1$ .

$f'' (- 1.23621936) = - \frac{- 30.32660615}{{3.33551236}^{3}}$

Étape 5.2.2.3

Élevez $3.33551236$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 1.23621936) = - \frac{- 30.32660615}{37.10971904}$

Étape 5.2.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Divisez $- 30.32660615$ par $37.10971904$ .

$f'' (- 1.23621936) = 0.81721465$

Étape 5.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 0.81721465$ .

$f'' (- 1.23621936) = 0.81721465$

Étape 5.2.4

La réponse finale est $0.81721465$ .

$0.81721465$

Étape 5.3

Sur $- 1.23621936$ , la dérivée seconde est $0.81721465$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{135}}{3})$ .

Augmente sur $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{135}}{3})$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}, 0)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.56810968$ dans l’expression.

$f'' (- 0.56810968) = - \frac{8 {(- 0.56810968)}^{3} (3 {(- 0.56810968)}^{4} - 5)}{{({(- 0.56810968)}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Élevez $- 0.56810968$ à la puissance $4$ .

$f'' (- 0.56810968) = - \frac{8 {(- 0.56810968)}^{3} (3 \cdot 0.1041\overline{6} - 5)}{{({(- 0.56810968)}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $3$ par $0.1041\overline{6}$ .

$f'' (- 0.56810968) = - \frac{8 {(- 0.56810968)}^{3} (0.3125 - 5)}{{({(- 0.56810968)}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 6.2.1.3

Soustrayez $5$ de $0.3125$ .

$f'' (- 0.56810968) = - \frac{8 {(- 0.56810968)}^{3} \cdot - 4.6874\overline{9}}{{({(- 0.56810968)}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 6.2.1.4

Associez les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.4.1

Multipliez $- 4.6874\overline{9}$ par $8$ .

$f'' (- 0.56810968) = - \frac{- 37.4\overline{9} {(- 0.56810968)}^{3}}{{({(- 0.56810968)}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 6.2.1.4.2

Multipliez $- 37.4\overline{9}$ par ${(- 0.56810968)}^{3}$ .

$f'' (- 0.56810968) = - \frac{6.87587294}{{({(- 0.56810968)}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Élevez $- 0.56810968$ à la puissance $4$ .

$f'' (- 0.56810968) = - \frac{6.87587294}{{(0.1041\overline{6} + 1)}^{3}}$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $0.1041\overline{6}$ et $1$ .

$f'' (- 0.56810968) = - \frac{6.87587294}{{1.1041\overline{6}}^{3}}$

Étape 6.2.2.3

Élevez $1.1041\overline{6}$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 0.56810968) = - \frac{6.87587294}{1.34618236}$

Étape 6.2.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1

Divisez $6.87587294$ par $1.34618236$ .

$f'' (- 0.56810968) = - 1 \cdot 5.10768312$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $5.10768312$ .

$f'' (- 0.56810968) = - 5.10768312$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $- 5.10768312$ .

$- 5.10768312$

Étape 6.3

Sur $- 0.56810968$ , la dérivée seconde est $- 5.10768312$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}, 0)$

Diminue sur $(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}, 0)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \frac{\sqrt[4]{135}}{3})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0.56810968$ dans l’expression.

$f'' (0.56810968) = - \frac{8 {(0.56810968)}^{3} (3 {(0.56810968)}^{4} - 5)}{{({(0.56810968)}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Élevez $0.56810968$ à la puissance $4$ .

$f'' (0.56810968) = - \frac{8 \cdot ({0.56810968}^{3} (3 \cdot 0.1041\overline{6} - 5))}{{({0.56810968}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $3$ par $0.1041\overline{6}$ .

$f'' (0.56810968) = - \frac{8 \cdot ({0.56810968}^{3} (0.3125 - 5))}{{({0.56810968}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 7.2.1.3

Soustrayez $5$ de $0.3125$ .

$f'' (0.56810968) = - \frac{8 \cdot {0.56810968}^{3} \cdot - 4.6874\overline{9}}{{({0.56810968}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 7.2.1.4

Associez les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.4.1

Multipliez $- 4.6874\overline{9}$ par $8$ .

$f'' (0.56810968) = - \frac{- 37.4\overline{9} \cdot {0.56810968}^{3}}{{({0.56810968}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 7.2.1.4.2

Multipliez $- 37.4\overline{9}$ par ${0.56810968}^{3}$ .

$f'' (0.56810968) = - \frac{- 6.87587294}{{({0.56810968}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Élevez $0.56810968$ à la puissance $4$ .

$f'' (0.56810968) = - \frac{- 6.87587294}{{(0.1041\overline{6} + 1)}^{3}}$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $0.1041\overline{6}$ et $1$ .

$f'' (0.56810968) = - \frac{- 6.87587294}{{1.1041\overline{6}}^{3}}$

Étape 7.2.2.3

Élevez $1.1041\overline{6}$ à la puissance $3$ .

$f'' (0.56810968) = - \frac{- 6.87587294}{1.34618236}$

Étape 7.2.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.1

Divisez $- 6.87587294$ par $1.34618236$ .

$f'' (0.56810968) = 5.10768312$

Étape 7.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 5.10768312$ .

$f'' (0.56810968) = 5.10768312$

Étape 7.2.4

La réponse finale est $5.10768312$ .

$5.10768312$

Étape 7.3

Sur $0.56810968$ , la dérivée seconde est $5.10768312$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(0, \frac{\sqrt[4]{135}}{3})$ .

Augmente sur $(0, \frac{\sqrt[4]{135}}{3})$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{\sqrt[4]{135}}{3}, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $1.23621936$ dans l’expression.

$f'' (1.23621936) = - \frac{8 {(1.23621936)}^{3} (3 {(1.23621936)}^{4} - 5)}{{({(1.23621936)}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1

Élevez $1.23621936$ à la puissance $4$ .

$f'' (1.23621936) = - \frac{8 \cdot ({1.23621936}^{3} (3 \cdot 2.33551236 - 5))}{{({1.23621936}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $3$ par $2.33551236$ .

$f'' (1.23621936) = - \frac{8 \cdot ({1.23621936}^{3} (7.0065371 - 5))}{{({1.23621936}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 8.2.1.3

Soustrayez $5$ de $7.0065371$ .

$f'' (1.23621936) = - \frac{8 \cdot {1.23621936}^{3} \cdot 2.0065371}{{({1.23621936}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 8.2.1.4

Associez les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.4.1

Multipliez $2.0065371$ par $8$ .

$f'' (1.23621936) = - \frac{16.05229685 \cdot {1.23621936}^{3}}{{({1.23621936}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 8.2.1.4.2

Multipliez $16.05229685$ par ${1.23621936}^{3}$ .

$f'' (1.23621936) = - \frac{30.32660615}{{({1.23621936}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1

Élevez $1.23621936$ à la puissance $4$ .

$f'' (1.23621936) = - \frac{30.32660615}{{(2.33551236 + 1)}^{3}}$

Étape 8.2.2.2

Additionnez $2.33551236$ et $1$ .

$f'' (1.23621936) = - \frac{30.32660615}{{3.33551236}^{3}}$

Étape 8.2.2.3

Élevez $3.33551236$ à la puissance $3$ .

$f'' (1.23621936) = - \frac{30.32660615}{37.10971904}$

Étape 8.2.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.1

Divisez $30.32660615$ par $37.10971904$ .

$f'' (1.23621936) = - 1 \cdot 0.81721465$

Étape 8.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $0.81721465$ .

$f'' (1.23621936) = - 0.81721465$

Étape 8.2.4

La réponse finale est $- 0.81721465$ .

$- 0.81721465$

Étape 8.3

Sur $1.23621936$ , la dérivée seconde est $- 0.81721465$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(\frac{\sqrt[4]{135}}{3}, \infty)$

Diminue sur $(\frac{\sqrt[4]{135}}{3}, \infty)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 9

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, les points d’inflexion sont $(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}, - \frac{5 \sqrt[4]{135}}{12}), (0, 0), (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}, \frac{5 \sqrt[4]{135}}{12})$ .

$(- \frac{\sqrt[4]{135}}{3}, - \frac{5 \sqrt[4]{135}}{12}), (0, 0), (\frac{\sqrt[4]{135}}{3}, \frac{5 \sqrt[4]{135}}{12})$

Étape 10