Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 1}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 1}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x^{4} + 1$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Déplacez $3$ à gauche de $x^{4} + 1$ .

$2 \frac{3 \cdot (x^{4} + 1) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$2 \frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 \frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.6.1

Additionnez $4 x^{3}$ et $0$ .

$2 \frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - x^{3} (4 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.6.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$2 \frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{3} x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.4

Multipliez $x^{3}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.4.1

Déplacez $x^{3}$ .

$2 \frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 (x^{3} x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{3 + 3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.4.3

Additionnez $3$ et $3$ .

$2 \frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.5

Associez $2$ et $\frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 (3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.6

Simplifiez

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Étape 1.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 ((3 x^{4} + 3 \cdot 1) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (3 x^{4} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (3 x^{4} x^{2}) + 2 (3 \cdot 1 x^{2}) + 2 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.6.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.6.4.1.1

Multipliez $x^{4}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.6.4.1.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{2 (3 (x^{2} x^{4})) + 2 (3 \cdot 1 x^{2}) + 2 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.6.4.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (3 x^{2 + 4}) + 2 (3 \cdot 1 x^{2}) + 2 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.6.4.1.1.3

Additionnez $2$ et $4$ .

$\frac{2 (3 x^{6}) + 2 (3 \cdot 1 x^{2}) + 2 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.6.4.1.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 x^{6} + 2 (3 \cdot 1 x^{2}) + 2 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.6.4.1.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{6 x^{6} + 2 (3 x^{2}) + 2 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.6.4.1.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 x^{6} + 6 x^{2} + 2 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.6.4.1.5

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$\frac{6 x^{6} + 6 x^{2} - 8 x^{6}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.6.4.2

Soustrayez $8 x^{6}$ de $6 x^{6}$ .

$\frac{- 2 x^{6} + 6 x^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.6.5

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $- 2 x^{6} + 6 x^{2}$ .

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Étape 1.1.6.5.1

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $- 2 x^{6}$ .

$\frac{2 x^{2} (- x^{4}) + 6 x^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.6.5.2

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $6 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} (- x^{4}) + 2 x^{2} (3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.6.5.3

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $2 x^{2} (- x^{4}) + 2 x^{2} (3)$ .

$\frac{2 x^{2} (- x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.6.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{4}$ .

$\frac{2 x^{2} (- (x^{4}) + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.6.7

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$\frac{2 x^{2} (- (x^{4}) - 1 (- 3))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.6.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{4}) - 1 (- 3)$ .

$\frac{2 x^{2} (- (x^{4} - 3))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.6.9

Réécrivez $- (x^{4} - 3)$ comme $- 1 (x^{4} - 3)$ .

$\frac{2 x^{2} (- 1 (x^{4} - 3))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.6.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{(2 x^{2}) (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{2 x^{2} (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}]$

Étape 1.2.2

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} (x^{4} - 3)] - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{({(x^{4} + 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.2.3

Multipliez les exposants dans ${({(x^{4} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 1.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} (x^{4} - 3)] - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 1.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} (x^{4} - 3)] - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{4} - 3$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3] + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 1.2.5

Différenciez.

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Étape 1.2.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 1.2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 1.2.5.3

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{2} (4 x^{3} + 0) + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 1.2.5.4

Additionnez $4 x^{3}$ et $0$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{2} (4 x^{3}) + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 1.2.6

Multipliez $x^{2}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.6.1

Déplacez $x^{3}$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{3} x^{2} \cdot 4 + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 1.2.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{3 + 2} \cdot 4 + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 1.2.6.3

Additionnez $3$ et $2$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (x^{5} \cdot 4 + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 1.2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.2.7.1

Déplacez $4$ à gauche de $x^{5}$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 \cdot x^{5} + (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 1.2.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{5} + (x^{4} - 3) (2 x)) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 1.2.7.3

Déplacez $2$ à gauche de $x^{4} - 3$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{5} + 2 \cdot (x^{4} - 3) x) - x^{2} (x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 1.2.8

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{4} + 1$ .

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Étape 1.2.8.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{4} + 1$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - x^{2} (x^{4} - 3) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 1.2.8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - x^{2} (x^{4} - 3) (2 u \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 1.2.8.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{4} + 1$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - x^{2} (x^{4} - 3) (2 (x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 1.2.9

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.2.9.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) ((x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 1.2.9.2

Factorisez $x^{4} + 1$ à partir de ${(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) ((x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$ .

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Étape 1.2.9.2.1

Factorisez $x^{4} + 1$ à partir de ${(x^{4} + 1)}^{2} (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x)$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x)) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) ((x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 1.2.9.2.2

Factorisez $x^{4} + 1$ à partir de $- 2 x^{2} (x^{4} - 3) ((x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x)) + (x^{4} + 1) (- 2 x^{2} (x^{4} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1]))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 1.2.9.2.3

Factorisez $x^{4} + 1$ à partir de $(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x)) + (x^{4} + 1) (- 2 x^{2} (x^{4} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1]))$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1]))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 1.2.10

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.10.1

Factorisez $x^{4} + 1$ à partir de ${(x^{4} + 1)}^{4}$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1]))}{(x^{4} + 1) {(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.10.2

Annulez le facteur commun.

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1]))}{(x^{4} + 1) {(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.10.3

Réécrivez l’expression.

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{4} + 1])}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.11

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.13

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.14

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.14.1

Additionnez $4 x^{3}$ et $0$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 2 x^{2} (x^{4} - 3) (4 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.14.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 8 x^{2} (x^{4} - 3) x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.15

Multipliez $x^{2}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.15.1

Déplacez $x^{3}$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 8 (x^{3} x^{2}) (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.15.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 8 x^{3 + 2} (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.15.3

Additionnez $3$ et $2$ .

$- 2 \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 8 x^{5} (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.16

Associez $- 2$ et $\frac{(x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 8 x^{5} (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{- 2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 8 x^{5} (x^{4} - 3))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.17

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{4} - 3) x) - 8 x^{5} (x^{4} - 3))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.18

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.18.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + (2 x^{4} + 2 \cdot - 3) x) - 8 x^{5} (x^{4} - 3))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.18.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 x^{4} x + 2 \cdot - 3 x) - 8 x^{5} (x^{4} - 3))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.18.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 x^{4} x + 2 \cdot - 3 x) - 8 x^{5} x^{4} - 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.18.4

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 x^{4} x + 2 \cdot - 3 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.18.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.18.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.18.5.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.18.5.1.1.1

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.18.5.1.1.1.1

Déplacez $x$ .

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x \cdot x^{4}) + 2 \cdot - 3 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.18.5.1.1.1.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

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Étape 1.2.18.5.1.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 (x^{1} x^{4}) + 2 \cdot - 3 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.18.5.1.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 x^{1 + 4} + 2 \cdot - 3 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.18.5.1.1.1.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 x^{5} + 2 \cdot - 3 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.18.5.1.1.2

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (4 x^{5} + 2 x^{5} - 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.18.5.1.2

Additionnez $4 x^{5}$ et $2 x^{5}$ .

$- \frac{2 ((x^{4} + 1) (6 x^{5} - 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.18.5.1.3

Développez $(x^{4} + 1) (6 x^{5} - 6 x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.18.5.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2 (x^{4} (6 x^{5} - 6 x) + 1 (6 x^{5} - 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.18.5.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2 (x^{4} (6 x^{5}) + x^{4} (- 6 x) + 1 (6 x^{5} - 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.18.5.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2 (x^{4} (6 x^{5}) + x^{4} (- 6 x) + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.18.5.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.18.5.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.18.5.1.4.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{2 (6 x^{4} x^{5} + x^{4} (- 6 x) + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.18.5.1.4.1.2

Multipliez $x^{4}$ par $x^{5}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.18.5.1.4.1.2.1

Déplacez $x^{5}$ .

$- \frac{2 (6 (x^{5} x^{4}) + x^{4} (- 6 x) + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.18.5.1.4.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{2 (6 x^{5 + 4} + x^{4} (- 6 x) + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.18.5.1.4.1.2.3

Additionnez $5$ et $4$ .

$- \frac{2 (6 x^{9} + x^{4} (- 6 x) + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.18.5.1.4.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{2 (6 x^{9} - 6 x^{4} x + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.18.5.1.4.1.4

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.18.5.1.4.1.4.1

Déplacez $x$ .

$- \frac{2 (6 x^{9} - 6 (x \cdot x^{4}) + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.18.5.1.4.1.4.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

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Étape 1.2.18.5.1.4.1.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{2 (6 x^{9} - 6 (x^{1} x^{4}) + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.18.5.1.4.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{2 (6 x^{9} - 6 x^{1 + 4} + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.18.5.1.4.1.4.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$- \frac{2 (6 x^{9} - 6 x^{5} + 1 (6 x^{5}) + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.18.5.1.4.1.5

Multipliez $6 x^{5}$ par $1$ .

$- \frac{2 (6 x^{9} - 6 x^{5} + 6 x^{5} + 1 (- 6 x)) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.18.5.1.4.1.6

Multipliez $- 6 x$ par $1$ .

$- \frac{2 (6 x^{9} - 6 x^{5} + 6 x^{5} - 6 x) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.18.5.1.4.2

Additionnez $- 6 x^{5}$ et $6 x^{5}$ .

$- \frac{2 (6 x^{9} + 0 - 6 x) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.18.5.1.4.3

Additionnez $6 x^{9}$ et $0$ .

$- \frac{2 (6 x^{9} - 6 x) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.18.5.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2 (6 x^{9}) + 2 (- 6 x) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.18.5.1.6

Multipliez $6$ par $2$ .

$- \frac{12 x^{9} + 2 (- 6 x) + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.18.5.1.7

Multipliez $- 6$ par $2$ .

$- \frac{12 x^{9} - 12 x + 2 (- 8 x^{5} x^{4}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.18.5.1.8

Multipliez $x^{5}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.18.5.1.8.1

Déplacez $x^{4}$ .

$- \frac{12 x^{9} - 12 x + 2 (- 8 (x^{4} x^{5})) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.18.5.1.8.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{12 x^{9} - 12 x + 2 (- 8 x^{4 + 5}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.18.5.1.8.3

Additionnez $4$ et $5$ .

$- \frac{12 x^{9} - 12 x + 2 (- 8 x^{9}) + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.18.5.1.9

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$- \frac{12 x^{9} - 12 x - 16 x^{9} + 2 (- 8 x^{5} \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.18.5.1.10

Multipliez $- 3$ par $- 8$ .

$- \frac{12 x^{9} - 12 x - 16 x^{9} + 2 (24 x^{5})}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.18.5.1.11

Multipliez $24$ par $2$ .

$- \frac{12 x^{9} - 12 x - 16 x^{9} + 48 x^{5}}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.18.5.2

Soustrayez $16 x^{9}$ de $12 x^{9}$ .

$- \frac{- 4 x^{9} - 12 x + 48 x^{5}}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.18.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.18.6.1

Factorisez $4 x$ à partir de $- 4 x^{9} - 12 x + 48 x^{5}$ .

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Étape 1.2.18.6.1.1

Factorisez $4 x$ à partir de $- 4 x^{9}$ .

$- \frac{4 x (- x^{8}) - 12 x + 48 x^{5}}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.18.6.1.2

Factorisez $4 x$ à partir de $- 12 x$ .

$- \frac{4 x (- x^{8}) + 4 x (- 3) + 48 x^{5}}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.18.6.1.3

Factorisez $4 x$ à partir de $48 x^{5}$ .

$- \frac{4 x (- x^{8}) + 4 x (- 3) + 4 x (12 x^{4})}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.18.6.1.4

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (- x^{8}) + 4 x (- 3)$ .

$- \frac{4 x (- x^{8} - 3) + 4 x (12 x^{4})}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.18.6.1.5

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (- x^{8} - 3) + 4 x (12 x^{4})$ .

$- \frac{4 x (- x^{8} - 3 + 12 x^{4})}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.18.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{4 x (- x^{8} + 12 x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.18.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{8}$ .

$- \frac{4 x (- (x^{8}) + 12 x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.18.8

Factorisez $- 1$ à partir de $12 x^{4}$ .

$- \frac{4 x (- (x^{8}) - (- 12 x^{4}) - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.18.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{8}) - (- 12 x^{4})$ .

$- \frac{4 x (- (x^{8} - 12 x^{4}) - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.18.10

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$- \frac{4 x (- (x^{8} - 12 x^{4}) - 1 (3))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.18.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{8} - 12 x^{4}) - 1 (3)$ .

$- \frac{4 x (- (x^{8} - 12 x^{4} + 3))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.18.12

Réécrivez $- (x^{8} - 12 x^{4} + 3)$ comme $- 1 (x^{8} - 12 x^{4} + 3)$ .

$- \frac{4 x (- 1 (x^{8} - 12 x^{4} + 3))}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.18.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{(4 x) (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.18.14

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{(4 x) (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.18.15

Multipliez $\frac{(4 x) (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$ par $1$ .

$\frac{(4 x) (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2.18.16

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{(4 x) (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{4 x (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{4 x (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{4 x (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{4 x (x^{8} - 12 x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{3}} = 0$

Étape 2.2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x \approx - 1.85122502, - 0.7109206, 0, 0.7109206, 1.85122502$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 3.1

Remplacez $- 1.85122502$ dans $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.85122502$ dans l’expression.

$f (- 1.85122502) = \frac{2 {(- 1.85122502)}^{3}}{{(- 1.85122502)}^{4} + 1}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Élevez $- 1.85122502$ à la puissance $3$ .

$f (- 1.85122502) = \frac{2 \cdot - 6.34421126}{{(- 1.85122502)}^{4} + 1}$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1.2.2.1

Élevez $- 1.85122502$ à la puissance $4$ .

$f (- 1.85122502) = \frac{2 \cdot - 6.34421126}{11.74456266 + 1}$

Étape 3.1.2.2.2

Additionnez $11.74456266$ et $1$ .

$f (- 1.85122502) = \frac{2 \cdot - 6.34421126}{12.74456266}$

Étape 3.1.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1.2.3.1

Multipliez $2$ par $- 6.34421126$ .

$f (- 1.85122502) = \frac{- 12.68842253}{12.74456266}$

Étape 3.1.2.3.2

Divisez $- 12.68842253$ par $12.74456266$ .

$f (- 1.85122502) = - 0.99559497$

Étape 3.1.2.4

La réponse finale est $- 0.99559497$ .

$- 0.99559497$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $- 1.85122502$ dans $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ est $(- 1.85122502, - 0.99559497)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- 1.85122502, - 0.99559497)$

Étape 3.3

Remplacez $- 0.7109206$ dans $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.7109206$ dans l’expression.

$f (- 0.7109206) = \frac{2 {(- 0.7109206)}^{3}}{{(- 0.7109206)}^{4} + 1}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Élevez $- 0.7109206$ à la puissance $3$ .

$f (- 0.7109206) = \frac{2 \cdot - 0.35930503}{{(- 0.7109206)}^{4} + 1}$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.2.2.1

Élevez $- 0.7109206$ à la puissance $4$ .

$f (- 0.7109206) = \frac{2 \cdot - 0.35930503}{0.25543735 + 1}$

Étape 3.3.2.2.2

Additionnez $0.25543735$ et $1$ .

$f (- 0.7109206) = \frac{2 \cdot - 0.35930503}{1.25543735}$

Étape 3.3.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.2.3.1

Multipliez $2$ par $- 0.35930503$ .

$f (- 0.7109206) = \frac{- 0.71861007}{1.25543735}$

Étape 3.3.2.3.2

Divisez $- 0.71861007$ par $1.25543735$ .

$f (- 0.7109206) = - 0.57239819$

Étape 3.3.2.4

La réponse finale est $- 0.57239819$ .

$- 0.57239819$

Étape 3.4

Le point trouvé en remplaçant $- 0.7109206$ dans $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ est $(- 0.7109206, - 0.57239819)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- 0.7109206, - 0.57239819)$

Étape 3.5

Remplacez $0$ dans $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.5.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{3}}{{(0)}^{4} + 1}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.5.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = \frac{2 \cdot 0}{0^{4} + 1}$

Étape 3.5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.2.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = \frac{2 \cdot 0}{0 + 1}$

Étape 3.5.2.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (0) = \frac{2 \cdot 0}{1}$

Étape 3.5.2.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.3.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$f (0) = \frac{0}{1}$

Étape 3.5.2.3.2

Divisez $0$ par $1$ .

$f (0) = 0$

Étape 3.5.2.4

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 3.6

Le point trouvé en remplaçant $0$ dans $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ est $(0, 0)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(0, 0)$

Étape 3.7

Remplacez $0.7109206$ dans $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.1

Remplacez la variable $x$ par $0.7109206$ dans l’expression.

$f (0.7109206) = \frac{2 {(0.7109206)}^{3}}{{(0.7109206)}^{4} + 1}$

Étape 3.7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.2.1

Élevez $0.7109206$ à la puissance $3$ .

$f (0.7109206) = \frac{2 \cdot 0.35930503}{{0.7109206}^{4} + 1}$

Étape 3.7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.2.2.1

Élevez $0.7109206$ à la puissance $4$ .

$f (0.7109206) = \frac{2 \cdot 0.35930503}{0.25543735 + 1}$

Étape 3.7.2.2.2

Additionnez $0.25543735$ et $1$ .

$f (0.7109206) = \frac{2 \cdot 0.35930503}{1.25543735}$

Étape 3.7.2.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.2.3.1

Multipliez $2$ par $0.35930503$ .

$f (0.7109206) = \frac{0.71861007}{1.25543735}$

Étape 3.7.2.3.2

Divisez $0.71861007$ par $1.25543735$ .

$f (0.7109206) = 0.57239819$

Étape 3.7.2.4

La réponse finale est $0.57239819$ .

$0.57239819$

Étape 3.8

Le point trouvé en remplaçant $0.7109206$ dans $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ est $(0.7109206, 0.57239819)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(0.7109206, 0.57239819)$

Étape 3.9

Remplacez $1.85122502$ dans $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.9.1

Remplacez la variable $x$ par $1.85122502$ dans l’expression.

$f (1.85122502) = \frac{2 {(1.85122502)}^{3}}{{(1.85122502)}^{4} + 1}$

Étape 3.9.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.9.2.1

Élevez $1.85122502$ à la puissance $3$ .

$f (1.85122502) = \frac{2 \cdot 6.34421126}{{1.85122502}^{4} + 1}$

Étape 3.9.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.9.2.2.1

Élevez $1.85122502$ à la puissance $4$ .

$f (1.85122502) = \frac{2 \cdot 6.34421126}{11.74456266 + 1}$

Étape 3.9.2.2.2

Additionnez $11.74456266$ et $1$ .

$f (1.85122502) = \frac{2 \cdot 6.34421126}{12.74456266}$

Étape 3.9.2.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.9.2.3.1

Multipliez $2$ par $6.34421126$ .

$f (1.85122502) = \frac{12.68842253}{12.74456266}$

Étape 3.9.2.3.2

Divisez $12.68842253$ par $12.74456266$ .

$f (1.85122502) = 0.99559497$

Étape 3.9.2.4

La réponse finale est $0.99559497$ .

$0.99559497$

Étape 3.10

Le point trouvé en remplaçant $1.85122502$ dans $f (x) = \frac{2 x^{3}}{x^{4} + 1}$ est $(1.85122502, 0.99559497)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(1.85122502, 0.99559497)$

Étape 3.11

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(- 1.85122502, - 0.99559497), (- 0.7109206, - 0.57239819), (0, 0), (0.7109206, 0.57239819), (1.85122502, 0.99559497)$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - 1.85122502) \cup (- 1.85122502, - 0.7109206) \cup (- 0.7109206, 0) \cup (0, 0.7109206) \cup (0.7109206, 1.85122502) \cup (1.85122502, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 1.85122502)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.95122502$ dans l’expression.

$f'' (- 1.95122502) = \frac{4 (- 1.95122502) ({(- 1.95122502)}^{8} - 12 {(- 1.95122502)}^{4} + 3)}{{({(- 1.95122502)}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Multipliez $4$ par $- 1.95122502$ .

$f'' (- 1.95122502) = \frac{- 7.80490009 ({(- 1.95122502)}^{8} - 12 {(- 1.95122502)}^{4} + 3)}{{({(- 1.95122502)}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 7.80490009$ par ${(- 1.95122502)}^{8} - 12 {(- 1.95122502)}^{4} + 3$ .

$f'' (- 1.95122502) = \frac{- 305.72871822}{{({(- 1.95122502)}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Élevez $- 1.95122502$ à la puissance $4$ .

$f'' (- 1.95122502) = \frac{- 305.72871822}{{(14.49537411 + 1)}^{3}}$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $14.49537411$ et $1$ .

$f'' (- 1.95122502) = \frac{- 305.72871822}{{15.49537411}^{3}}$

Étape 5.2.2.3

Élevez $15.49537411$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 1.95122502) = \frac{- 305.72871822}{3720.54188867}$

Étape 5.2.3

Divisez $- 305.72871822$ par $3720.54188867$ .

$f'' (- 1.95122502) = - 0.08217316$

Étape 5.2.4

La réponse finale est $- 0.08217316$ .

$- 0.08217316$

Étape 5.3

Sur $- 1.95122502$ , la dérivée seconde est $- 0.08217316$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \infty, - 1.85122502)$

Diminue sur $(- \infty, - 1.85122502)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 1.85122502, - 0.7109206)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.28107281$ dans l’expression.

$f'' (- 1.28107281) = \frac{4 (- 1.28107281) ({(- 1.28107281)}^{8} - 12 {(- 1.28107281)}^{4} + 3)}{{({(- 1.28107281)}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Multipliez $4$ par $- 1.28107281$ .

$f'' (- 1.28107281) = \frac{- 5.12429125 ({(- 1.28107281)}^{8} - 12 {(- 1.28107281)}^{4} + 3)}{{({(- 1.28107281)}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 5.12429125$ par ${(- 1.28107281)}^{8} - 12 {(- 1.28107281)}^{4} + 3$ .

$f'' (- 1.28107281) = \frac{113.07346647}{{({(- 1.28107281)}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Élevez $- 1.28107281$ à la puissance $4$ .

$f'' (- 1.28107281) = \frac{113.07346647}{{(2.6933653 + 1)}^{3}}$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $2.6933653$ et $1$ .

$f'' (- 1.28107281) = \frac{113.07346647}{{3.6933653}^{3}}$

Étape 6.2.2.3

Élevez $3.6933653$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 1.28107281) = \frac{113.07346647}{50.38100121}$

Étape 6.2.3

Divisez $113.07346647$ par $50.38100121$ .

$f'' (- 1.28107281) = 2.24436719$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $2.24436719$ .

$2.24436719$

Étape 6.3

Sur $- 1.28107281$ , la dérivée seconde est $2.24436719$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- 1.85122502, - 0.7109206)$ .

Augmente sur $(- 1.85122502, - 0.7109206)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 0.7109206, 0)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.3554603$ dans l’expression.

$f'' (- 0.3554603) = \frac{4 (- 0.3554603) ({(- 0.3554603)}^{8} - 12 {(- 0.3554603)}^{4} + 3)}{{({(- 0.3554603)}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Multipliez $4$ par $- 0.3554603$ .

$f'' (- 0.3554603) = \frac{- 1.4218412 ({(- 0.3554603)}^{8} - 12 {(- 0.3554603)}^{4} + 3)}{{({(- 0.3554603)}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $- 1.4218412$ par ${(- 0.3554603)}^{8} - 12 {(- 0.3554603)}^{4} + 3$ .

$f'' (- 0.3554603) = \frac{- 3.9934925}{{({(- 0.3554603)}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Élevez $- 0.3554603$ à la puissance $4$ .

$f'' (- 0.3554603) = \frac{- 3.9934925}{{(0.01596483 + 1)}^{3}}$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $0.01596483$ et $1$ .

$f'' (- 0.3554603) = \frac{- 3.9934925}{{1.01596483}^{3}}$

Étape 7.2.2.3

Élevez $1.01596483$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 0.3554603) = \frac{- 3.9934925}{1.0486632}$

Étape 7.2.3

Divisez $- 3.9934925$ par $1.0486632$ .

$f'' (- 0.3554603) = - 3.80817454$

Étape 7.2.4

La réponse finale est $- 3.80817454$ .

$- 3.80817454$

Étape 7.3

Sur $- 0.3554603$ , la dérivée seconde est $- 3.80817454$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- 0.7109206, 0)$

Diminue sur $(- 0.7109206, 0)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, 0.7109206)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $0.3554603$ dans l’expression.

$f'' (0.3554603) = \frac{4 (0.3554603) ({(0.3554603)}^{8} - 12 {(0.3554603)}^{4} + 3)}{{({(0.3554603)}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1

Multipliez $4$ par $0.3554603$ .

$f'' (0.3554603) = \frac{1.4218412 ({0.3554603}^{8} - 12 \cdot {0.3554603}^{4} + 3)}{{({0.3554603}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $1.4218412$ par ${0.3554603}^{8} - 12 \cdot {0.3554603}^{4} + 3$ .

$f'' (0.3554603) = \frac{3.9934925}{{({0.3554603}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1

Élevez $0.3554603$ à la puissance $4$ .

$f'' (0.3554603) = \frac{3.9934925}{{(0.01596483 + 1)}^{3}}$

Étape 8.2.2.2

Additionnez $0.01596483$ et $1$ .

$f'' (0.3554603) = \frac{3.9934925}{{1.01596483}^{3}}$

Étape 8.2.2.3

Élevez $1.01596483$ à la puissance $3$ .

$f'' (0.3554603) = \frac{3.9934925}{1.0486632}$

Étape 8.2.3

Divisez $3.9934925$ par $1.0486632$ .

$f'' (0.3554603) = 3.80817454$

Étape 8.2.4

La réponse finale est $3.80817454$ .

$3.80817454$

Étape 8.3

Sur $0.3554603$ , la dérivée seconde est $3.80817454$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(0, 0.7109206)$ .

Augmente sur $(0, 0.7109206)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 9

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0.7109206, 1.85122502)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $1.28107281$ dans l’expression.

$f'' (1.28107281) = \frac{4 (1.28107281) ({(1.28107281)}^{8} - 12 {(1.28107281)}^{4} + 3)}{{({(1.28107281)}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1.1

Multipliez $4$ par $1.28107281$ .

$f'' (1.28107281) = \frac{5.12429125 ({1.28107281}^{8} - 12 \cdot {1.28107281}^{4} + 3)}{{({1.28107281}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 9.2.1.2

Multipliez $5.12429125$ par ${1.28107281}^{8} - 12 \cdot {1.28107281}^{4} + 3$ .

$f'' (1.28107281) = \frac{- 113.07346647}{{({1.28107281}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 9.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.2.1

Élevez $1.28107281$ à la puissance $4$ .

$f'' (1.28107281) = \frac{- 113.07346647}{{(2.6933653 + 1)}^{3}}$

Étape 9.2.2.2

Additionnez $2.6933653$ et $1$ .

$f'' (1.28107281) = \frac{- 113.07346647}{{3.6933653}^{3}}$

Étape 9.2.2.3

Élevez $3.6933653$ à la puissance $3$ .

$f'' (1.28107281) = \frac{- 113.07346647}{50.38100121}$

Étape 9.2.3

Divisez $- 113.07346647$ par $50.38100121$ .

$f'' (1.28107281) = - 2.24436719$

Étape 9.2.4

La réponse finale est $- 2.24436719$ .

$- 2.24436719$

Étape 9.3

Sur $1.28107281$ , la dérivée seconde est $- 2.24436719$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(0.7109206, 1.85122502)$

Diminue sur $(0.7109206, 1.85122502)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 10

Remplacez une valeur de l’intervalle $(1.85122502, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Remplacez la variable $x$ par $1.95122502$ dans l’expression.

$f'' (1.95122502) = \frac{4 (1.95122502) ({(1.95122502)}^{8} - 12 {(1.95122502)}^{4} + 3)}{{({(1.95122502)}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 10.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1.1

Multipliez $4$ par $1.95122502$ .

$f'' (1.95122502) = \frac{7.80490009 ({1.95122502}^{8} - 12 \cdot {1.95122502}^{4} + 3)}{{({1.95122502}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 10.2.1.2

Multipliez $7.80490009$ par ${1.95122502}^{8} - 12 \cdot {1.95122502}^{4} + 3$ .

$f'' (1.95122502) = \frac{305.72871822}{{({1.95122502}^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 10.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.2.1

Élevez $1.95122502$ à la puissance $4$ .

$f'' (1.95122502) = \frac{305.72871822}{{(14.49537411 + 1)}^{3}}$

Étape 10.2.2.2

Additionnez $14.49537411$ et $1$ .

$f'' (1.95122502) = \frac{305.72871822}{{15.49537411}^{3}}$

Étape 10.2.2.3

Élevez $15.49537411$ à la puissance $3$ .

$f'' (1.95122502) = \frac{305.72871822}{3720.54188869}$

Étape 10.2.3

Divisez $305.72871822$ par $3720.54188869$ .

$f'' (1.95122502) = 0.08217316$

Étape 10.2.4

La réponse finale est $0.08217316$ .

$0.08217316$

Étape 10.3

Sur $1.95122502$ , la dérivée seconde est $0.08217316$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(1.85122502, \infty)$ .

Augmente sur $(1.85122502, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 11

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, les points d’inflexion sont $(- 1.85122502, - 0.99559497), (- 0.7109206, - 0.57239819), (0, 0), (0.7109206, 0.57239819), (1.85122502, 0.99559497)$ .

$(- 1.85122502, - 0.99559497), (- 0.7109206, - 0.57239819), (0, 0), (0.7109206, 0.57239819), (1.85122502, 0.99559497)$

Étape 12