Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ ; $(4, \frac{5}{2})$

Étape 1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $\sqrt{x}$ des deux côtés de l’équation.

$f (x) - \sqrt{x} = \frac{1}{\sqrt{x}}$

Étape 1.2

Soustrayez $\frac{1}{\sqrt{x}}$ des deux côtés de l’équation.

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} = 0$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{x}}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$f (x) - \sqrt{x} - (\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}) = 0$

Étape 2.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{x}}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}} = 0$

Étape 2.2.2

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}} = 0$

Étape 2.2.3

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}} = 0$

Étape 2.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}} = 0$

Étape 2.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}} = 0$

Étape 2.2.6

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 2.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 0$

Étape 2.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 0$

Étape 2.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}} = 0$

Étape 2.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}} = 0$

Étape 2.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x^{1}} = 0$

Étape 2.2.6.5

Simplifiez

$f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} = 0$

Étape 3

Déterminez la valeur de $m$ en utilisant la formule pour l’équation d’une droite.

$y = m x + b$

Étape 4

Remplacez la valeur de $b$ dans l’équation.

$y = m x + f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x}$

Étape 5

Remplacez la valeur de $x$ dans l’équation.

$y = m (4) + f (4) - \sqrt{4} - \frac{\sqrt{4}}{4}$

Étape 6

Remplacez la valeur de $y$ dans l’équation.

$\frac{5}{2} = m (4) + f (4) - \sqrt{4} - \frac{\sqrt{4}}{4}$

Étape 7

Déterminez la valeur de $m$ .

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Étape 7.1

Réécrivez l’équation comme $m (4) + f (4) - \sqrt{4} - \frac{\sqrt{4}}{4} = \frac{5}{2}$ .

$m (4) + f (4) - \sqrt{4} - \frac{\sqrt{4}}{4} = \frac{5}{2}$

Étape 7.2

Simplifiez $m (4) + f (4) - \sqrt{4} - \frac{\sqrt{4}}{4}$ .

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Déplacez $4$ à gauche de $m$ .

$4 m + f (4) - \sqrt{4} - \frac{\sqrt{4}}{4} = \frac{5}{2}$

Étape 7.2.1.2

Déplacez $4$ à gauche de $f$ .

$4 m + 4 f - \sqrt{4} - \frac{\sqrt{4}}{4} = \frac{5}{2}$

Étape 7.2.1.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$4 m + 4 f - \sqrt{2^{2}} - \frac{\sqrt{4}}{4} = \frac{5}{2}$

Étape 7.2.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$4 m + 4 f - 1 \cdot 2 - \frac{\sqrt{4}}{4} = \frac{5}{2}$

Étape 7.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$4 m + 4 f - 2 - \frac{\sqrt{4}}{4} = \frac{5}{2}$

Étape 7.2.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.1.6.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$4 m + 4 f - 2 - \frac{\sqrt{2^{2}}}{4} = \frac{5}{2}$

Étape 7.2.1.6.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$4 m + 4 f - 2 - \frac{2}{4} = \frac{5}{2}$

Étape 7.2.1.7

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 7.2.1.7.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$4 m + 4 f - 2 - \frac{2 (1)}{4} = \frac{5}{2}$

Étape 7.2.1.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.1.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$4 m + 4 f - 2 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} = \frac{5}{2}$

Étape 7.2.1.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 m + 4 f - 2 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} = \frac{5}{2}$

Étape 7.2.1.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 m + 4 f - 2 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$

Étape 7.2.2

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$4 m + 4 f - 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$

Étape 7.2.3

Associez $- 2$ et $\frac{2}{2}$ .

$4 m + 4 f + \frac{- 2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$

Étape 7.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 m + 4 f + \frac{- 2 \cdot 2 - 1}{2} = \frac{5}{2}$

Étape 7.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.5.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$4 m + 4 f + \frac{- 4 - 1}{2} = \frac{5}{2}$

Étape 7.2.5.2

Soustrayez $1$ de $- 4$ .

$4 m + 4 f + \frac{- 5}{2} = \frac{5}{2}$

Étape 7.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 m + 4 f - \frac{5}{2} = \frac{5}{2}$

Étape 7.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $m$ du côté droit de l’équation.

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Étape 7.3.1

Soustrayez $4 f$ des deux côtés de l’équation.

$4 m - \frac{5}{2} = \frac{5}{2} - 4 f$

Étape 7.3.2

Ajoutez $\frac{5}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$4 m = \frac{5}{2} - 4 f + \frac{5}{2}$

Étape 7.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 m = - 4 f + \frac{5 + 5}{2}$

Étape 7.3.4

Additionnez $5$ et $5$ .

$4 m = - 4 f + \frac{10}{2}$

Étape 7.3.5

Divisez $10$ par $2$ .

$4 m = - 4 f + 5$

Étape 7.4

Divisez chaque terme dans $4 m = - 4 f + 5$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 7.4.1

Divisez chaque terme dans $4 m = - 4 f + 5$ par $4$ .

$\frac{4 m}{4} = \frac{- 4 f}{4} + \frac{5}{4}$

Étape 7.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.4.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 7.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 m}{4} = \frac{- 4 f}{4} + \frac{5}{4}$

Étape 7.4.2.1.2

Divisez $m$ par $1$ .

$m = \frac{- 4 f}{4} + \frac{5}{4}$

Étape 7.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.4.3.1

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $4$ .

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Étape 7.4.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 f$ .

$m = \frac{4 (- f)}{4} + \frac{5}{4}$

Étape 7.4.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.4.3.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$m = \frac{4 (- f)}{4 (1)} + \frac{5}{4}$

Étape 7.4.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$m = \frac{4 (- f)}{4 \cdot 1} + \frac{5}{4}$

Étape 7.4.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$m = \frac{- f}{1} + \frac{5}{4}$

Étape 7.4.3.1.2.4

Divisez $- f$ par $1$ .

$m = - f + \frac{5}{4}$

Étape 8

Maintenant que les valeurs de $m$ (pente) et $b$ (ordonnée à l’origine) sont connues, utilisez-les dans $y = m x + b$ pour déterminer l’équation de la droite.

$y = (- f + \frac{5}{4}) x + f (x) - \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{x}$

Étape 9