Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{3}{5} x^{10}$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = \frac{3}{5} \cdot {(x + h)}^{10}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Associez $\frac{3}{5}$ et ${(x + h)}^{10}$ .

$f (x + h) = \frac{3 {(x + h)}^{10}}{5}$

Étape 2.1.2.2

La réponse finale est $\frac{3 {(x + h)}^{10}}{5}$ .

$\frac{3 {(x + h)}^{10}}{5}$

Étape 2.2

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = \frac{3 {(x + h)}^{10}}{5}$

$f (x) = \frac{3 x^{10}}{5}$

$f (x + h) = \frac{3 {(x + h)}^{10}}{5}$

$f (x) = \frac{3 x^{10}}{5}$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{3 {(x + h)}^{10}}{5} - (\frac{3 x^{10}}{5})}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{3 {(x + h)}^{10} - 3 x^{10}}{5}}{h}$

Étape 4.1.2

Réécrivez $\frac{3 {(x + h)}^{10} - 3 x^{10}}{5}$ en forme factorisée.

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Étape 4.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 {(x + h)}^{10} - 3 x^{10}$ .

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Étape 4.1.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 {(x + h)}^{10}$ .

$\frac{\frac{3 {(x + h)}^{10} - 3 x^{10}}{5}}{h}$

Étape 4.1.2.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x^{10}$ .

$\frac{\frac{3 {(x + h)}^{10} + 3 (- x^{10})}{5}}{h}$

Étape 4.1.2.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 {(x + h)}^{10} + 3 (- x^{10})$ .

$\frac{\frac{3 ({(x + h)}^{10} - x^{10})}{5}}{h}$

Étape 4.1.2.2

Réécrivez ${(x + h)}^{10}$ comme ${({(x + h)}^{5})}^{2}$ .

$\frac{\frac{3 ({({(x + h)}^{5})}^{2} - x^{10})}{5}}{h}$

Étape 4.1.2.3

Réécrivez $x^{10}$ comme ${(x^{5})}^{2}$ .

$\frac{\frac{3 ({({(x + h)}^{5})}^{2} - {(x^{5})}^{2})}{5}}{h}$

Étape 4.1.2.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = {(x + h)}^{5}$ et $b = x^{5}$ .

$\frac{\frac{3 (({(x + h)}^{5} + x^{5}) ({(x + h)}^{5} - x^{5}))}{5}}{h}$

Étape 4.1.2.5

Simplifiez

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Étape 4.1.2.5.1

Utilisez le théorème du binôme.

$\frac{\frac{3 ((x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5} + x^{5}) ({(x + h)}^{5} - x^{5}))}{5}}{h}$

Étape 4.1.2.5.2

Additionnez $x^{5}$ et $x^{5}$ .

$\frac{\frac{3 ((2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) ({(x + h)}^{5} - x^{5}))}{5}}{h}$

Étape 4.1.2.5.3

Utilisez le théorème du binôme.

$\frac{\frac{3 ((2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) (x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5} - x^{5}))}{5}}{h}$

Étape 4.1.2.5.4

Soustrayez $x^{5}$ de $x^{5}$ .

$\frac{\frac{3 ((2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) (5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5} + 0))}{5}}{h}$

Étape 4.1.2.5.5

Additionnez $5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}$ et $0$ .

$\frac{\frac{3 ((2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) (5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}))}{5}}{h}$

Étape 4.1.2.5.6

Factorisez $h$ à partir de $5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}$ .

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Étape 4.1.2.5.6.1

Factorisez $h$ à partir de $5 x^{4} h$ .

$\frac{\frac{3 ((2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) (h (5 x^{4}) + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}))}{5}}{h}$

Étape 4.1.2.5.6.2

Factorisez $h$ à partir de $10 x^{3} h^{2}$ .

$\frac{\frac{3 ((2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) (h (5 x^{4}) + h (10 x^{3} h) + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}))}{5}}{h}$

Étape 4.1.2.5.6.3

Factorisez $h$ à partir de $10 x^{2} h^{3}$ .

$\frac{\frac{3 ((2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) (h (5 x^{4}) + h (10 x^{3} h) + h (10 x^{2} h^{2}) + 5 x h^{4} + h^{5}))}{5}}{h}$

Étape 4.1.2.5.6.4

Factorisez $h$ à partir de $5 x h^{4}$ .

$\frac{\frac{3 ((2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) (h (5 x^{4}) + h (10 x^{3} h) + h (10 x^{2} h^{2}) + h (5 x h^{3}) + h^{5}))}{5}}{h}$

Étape 4.1.2.5.6.5

Factorisez $h$ à partir de $h^{5}$ .

$\frac{\frac{3 ((2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) (h (5 x^{4}) + h (10 x^{3} h) + h (10 x^{2} h^{2}) + h (5 x h^{3}) + h (h^{4})))}{5}}{h}$

Étape 4.1.2.5.6.6

Factorisez $h$ à partir de $h (5 x^{4}) + h (10 x^{3} h)$ .

$\frac{\frac{3 ((2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) (h (5 x^{4} + 10 x^{3} h) + h (10 x^{2} h^{2}) + h (5 x h^{3}) + h (h^{4})))}{5}}{h}$

Étape 4.1.2.5.6.7

Factorisez $h$ à partir de $h (5 x^{4} + 10 x^{3} h) + h (10 x^{2} h^{2})$ .

$\frac{\frac{3 ((2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) (h (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2}) + h (5 x h^{3}) + h (h^{4})))}{5}}{h}$

Étape 4.1.2.5.6.8

Factorisez $h$ à partir de $h (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2}) + h (5 x h^{3})$ .

$\frac{\frac{3 ((2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) (h (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3}) + h (h^{4})))}{5}}{h}$

Étape 4.1.2.5.6.9

Factorisez $h$ à partir de $h (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3}) + h (h^{4})$ .

$\frac{\frac{3 ((2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) (h (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4})))}{5}}{h}$

$\frac{\frac{3 ((2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) h (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4}))}{5}}{h}$

$\frac{\frac{3 (2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) h (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4})}{5}}{h}$

Étape 4.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{3 (2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) h (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4})}{5} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3

Associez.

$\frac{3 (2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) h (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4}) \cdot 1}{5 h}$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) h (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4}) \cdot 1}{5 h}$

Étape 4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 (2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4}) \cdot 1}{5}$

Étape 4.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{3 (2 x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4})}{5}$

Étape 5