Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{x}$ , $(3, \sqrt{3})$

Étape 1

Vérifiez si le point donné est sur le graphe de la fonction donnée.

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Étape 1.1

Évaluez $f (x) = \sqrt{x}$ sur $x = 3$ .

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Étape 1.1.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = \sqrt{3}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 1.1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (3) = \sqrt{3}$

Étape 1.1.2.2

La réponse finale est $\sqrt{3}$ .

$\sqrt{3}$

Étape 1.2

Comme $\sqrt{3} = \sqrt{3}$ , le point est sur le graphe.

Le point est sur le graphe

Étape 2

La pente de la droite tangente est la dérivée de l’expression.

$m$ $=$ La dérivée de $f (x) = \sqrt{x}$

Étape 3

Étudiez la définition de la limite de la dérivée.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 4

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 4.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = \sqrt{x + h}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (x + h) = \sqrt{x + h}$

Étape 4.1.2.2

La réponse finale est $\sqrt{x + h}$ .

$\sqrt{x + h}$

Étape 4.2

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = \sqrt{x + h}$

$f (x) = \sqrt{x}$

$f (x + h) = \sqrt{x + h}$

$f (x) = \sqrt{x}$

Étape 5

Insérez les composants.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h} - (\sqrt{x})}{h}$

Étape 6

Multipliez $- 1$ par $\sqrt{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h}$

Étape 7

Comme il n’y a aucune valeur à gauche de $0$ dans le domaine de $\frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h}$ , la limite n’existe pas.

$N’existe pas$

Étape 8

Déterminez la pente $m$ . Dans ce cas $m = D o e s (n o t) (e (3) i s t)$ .

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Étape 8.1

Multipliez $e$ par $3$ .

$m = D o e s (n o t) (e \cdot (3 i s t))$

Étape 8.2

Supprimez les parenthèses.

$m = D o e s (n o t) (e (3) i s t)$

Étape 9

La pente est $m = D o e s (n o t) (e (3) i s t)$ et le point central est $(3, \sqrt{3})$ .

$m = D o e s (n o t) (e (3) i s t)$

$m = (3, \sqrt{3})$

Étape 10

Multipliez $e$ par $3$ .

$m = D o e s (n o t) (e \cdot (3 i s t))$

Étape 11

Déterminez la valeur de $b$ en utilisant la formule pour l’équation d’une droite.

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Étape 11.1

Utilisez la formule pour l’équation d’une droite pour déterminer $b$ .

$y = m x + b$

Étape 11.2

Remplacez la valeur de $m$ dans l’équation.

$y = (D o e s (n o t) (e \cdot (3 i s t))) \cdot x + b$

Étape 11.3

Remplacez la valeur de $x$ dans l’équation.

$y = (D o e s (n o t) (e \cdot (3 i s t))) \cdot (3) + b$

Étape 11.4

Remplacez la valeur de $y$ dans l’équation.

$\sqrt{3} = (D o e s (n o t) (e \cdot (3 i s t))) \cdot (3) + b$

Étape 11.5

Déterminez la valeur de $b$ .

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Étape 11.5.1

Réécrivez l’équation comme $D o e s (n o t) (e \cdot (3 i s t)) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$ .

$D o e s (n o t) (e \cdot (3 i s t)) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Étape 11.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.5.2.1

Multipliez $o$ par $o$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.5.2.1.1

Déplacez $o$ .

$D (o \cdot o) e s (n t) (e \cdot (3 i s t)) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Étape 11.5.2.1.2

Multipliez $o$ par $o$ .

$D o^{2} e s (n t) (e \cdot (3 i s t)) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Étape 11.5.2.2

Multipliez $s$ par $s$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.5.2.2.1

Déplacez $s$ .

$D o^{2} e (s \cdot s) (n t) (e \cdot (3 i t)) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Étape 11.5.2.2.2

Multipliez $s$ par $s$ .

$D o^{2} e s^{2} (n t) (e \cdot (3 i t)) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Étape 11.5.2.3

Multipliez $t$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.5.2.3.1

Déplacez $t$ .

$D o^{2} e s^{2} (n (t \cdot t)) (e \cdot (3 i)) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Étape 11.5.2.3.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$D o^{2} e s^{2} (n t^{2}) (e \cdot (3 i)) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Étape 11.5.2.4

Déplacez $3$ à gauche de $e$ .

$D o^{2} e s^{2} n t^{2} (3 \cdot e i) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Étape 11.5.2.5

Multipliez $D o^{2} e s^{2} n t^{2} (3 e i)$ .

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Étape 11.5.2.5.1

Élevez $e$ à la puissance $1$ .

$D o^{2} s^{2} n t^{2} (3 (e^{1} e) i) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Étape 11.5.2.5.2

Élevez $e$ à la puissance $1$ .

$D o^{2} s^{2} n t^{2} (3 (e^{1} e^{1}) i) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Étape 11.5.2.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$D o^{2} s^{2} n t^{2} (3 e^{1 + 1} i) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Étape 11.5.2.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$D o^{2} s^{2} n t^{2} (3 e^{2} i) \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Étape 11.5.2.6

Déplacez $3$ à gauche de $D o^{2} s^{2} n t^{2}$ .

$3 \cdot (D o^{2} s^{2} n t^{2}) e^{2} i \cdot 3 + b = \sqrt{3}$

Étape 11.5.2.7

Multipliez $3$ par $3$ .

$9 D o^{2} s^{2} n t^{2} e^{2} i + b = \sqrt{3}$

Étape 11.5.3

Soustrayez $9 D o^{2} s^{2} n t^{2} e^{2} i$ des deux côtés de l’équation.

$b = \sqrt{3} - 9 D o^{2} s^{2} n t^{2} e^{2} i$

Étape 12

Maintenant que les valeurs de $m$ (pente) et $b$ (ordonnée à l’origine) sont connues, utilisez-les dans $y = m x + b$ pour déterminer l’équation de la droite.

$y = 3 D o^{2} s^{2} n t^{2} e^{2} i x + \sqrt{3} - 9 D o^{2} s^{2} n t^{2} e^{2} i$

Étape 13