Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 7 x + 3$ ; $(1, 10)$

Étape 1

Vérifiez si le point donné est sur le graphe de la fonction donnée.

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Étape 1.1

Évaluez $f (x) = 7 x + 3$ sur $x = 1$ .

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Étape 1.1.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = 7 (1) + 3$

Étape 1.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 1.1.2.1

Multipliez $7$ par $1$ .

$f (1) = 7 + 3$

Étape 1.1.2.2

Additionnez $7$ et $3$ .

$f (1) = 10$

Étape 1.1.2.3

La réponse finale est $10$ .

$10$

Étape 1.2

Comme $10 = 10$ , le point est sur le graphe.

Le point est sur le graphe

Étape 2

La pente de la droite tangente est la dérivée de l’expression.

$m$ $=$ La dérivée de $f (x) = 7 x + 3$

Étape 3

Étudiez la définition de la limite de la dérivée.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 4

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 4.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = 7 (x + h) + 3$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 7 x + 7 h + 3$

Étape 4.1.2.2

La réponse finale est $7 x + 7 h + 3$ .

$7 x + 7 h + 3$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $7 x$ et $7 h$ .

$7 h + 7 x + 3$

Étape 4.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = 7 h + 7 x + 3$

$f (x) = 7 x + 3$

$f (x + h) = 7 h + 7 x + 3$

$f (x) = 7 x + 3$

Étape 5

Insérez les composants.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h + 7 x + 3 - (7 x + 3)}{h}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h + 7 x + 3 - (7 x) - 1 \cdot 3}{h}$

Étape 6.1.2

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h + 7 x + 3 - 7 x - 1 \cdot 3}{h}$

Étape 6.1.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h + 7 x + 3 - 7 x - 3}{h}$

Étape 6.1.4

Soustrayez $7 x$ de $7 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h + 0 + 3 - 3}{h}$

Étape 6.1.5

Additionnez $7 h$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h + 3 - 3}{h}$

Étape 6.1.6

Soustrayez $3$ de $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h + 0}{h}$

Étape 6.1.7

Additionnez $7 h$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h}{h}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h}{h}$

Étape 6.2.2

Divisez $7$ par $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 7$

Étape 7

Évaluez la limite de $7$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$7$

Étape 8

La pente est et le point central est $(1, 10)$ .

$m = 7, (1, 10)$

Étape 9

Déterminez la valeur de $b$ en utilisant la formule pour l’équation d’une droite.

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Étape 9.1

Utilisez la formule pour l’équation d’une droite pour déterminer $b$ .

$y = m x + b$

Étape 9.2

Remplacez la valeur de $m$ dans l’équation.

$y = (7) \cdot x + b$

Étape 9.3

Remplacez la valeur de $x$ dans l’équation.

$y = (7) \cdot (1) + b$

Étape 9.4

Remplacez la valeur de $y$ dans l’équation.

$10 = (7) \cdot (1) + b$

Étape 9.5

Déterminez la valeur de $b$ .

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Étape 9.5.1

Réécrivez l’équation comme $(7) \cdot (1) + b = 10$ .

$(7) \cdot (1) + b = 10$

Étape 9.5.2

Multipliez $7$ par $1$ .

$7 + b = 10$

Étape 9.5.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $b$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.5.3.1

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$b = 10 - 7$

Étape 9.5.3.2

Soustrayez $7$ de $10$ .

$b = 3$

Étape 10

Maintenant que les valeurs de $m$ (pente) et $b$ (ordonnée à l’origine) sont connues, utilisez-les dans $y = m x + b$ pour déterminer l’équation de la droite.

$y = 7 x + 3$

Étape 11