Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{2} - 5 \sqrt{x}$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = 2 {(x + h)}^{2} - 5 \sqrt{x + h}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

Réécrivez ${(x + h)}^{2}$ comme $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 2 ((x + h) (x + h)) - 5 \sqrt{x + h}$

Étape 2.1.2.1.2

Développez $(x + h) (x + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 2 (x (x + h) + h (x + h)) - 5 \sqrt{x + h}$

Étape 2.1.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 2 (x \cdot x + x h + h (x + h)) - 5 \sqrt{x + h}$

Étape 2.1.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 2 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) - 5 \sqrt{x + h}$

Étape 2.1.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) - 5 \sqrt{x + h}$

Étape 2.1.2.1.3.1.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) - 5 \sqrt{x + h}$

Étape 2.1.2.1.3.2

Additionnez $x h$ et $h x$ .

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Étape 2.1.2.1.3.2.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $h$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) - 5 \sqrt{x + h}$

Étape 2.1.2.1.3.2.2

Additionnez $h x$ et $h x$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) - 5 \sqrt{x + h}$

Étape 2.1.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 2 x^{2} + 2 (2 h x) + 2 h^{2} - 5 \sqrt{x + h}$

Étape 2.1.2.1.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 5 \sqrt{x + h}$

Étape 2.1.2.2

La réponse finale est $2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 5 \sqrt{x + h}$ .

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 5 \sqrt{x + h}$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.2.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $h$ .

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 5 \sqrt{h + x}$

Étape 2.2.2

Déplacez $2 x^{2}$ .

$4 h x + 2 h^{2} + 2 x^{2} - 5 \sqrt{h + x}$

Étape 2.2.3

Remettez dans l’ordre $4 h x$ et $2 h^{2}$ .

$2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 5 \sqrt{h + x}$

Étape 2.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 5 \sqrt{h + x}$

$f (x) = 2 x^{2} - 5 \sqrt{x}$

$f (x + h) = 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 5 \sqrt{h + x}$

$f (x) = 2 x^{2} - 5 \sqrt{x}$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 5 \sqrt{h + x} - (2 x^{2} - 5 \sqrt{x})}{h}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 5 \sqrt{h + x} - (2 x^{2}) - (- 5 \sqrt{x})}{h}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 5 \sqrt{h + x} - 2 x^{2} - (- 5 \sqrt{x})}{h}$

Étape 4.3

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 5 \sqrt{h + x} - 2 x^{2} + 5 \sqrt{x}}{h}$

Étape 4.4

Soustrayez $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 0 - 5 \sqrt{h + x} + 5 \sqrt{x}}{h}$

Étape 4.5

Additionnez $2 h^{2}$ et $0$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x - 5 \sqrt{h + x} + 5 \sqrt{x}}{h}$

Étape 5