Calcul infinitésimal Exemples

$h (w) = \frac{6 w^{5} - w}{w}$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (w + h) - f w}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = w + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $w$ par $w + h$ dans l’expression.

$h (w + h) = \frac{6 {(w + h)}^{5} - (w + h)}{w + h}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.2.1.1

Factorisez $w + h$ à partir de $6 {(w + h)}^{5} - (w + h)$ .

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Étape 2.1.2.1.1.1

Factorisez $w + h$ à partir de $6 {(w + h)}^{5}$ .

$h (w + h) = \frac{(w + h) (6 {(w + h)}^{4}) - (w + h)}{w + h}$

Étape 2.1.2.1.1.2

Factorisez $w + h$ à partir de $- (w + h)$ .

$h (w + h) = \frac{(w + h) (6 {(w + h)}^{4}) + (w + h) \cdot - 1}{w + h}$

Étape 2.1.2.1.1.3

Factorisez $w + h$ à partir de $(w + h) (6 {(w + h)}^{4}) + (w + h) \cdot - 1$ .

$h (w + h) = \frac{(w + h) (6 {(w + h)}^{4} - 1)}{w + h}$

Étape 2.1.2.1.2

Utilisez le théorème du binôme.

$h (w + h) = \frac{(w + h) (6 (w^{4} + 4 w^{3} h + 6 w^{2} h^{2} + 4 w h^{3} + h^{4}) - 1)}{w + h}$

Étape 2.1.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$h (w + h) = \frac{(w + h) (6 w^{4} + 6 (4 w^{3} h) + 6 (6 w^{2} h^{2}) + 6 (4 w h^{3}) + 6 h^{4} - 1)}{w + h}$

Étape 2.1.2.1.4

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1.4.1

Multipliez $4$ par $6$ .

$h (w + h) = \frac{(w + h) (6 w^{4} + 24 (w^{3} h) + 6 (6 w^{2} h^{2}) + 6 (4 w h^{3}) + 6 h^{4} - 1)}{w + h}$

Étape 2.1.2.1.4.2

Multipliez $6$ par $6$ .

$h (w + h) = \frac{(w + h) (6 w^{4} + 24 (w^{3} h) + 36 (w^{2} h^{2}) + 6 (4 w h^{3}) + 6 h^{4} - 1)}{w + h}$

Étape 2.1.2.1.4.3

Multipliez $4$ par $6$ .

$h (w + h) = \frac{(w + h) (6 w^{4} + 24 (w^{3} h) + 36 (w^{2} h^{2}) + 24 (w h^{3}) + 6 h^{4} - 1)}{w + h}$

Étape 2.1.2.1.5

Supprimez les parenthèses.

$h (w + h) = \frac{(w + h) (6 w^{4} + 24 w^{3} h + 36 w^{2} h^{2} + 24 w h^{3} + 6 h^{4} - 1)}{w + h}$

Étape 2.1.2.2

Annulez le facteur commun de $w + h$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$h (w + h) = \frac{(w + h) (6 w^{4} + 24 w^{3} h + 36 w^{2} h^{2} + 24 w h^{3} + 6 h^{4} - 1)}{w + h}$

Étape 2.1.2.2.2

Divisez $6 w^{4} + 24 w^{3} h + 36 w^{2} h^{2} + 24 w h^{3} + 6 h^{4} - 1$ par $1$ .

$h (w + h) = 6 w^{4} + 24 w^{3} h + 36 w^{2} h^{2} + 24 w h^{3} + 6 h^{4} - 1$

Étape 2.1.2.3

La réponse finale est $6 w^{4} + 24 w^{3} h + 36 w^{2} h^{2} + 24 w h^{3} + 6 h^{4} - 1$ .

$6 w^{4} + 24 w^{3} h + 36 w^{2} h^{2} + 24 w h^{3} + 6 h^{4} - 1$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.2.1

Déplacez $w^{3}$ .

$6 w^{4} + 24 h w^{3} + 36 w^{2} h^{2} + 24 w h^{3} + 6 h^{4} - 1$

Étape 2.2.2

Déplacez $w^{2}$ .

$6 w^{4} + 24 h w^{3} + 36 h^{2} w^{2} + 24 w h^{3} + 6 h^{4} - 1$

Étape 2.2.3

Déplacez $w$ .

$6 w^{4} + 24 h w^{3} + 36 h^{2} w^{2} + 24 h^{3} w + 6 h^{4} - 1$

Étape 2.2.4

Déplacez $6 w^{4}$ .

$24 h w^{3} + 36 h^{2} w^{2} + 24 h^{3} w + 6 h^{4} + 6 w^{4} - 1$

Étape 2.2.5

Déplacez $24 h w^{3}$ .

$36 h^{2} w^{2} + 24 h^{3} w + 6 h^{4} + 24 h w^{3} + 6 w^{4} - 1$

Étape 2.2.6

Déplacez $36 h^{2} w^{2}$ .

$24 h^{3} w + 6 h^{4} + 36 h^{2} w^{2} + 24 h w^{3} + 6 w^{4} - 1$

Étape 2.2.7

Remettez dans l’ordre $24 h^{3} w$ et $6 h^{4}$ .

$6 h^{4} + 24 h^{3} w + 36 h^{2} w^{2} + 24 h w^{3} + 6 w^{4} - 1$

Étape 2.3

Déterminez les composants de la définition.

$h (w + h) = 6 h^{4} + 24 h^{3} w + 36 h^{2} w^{2} + 24 h w^{3} + 6 w^{4} - 1$

$h (w) = 6 w^{4} - 1$

$h (w + h) = 6 h^{4} + 24 h^{3} w + 36 h^{2} w^{2} + 24 h w^{3} + 6 w^{4} - 1$

$h (w) = 6 w^{4} - 1$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{h (w + h) - h w}{h} = \frac{6 h^{4} + 24 h^{3} w + 36 h^{2} w^{2} + 24 h w^{3} + 6 w^{4} - 1 - (6 w^{4} - 1)}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 h^{4} + 24 h^{3} w + 36 h^{2} w^{2} + 24 h w^{3} + 6 w^{4} - 1 - (6 w^{4}) - - 1}{h}$

Étape 4.1.2

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$\frac{6 h^{4} + 24 h^{3} w + 36 h^{2} w^{2} + 24 h w^{3} + 6 w^{4} - 1 - 6 w^{4} - - 1}{h}$

Étape 4.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{6 h^{4} + 24 h^{3} w + 36 h^{2} w^{2} + 24 h w^{3} + 6 w^{4} - 1 - 6 w^{4} + 1}{h}$

Étape 4.1.4

Soustrayez $6 w^{4}$ de $6 w^{4}$ .

$\frac{6 h^{4} + 24 h^{3} w + 36 h^{2} w^{2} + 24 h w^{3} + 0 - 1 + 1}{h}$

Étape 4.1.5

Additionnez $6 h^{4}$ et $0$ .

$\frac{6 h^{4} + 24 h^{3} w + 36 h^{2} w^{2} + 24 h w^{3} - 1 + 1}{h}$

Étape 4.1.6

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{6 h^{4} + 24 h^{3} w + 36 h^{2} w^{2} + 24 h w^{3} + 0}{h}$

Étape 4.1.7

Additionnez $6 h^{4} + 24 h^{3} w + 36 h^{2} w^{2} + 24 h w^{3}$ et $0$ .

$\frac{6 h^{4} + 24 h^{3} w + 36 h^{2} w^{2} + 24 h w^{3}}{h}$

Étape 4.1.8

Factorisez $6 h$ à partir de $6 h^{4} + 24 h^{3} w + 36 h^{2} w^{2} + 24 h w^{3}$ .

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Étape 4.1.8.1

Factorisez $6 h$ à partir de $6 h^{4}$ .

$\frac{6 h \cdot h^{3} + 24 h^{3} w + 36 h^{2} w^{2} + 24 h w^{3}}{h}$

Étape 4.1.8.2

Factorisez $6 h$ à partir de $24 h^{3} w$ .

$\frac{6 h \cdot h^{3} + 6 h (4 h^{2} w) + 36 h^{2} w^{2} + 24 h w^{3}}{h}$

Étape 4.1.8.3

Factorisez $6 h$ à partir de $36 h^{2} w^{2}$ .

$\frac{6 h \cdot h^{3} + 6 h (4 h^{2} w) + 6 h (6 h w^{2}) + 24 h w^{3}}{h}$

Étape 4.1.8.4

Factorisez $6 h$ à partir de $24 h w^{3}$ .

$\frac{6 h \cdot h^{3} + 6 h (4 h^{2} w) + 6 h (6 h w^{2}) + 6 h (4 w^{3})}{h}$

Étape 4.1.8.5

Factorisez $6 h$ à partir de $6 h \cdot h^{3} + 6 h (4 h^{2} w)$ .

$\frac{6 h (h^{3} + 4 h^{2} w) + 6 h (6 h w^{2}) + 6 h (4 w^{3})}{h}$

Étape 4.1.8.6

Factorisez $6 h$ à partir de $6 h (h^{3} + 4 h^{2} w) + 6 h (6 h w^{2})$ .

$\frac{6 h (h^{3} + 4 h^{2} w + 6 h w^{2}) + 6 h (4 w^{3})}{h}$

Étape 4.1.8.7

Factorisez $6 h$ à partir de $6 h (h^{3} + 4 h^{2} w + 6 h w^{2}) + 6 h (4 w^{3})$ .

$\frac{6 h (h^{3} + 4 h^{2} w + 6 h w^{2} + 4 w^{3})}{h}$

Étape 4.2

Simplifiez les termes.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 h (h^{3} + 4 h^{2} w + 6 h w^{2} + 4 w^{3})}{h}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $6 (h^{3} + 4 h^{2} w + 6 h w^{2} + 4 w^{3})$ par $1$ .

$6 (h^{3} + 4 h^{2} w + 6 h w^{2} + 4 w^{3})$

Étape 4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$6 h^{3} + 6 (4 h^{2} w) + 6 (6 h w^{2}) + 6 (4 w^{3})$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Multipliez $4$ par $6$ .

$6 h^{3} + 24 (h^{2} w) + 6 (6 h w^{2}) + 6 (4 w^{3})$

Étape 4.3.2

Multipliez $6$ par $6$ .

$6 h^{3} + 24 (h^{2} w) + 36 (h w^{2}) + 6 (4 w^{3})$

Étape 4.3.3

Multipliez $4$ par $6$ .

$6 h^{3} + 24 (h^{2} w) + 36 (h w^{2}) + 24 w^{3}$

Étape 4.4

Supprimez les parenthèses.

$6 h^{3} + 24 h^{2} w + 36 h w^{2} + 24 w^{3}$

Étape 4.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.5.1

Déplacez $h^{2}$ .

$6 h^{3} + 24 w h^{2} + 36 h w^{2} + 24 w^{3}$

Étape 4.5.2

Déplacez $h$ .

$6 h^{3} + 24 w h^{2} + 36 w^{2} h + 24 w^{3}$

Étape 4.5.3

Déplacez $6 h^{3}$ .

$24 w h^{2} + 36 w^{2} h + 24 w^{3} + 6 h^{3}$

Étape 4.5.4

Déplacez $24 w h^{2}$ .

$36 w^{2} h + 24 w^{3} + 24 w h^{2} + 6 h^{3}$

Étape 4.5.5

Remettez dans l’ordre $36 w^{2} h$ et $24 w^{3}$ .

$24 w^{3} + 36 w^{2} h + 24 w h^{2} + 6 h^{3}$

Étape 5