Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\sqrt{2 x^{2} - x + 10}}{7 x - 5}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{\sqrt{2 x^{2} - x + 10}}{7 x - 5}$ est indéfinie.

$x = \frac{5}{7}$

Étape 2

Évaluez $lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2 x^{2} - x + 10}}{7 x - 5}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 2.1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{10}{x^{2}}}}{\frac{7 x}{x} + \frac{- 5}{x}}$

Étape 2.2

Évaluez la limite.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{10}{x^{2}}}}{7 - \frac{5}{x}}$

Étape 2.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{10}{x^{2}}}}{7 - \frac{5}{x}}$

Étape 2.2.2.1.2

Divisez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2 + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{10}{x^{2}}}}{7 - \frac{5}{x}}$

Étape 2.2.2.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 2.2.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2 + \frac{x \cdot - 1}{x^{2}} + \frac{10}{x^{2}}}}{7 - \frac{5}{x}}$

Étape 2.2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2 + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} + \frac{10}{x^{2}}}}{7 - \frac{5}{x}}$

Étape 2.2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2 + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} + \frac{10}{x^{2}}}}{7 - \frac{5}{x}}$

Étape 2.2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2 + \frac{- 1}{x} + \frac{10}{x^{2}}}}{7 - \frac{5}{x}}$

Étape 2.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2 - \frac{1}{x} + \frac{10}{x^{2}}}}{7 - \frac{5}{x}}$

Étape 2.2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{2 - \frac{1}{x} + \frac{10}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 7 - \frac{5}{x}}$

Étape 2.2.4

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{1}{x} + \frac{10}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 7 - \frac{5}{x}}$

Étape 2.2.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 2 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 7 - \frac{5}{x}}$

Étape 2.2.6

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{2 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 7 - \frac{5}{x}}$

Étape 2.3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{2 - 0 + lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 7 - \frac{5}{x}}$

Étape 2.4

Placez le terme $10$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt{2 - 0 + 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 7 - \frac{5}{x}}$

Étape 2.5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{2 - 0 + 10 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 7 - \frac{5}{x}}$

Étape 2.6

Évaluez la limite.

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Étape 2.6.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{2 - 0 + 10 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 7 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}}$

Étape 2.6.2

Évaluez la limite de $7$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{2 - 0 + 10 \cdot 0}}{7 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}}$

Étape 2.6.3

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt{2 - 0 + 10 \cdot 0}}{7 - 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Étape 2.7

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{2 - 0 + 10 \cdot 0}}{7 - 5 \cdot 0}$

Étape 2.8

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.8.1.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{\sqrt{2 + 0 + 10 \cdot 0}}{7 - 5 \cdot 0}$

Étape 2.8.1.2

Multipliez $10$ par $0$ .

$\frac{\sqrt{2 + 0 + 0}}{7 - 5 \cdot 0}$

Étape 2.8.1.3

Additionnez $2 + 0$ et $0$ .

$\frac{\sqrt{2 + 0}}{7 - 5 \cdot 0}$

Étape 2.8.1.4

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{7 - 5 \cdot 0}$

Étape 2.8.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.8.2.1

Multipliez $- 5$ par $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{7 + 0}$

Étape 2.8.2.2

Additionnez $7$ et $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{7}$

Étape 3

Évaluez $lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{2 x^{2} - x + 10}}{7 x - 5}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 3.1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $- \sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{10}{x^{2}}}}{\frac{7 x}{x} + \frac{- 5}{x}}$

Étape 3.2

Évaluez la limite.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{10}{x^{2}}}}{7 - \frac{5}{x}}$

Étape 3.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{10}{x^{2}}}}{7 - \frac{5}{x}}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{2 + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{10}{x^{2}}}}{7 - \frac{5}{x}}$

Étape 3.2.2.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 3.2.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{2 + \frac{x \cdot - 1}{x^{2}} + \frac{10}{x^{2}}}}{7 - \frac{5}{x}}$

Étape 3.2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.2.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{2 + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} + \frac{10}{x^{2}}}}{7 - \frac{5}{x}}$

Étape 3.2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{2 + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} + \frac{10}{x^{2}}}}{7 - \frac{5}{x}}$

Étape 3.2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{2 + \frac{- 1}{x} + \frac{10}{x^{2}}}}{7 - \frac{5}{x}}$

Étape 3.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{2 - \frac{1}{x} + \frac{10}{x^{2}}}}{7 - \frac{5}{x}}$

Étape 3.2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{2 - \frac{1}{x} + \frac{10}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 7 - \frac{5}{x}}$

Étape 3.2.4

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{2 - \frac{1}{x} + \frac{10}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 7 - \frac{5}{x}}$

Étape 3.2.5

Placez la limite sous le radical.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{1}{x} + \frac{10}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 7 - \frac{5}{x}}$

Étape 3.2.6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 2 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{10}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 7 - \frac{5}{x}}$

Étape 3.2.7

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{2 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{10}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 7 - \frac{5}{x}}$

Étape 3.3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{- \sqrt{2 - 0 + lim_{x \to - \infty} \frac{10}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 7 - \frac{5}{x}}$

Étape 3.4

Placez le terme $10$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{- \sqrt{2 - 0 + 10 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 7 - \frac{5}{x}}$

Étape 3.5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{- \sqrt{2 - 0 + 10 \cdot 0}}{lim_{x \to - \infty} 7 - \frac{5}{x}}$

Étape 3.6

Évaluez la limite.

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Étape 3.6.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{2 - 0 + 10 \cdot 0}}{lim_{x \to - \infty} 7 - lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x}}$

Étape 3.6.2

Évaluez la limite de $7$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{2 - 0 + 10 \cdot 0}}{7 - lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x}}$

Étape 3.6.3

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{- \sqrt{2 - 0 + 10 \cdot 0}}{7 - 5 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Étape 3.7

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{- \sqrt{2 - 0 + 10 \cdot 0}}{7 - 5 \cdot 0}$

Étape 3.8

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.8.1.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{- \sqrt{2 + 0 + 10 \cdot 0}}{7 - 5 \cdot 0}$

Étape 3.8.1.2

Multipliez $10$ par $0$ .

$\frac{- \sqrt{2 + 0 + 0}}{7 - 5 \cdot 0}$

Étape 3.8.1.3

Additionnez $2 + 0$ et $0$ .

$\frac{- \sqrt{2 + 0}}{7 - 5 \cdot 0}$

Étape 3.8.1.4

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{- \sqrt{2}}{7 - 5 \cdot 0}$

Étape 3.8.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.8.2.1

Multipliez $- 5$ par $0$ .

$\frac{- \sqrt{2}}{7 + 0}$

Étape 3.8.2.2

Additionnez $7$ et $0$ .

$\frac{- \sqrt{2}}{7}$

Étape 3.8.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\sqrt{2}}{7}$

Étape 4

Indiquez les asymptotes horizontales :

$y = \frac{\sqrt{2}}{7}, - \frac{\sqrt{2}}{7}$

Étape 5

Utilisez la division polynomiale pour déterminer les asymptotes obliques. Comme cette expression contient un radical, la division polynomiale ne peut pas être réalisée.

Asymptotes obliques introuvables

Étape 6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = \frac{5}{7}$

Asymptotes horizontales : $y = \frac{\sqrt{2}}{7}, - \frac{\sqrt{2}}{7}$

Asymptotes obliques introuvables

Étape 7