Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\sqrt{9 x^{2} + 2 x + 5} - 4}{x - 1}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{\sqrt{9 x^{2} + 2 x + 5} - 4}{x - 1}$ est indéfinie.

$x = 1$

Étape 2

Les asymptotes verticales se trouvent dans des zones de discontinuité infinie.

Aucune asymptote verticale

Étape 3

Évaluez $lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 x^{2} + 2 x + 5} - 4}{x - 1}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 3.1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} + \frac{- 4}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}}$

Étape 3.2

Évaluez la limite.

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Étape 3.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}}$

Étape 3.2.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Étape 3.2.2.2.1.2

Divisez $9$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Étape 3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 3.2.2.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 + \frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Étape 3.2.2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.2.2.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Étape 3.2.2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Étape 3.2.2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 + \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Étape 3.2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Étape 3.2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Étape 3.2.5

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 9 + \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Étape 3.2.6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 9 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Étape 3.2.7

Évaluez la limite de $9$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{9 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Étape 3.2.8

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt{9 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Étape 3.3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 2 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Étape 3.4

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Étape 3.5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Étape 3.6

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Étape 3.7

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Étape 3.8

Évaluez la limite.

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Étape 3.8.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Étape 3.8.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Étape 3.9

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Étape 3.10

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.10.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.10.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 0 + 5 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Étape 3.10.1.2

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 0 + 0} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Étape 3.10.1.3

Additionnez $9 + 0$ et $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 0} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Étape 3.10.1.4

Additionnez $9$ et $0$ .

$\frac{\sqrt{9} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Étape 3.10.1.5

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Étape 3.10.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{3 - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Étape 3.10.1.7

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$\frac{3 + 0}{1 - 0}$

Étape 3.10.1.8

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{3}{1 - 0}$

Étape 3.10.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.10.2.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{3}{1 + 0}$

Étape 3.10.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{3}{1}$

Étape 3.10.3

Divisez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 4

Évaluez $lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{9 x^{2} + 2 x + 5} - 4}{x - 1}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 4.1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $- \sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} + \frac{- 4}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}}$

Étape 4.2

Évaluez la limite.

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Étape 4.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}}$

Étape 4.2.2

Simplifiez les termes.

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Étape 4.2.2.2.1.2

Divisez $9$ par $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{9 + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Étape 4.2.2.2.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 4.2.2.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{9 + \frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Étape 4.2.2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.2.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{9 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Étape 4.2.2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{9 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Étape 4.2.2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{9 + \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Étape 4.2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{9 + \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}}} - \frac{4}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Étape 4.2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{9 + \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Étape 4.2.5

Placez la limite sous le radical.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 9 + \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Étape 4.2.6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 9 + lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Étape 4.2.7

Évaluez la limite de $9$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{9 + lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Étape 4.2.8

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{- \sqrt{9 + 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Étape 4.3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{- \sqrt{9 + 2 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Étape 4.4

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{- \sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}} - lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Étape 4.5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{- \sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Étape 4.6

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{- \sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - 4 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Étape 4.7

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{- \sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}$

Étape 4.8

Évaluez la limite.

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Étape 4.8.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 1 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Étape 4.8.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{1 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Étape 4.9

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{- \sqrt{9 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Étape 4.10

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.10.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.10.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{- \sqrt{9 + 0 + 5 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Étape 4.10.1.2

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{- \sqrt{9 + 0 + 0} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Étape 4.10.1.3

Additionnez $9 + 0$ et $0$ .

$\frac{- \sqrt{9 + 0} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Étape 4.10.1.4

Additionnez $9$ et $0$ .

$\frac{- \sqrt{9} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Étape 4.10.1.5

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{- \sqrt{3^{2}} - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Étape 4.10.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{- 1 \cdot 3 - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Étape 4.10.1.7

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{- 3 - 4 \cdot 0}{1 - 0}$

Étape 4.10.1.8

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$\frac{- 3 + 0}{1 - 0}$

Étape 4.10.1.9

Additionnez $- 3$ et $0$ .

$\frac{- 3}{1 - 0}$

Étape 4.10.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.10.2.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{- 3}{1 + 0}$

Étape 4.10.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{- 3}{1}$

Étape 4.10.3

Divisez $- 3$ par $1$ .

$- 3$

Étape 5

Indiquez les asymptotes horizontales :

$y = 3, - 3$

Étape 6

Utilisez la division polynomiale pour déterminer les asymptotes obliques. Comme cette expression contient un radical, la division polynomiale ne peut pas être réalisée.

Asymptotes obliques introuvables

Étape 7

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Aucune asymptote verticale

Asymptotes horizontales : $y = 3, - 3$

Asymptotes obliques introuvables

Étape 8