Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + x + 5}$

Étape 1

Déterminez le domaine pour déterminer si l’expression est continue.

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Étape 1.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x}{x^{2} + x + 5}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} + x + 5 = 0$

Étape 1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 1$ et $c = 5$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3

Simplifiez

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Étape 1.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

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Étape 1.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.1.3

Soustrayez $20$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 19}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.1.4

Réécrivez $- 19$ comme $- 1 (19)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 19}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (19)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{19}}{2}$

Étape 1.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

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Étape 1.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.1.3

Soustrayez $20$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 19}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.1.4

Réécrivez $- 19$ comme $- 1 (19)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 19}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (19)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{19}}{2}$

Étape 1.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{19}}{2}$

Étape 1.2.4.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{19}}{2}$

Étape 1.2.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $i \sqrt{19}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{19})}{2}$

Étape 1.2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (- i \sqrt{19})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{19})}{2}$

Étape 1.2.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{19}}{2}$

Étape 1.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

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Étape 1.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.1.3

Soustrayez $20$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 19}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.1.4

Réécrivez $- 19$ comme $- 1 (19)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 19}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (19)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{19}}{2}$

Étape 1.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{19}}{2}$

Étape 1.2.5.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{19}}{2}$

Étape 1.2.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- i \sqrt{19}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{19})}{2}$

Étape 1.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (i \sqrt{19})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{19})}{2}$

Étape 1.2.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{19}}{2}$

Étape 1.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{19}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{19}}{2}$

Étape 1.3

Le domaine est l’ensemble des nombres réels.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2

Comme le domaine est l’ensemble des nombres réels, $\frac{x}{x^{2} + x + 5}$ est continu sur l’ensemble des nombres réels.

Continu

Étape 3