Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 25}}{\ln (x + 9)}$

Étape 1

Find the domain to determine if the expression is continuous.

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Étape 1.1

Définissez l’argument dans $\ln (x + 9)$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x + 9 > 0$

Étape 1.2

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’inégalité.

$x > - 9$

Étape 1.3

Définissez le radicande dans $\sqrt{x^{2} - 25}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x^{2} - 25 \geq 0$

Étape 1.4

Résolvez $x$ .

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Étape 1.4.1

Ajoutez $25$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x^{2} \geq 25$

Étape 1.4.2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{25}$

Étape 1.4.3

Simplifiez l’équation.

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Étape 1.4.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.4.3.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \geq \sqrt{25}$

Étape 1.4.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.4.3.2.1

Simplifiez $\sqrt{25}$ .

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Étape 1.4.3.2.1.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$| x | \geq \sqrt{5^{2}}$

Étape 1.4.3.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \geq | 5 |$

Étape 1.4.3.2.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $5$ est $5$ .

$| x | \geq 5$

Étape 1.4.4

Écrivez $| x | \geq 5$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 1.4.4.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 1.4.4.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x \geq 5$

Étape 1.4.4.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 1.4.4.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x \geq 5$

Étape 1.4.4.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x \geq 5 & x \geq 0 \\ - x \geq 5 & x < 0 \end{cases}$

Étape 1.4.5

Déterminez l’intersection de $x \geq 5$ et $x \geq 0$ .

$x \geq 5$

Étape 1.4.6

Divisez chaque terme dans $- x \geq 5$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.4.6.1

Divisez chaque terme dans $- x \geq 5$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{5}{- 1}$

Étape 1.4.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.4.6.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \leq \frac{5}{- 1}$

Étape 1.4.6.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{5}{- 1}$

Étape 1.4.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.4.6.3.1

Divisez $5$ par $- 1$ .

$x \leq - 5$

Étape 1.4.7

Déterminez l’union des solutions.

$x \leq - 5$ ou $x \geq 5$

Étape 1.5

Définissez le dénominateur dans $\frac{\sqrt{x^{2} - 25}}{\ln (x + 9)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\ln (x + 9) = 0$

Étape 1.6

Résolvez $x$ .

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Étape 1.6.1

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x + 9)} = e^{0}$

Étape 1.6.2

Réécrivez $\ln (x + 9) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{0} = x + 9$

Étape 1.6.3

Résolvez $x$ .

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Étape 1.6.3.1

Réécrivez l’équation comme $x + 9 = e^{0}$ .

$x + 9 = e^{0}$

Étape 1.6.3.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x + 9 = 1$

Étape 1.6.3.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.6.3.3.1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$x = 1 - 9$

Étape 1.6.3.3.2

Soustrayez $9$ de $1$ .

$x = - 8$

Étape 1.7

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- 9, - 8) \cup (- 8, - 5] \cup [5, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - 9 < x \leq - 5, x \geq 5, x \neq - 8}$

Notation d’intervalle :

$(- 9, - 8) \cup (- 8, - 5] \cup [5, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - 9 < x \leq - 5, x \geq 5, x \neq - 8}$

Étape 2

Comme le domaine n’est pas l’ensemble des nombres réels, $\frac{\sqrt{x^{2} - 25}}{\ln (x + 9)}$ n’est pas continu sur l’ensemble des nombres réels.

Pas continu

Étape 3