Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{x^{2}}{4} + C$

Étape 1

La fonction $G (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $g (x)$ .

$G (x) = \int g (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$G (x) = \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{x^{2}}{4} + C d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x + \int \frac{x^{2}}{4} d x + \int C d x$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int \frac{x^{2}}{4} d x + \int C d x$

Étape 5

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int \frac{x^{2}}{4} d x + \int C d x$

Étape 5.2

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int \frac{x^{2}}{4} d x + \int C d x$

Étape 5.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 5.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int \frac{x^{2}}{4} d x + \int C d x$

Étape 5.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int \frac{x^{2}}{4} d x + \int C d x$

Étape 5.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int \frac{x^{2}}{4} d x + \int C d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int \frac{x^{2}}{4} d x + \int C d x$

Étape 7

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{1}{4} \int x^{2} d x + \int C d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int C d x$

Étape 9

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + C x + C$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Simplifiez

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{3}}{12} + C x + C$

Étape 10.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{12} x^{3} + C x + C$

Étape 11

La réponse est la dérivée première de la fonction $g (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{x^{2}}{4} + C$ .

$G (x) =$ $x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{12} x^{3} + C x + C$