Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sin (2 x)$ , $[0, 2 π]$

Étape 1

Si $f$ est continu sur l’intervalle $[a, b]$ et différentiable sur $(a, b)$ , au moins un nombre réel $c$ existe sur l’intervalle $(a, b)$ de telle sorte que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Le théorème de la valeur moyenne exprime la relation entre la pente de la tangente à la courbe sur $x = c$ et la pente de la droite passant par les points $(a, f (a))$ et $(b, f (b))$ .

Si $f (x)$ est continu sur $[a, b]$

et si $f (x)$ différentiable sur $(a, b)$ ,

alors il existe au moins un point, $c$ dans $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Étape 2

Vérifiez si $f (x) = \sin (2 x)$ est continu.

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Étape 2.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2.2

$f (x)$ est continu sur $[0, 2 π]$ .

La fonction est continue.

Étape 3

Déterminez la dérivée.

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Étape 3.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 3.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 3.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 3.1.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 3.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 3.1.2

Différenciez.

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Étape 3.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Étape 3.1.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1.2.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2$

Étape 3.1.2.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$f' (x) = 2 \cos (2 x)$

Étape 3.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 \cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$

Étape 4

Déterminez si la dérivée est continue sur $(0, 2 π)$ .

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Étape 4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4.2

$f' (x)$ est continu sur $(0, 2 π)$ .

La fonction est continue.

Étape 5

La fonction est différentiable sur $(0, 2 π)$ car la dérivée est continue sur $(0, 2 π)$ .

La fonction est différentiable.

Étape 6

$f (x)$ respecte les deux conditions du théorème de la moyenne. Il est continu sur $[0, 2 π]$ et différentiable sur $(0, 2 π)$ .

$f (x)$ est continu sur $[0, 2 π]$ et différentiable sur $(0, 2 π)$ .

Étape 7

Évaluez $f (a)$ à partir de l’intervalle $[0, 2 π]$ .

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \sin (2 (0))$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$f (0) = \sin (0)$

Étape 7.2.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f (0) = 0$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 8

Résolvez $2 \cos (2 x) = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ pour $x$ . $2 \cos (2 x) = \frac{- (f (2 π) + f (0))}{- (2 π + 0)}$ .

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Étape 8.1

Simplifiez

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Étape 8.1.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$2 \cos (2 x) = \frac{0 + 0}{2 π - (0)}$

Étape 8.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$2 \cos (2 x) = \frac{0 + 0}{2 π + 0}$

Étape 8.1.3

Réduisez l’expression $\frac{0 + 0}{2 π + 0}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 8.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$2 \cos (2 x) = \frac{2 (0) + 0}{2 π + 0}$

Étape 8.1.3.2

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$2 \cos (2 x) = \frac{2 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{2 π + 0}$

Étape 8.1.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 0 + 2 \cdot 0$ .

$2 \cos (2 x) = \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2 π + 0}$

Étape 8.1.3.4

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$2 \cos (2 x) = \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2 (π) + 0}$

Étape 8.1.3.5

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$2 \cos (2 x) = \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2 (π) + 2 (0)}$

Étape 8.1.3.6

Factorisez $2$ à partir de $2 (π) + 2 (0)$ .

$2 \cos (2 x) = \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2 (π + 0)}$

Étape 8.1.3.7

Annulez le facteur commun.

$2 \cos (2 x) = \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2 (π + 0)}$

Étape 8.1.3.8

Réécrivez l’expression.

$2 \cos (2 x) = \frac{0 + 0}{π + 0}$

Étape 8.1.4

Additionnez $0$ et $0$ .

$2 \cos (2 x) = \frac{0}{π + 0}$

Étape 8.1.5

Additionnez $π$ et $0$ .

$2 \cos (2 x) = \frac{0}{π}$

Étape 8.1.6

Divisez $0$ par $π$ .

$2 \cos (2 x) = 0$

Étape 8.2

Divisez chaque terme dans $2 \cos (2 x) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 8.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \cos (2 x) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 8.2.2.1.2

Divisez $\cos (2 x)$ par $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{0}{2}$

Étape 8.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$\cos (2 x) = 0$

Étape 8.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$2 x = \arccos (0)$

Étape 8.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.4.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Étape 8.5

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{2}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 8.5.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{2}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 8.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 8.5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 8.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.5.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 8.5.3.2

Multipliez $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 8.5.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Étape 8.5.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 8.6

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 8.7

Résolvez $x$ .

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Étape 8.7.1

Simplifiez

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Étape 8.7.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 8.7.1.2

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 8.7.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 8.7.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 8.7.1.5

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Étape 8.7.2

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{3 π}{2}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 8.7.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{3 π}{2}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Étape 8.7.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.7.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.7.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Étape 8.7.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Étape 8.7.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.7.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 8.7.2.3.2

Multipliez $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 8.7.2.3.2.1

Multipliez $\frac{3 π}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Étape 8.7.2.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 8.8

Déterminez la période de $\cos (2 x)$ .

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Étape 8.8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 8.8.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 8.8.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 8.8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.8.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 8.8.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 8.9

La période de la fonction $\cos (2 x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8.10

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Il y a une droite tangente sur $x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ parallèle à la droite qui passe par les points finaux $a = 0$ et $b = 2 π$ .

Il y a une droite tangente sur $x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ parallèle à la droite qui passe par les points finaux $a = 0$ et $b = 2 π$

Étape 10