Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 \sqrt{4 - x^{2}}$ , $[0, 2]$

Étape 1

Si $f$ est continu sur l’intervalle $[a, b]$ et différentiable sur $(a, b)$ , au moins un nombre réel $c$ existe sur l’intervalle $(a, b)$ de telle sorte que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Le théorème de la valeur moyenne exprime la relation entre la pente de la tangente à la courbe sur $x = c$ et la pente de la droite passant par les points $(a, f (a))$ et $(b, f (b))$ .

Si $f (x)$ est continu sur $[a, b]$

et si $f (x)$ différentiable sur $(a, b)$ ,

alors il existe au moins un point, $c$ dans $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Étape 2

Vérifiez si $f (x) = 4 \sqrt{4 - x^{2}}$ est continu.

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Étape 2.1

Pour déterminer si la fonction est continue sur $[0, 2]$ ou non, déterminez le domaine de $f (x) = 4 \sqrt{4 - x^{2}}$ .

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Étape 2.1.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{4 - x^{2}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$4 - x^{2} \geq 0$

Étape 2.1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x^{2} \geq - 4$

Étape 2.1.2.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} \geq - 4$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.1.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} \geq - 4$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Étape 2.1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Étape 2.1.2.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Étape 2.1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.2.2.3.1

Divisez $- 4$ par $- 1$ .

$x^{2} \leq 4$

Étape 2.1.2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{4}$

Étape 2.1.2.4

Simplifiez l’équation.

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Étape 2.1.2.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.2.4.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \leq \sqrt{4}$

Étape 2.1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.2.4.2.1

Simplifiez $\sqrt{4}$ .

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Étape 2.1.2.4.2.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{2^{2}}$

Étape 2.1.2.4.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \leq | 2 |$

Étape 2.1.2.4.2.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$| x | \leq 2$

Étape 2.1.2.5

Écrivez $| x | \leq 2$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 2.1.2.5.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 2.1.2.5.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x \leq 2$

Étape 2.1.2.5.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 2.1.2.5.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x \leq 2$

Étape 2.1.2.5.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x \leq 2 & x \geq 0 \\ - x \leq 2 & x < 0 \end{cases}$

Étape 2.1.2.6

Déterminez l’intersection de $x \leq 2$ et $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 2$

Étape 2.1.2.7

Résolvez $- x \leq 2$ quand $x < 0$ .

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Étape 2.1.2.7.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq 2$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.1.2.7.1.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq 2$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{2}{- 1}$

Étape 2.1.2.7.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.2.7.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \geq \frac{2}{- 1}$

Étape 2.1.2.7.1.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{2}{- 1}$

Étape 2.1.2.7.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.2.7.1.3.1

Divisez $2$ par $- 1$ .

$x \geq - 2$

Étape 2.1.2.7.2

Déterminez l’intersection de $x \geq - 2$ et $x < 0$ .

$- 2 \leq x < 0$

Étape 2.1.2.8

Déterminez l’union des solutions.

$- 2 \leq x \leq 2$

Étape 2.1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[- 2, 2]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - 2 \leq x \leq 2}$

Notation d’intervalle :

$[- 2, 2]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - 2 \leq x \leq 2}$

Étape 2.2

$f (x)$ est continu sur $[0, 2]$ .

La fonction est continue.

Étape 3

Déterminez la dérivée.

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Étape 3.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 3.1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 3.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{4 - x^{2}}$ comme ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.1.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 4 - x^{2}$ .

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Étape 3.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 - x^{2}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])$

Étape 3.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])$

Étape 3.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 - x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])$

Étape 3.1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])$

Étape 3.1.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])$

Étape 3.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])$

Étape 3.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$4 (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])$

Étape 3.1.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$4 (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])$

Étape 3.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])$

Étape 3.1.8

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{{(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])$

Étape 3.1.9

Placez ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])$

Étape 3.1.10

Associez $\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $4$ .

$\frac{4}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Étape 3.1.11

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Étape 3.1.12

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.12.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 ({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Étape 3.1.12.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Étape 3.1.12.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Étape 3.1.13

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 3.1.14

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 3.1.15

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 3.1.16

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.1.17

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

Étape 3.1.18

Associez les fractions.

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Étape 3.1.18.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

Étape 3.1.18.2

Associez $- 2$ et $\frac{2}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 2}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Étape 3.1.18.3

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{- 4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Étape 3.1.18.4

Associez $\frac{- 4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{- 4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.1.18.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4

Déterminez si la dérivée est continue sur $(0, 2)$ .

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Étape 4.1

Pour déterminer si la fonction est continue sur $(0, 2)$ ou non, déterminez le domaine de $f' (x) = - \frac{4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

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Étape 4.1.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 4.1.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$- \frac{4 x}{\sqrt{{(4 - x^{2})}^{1}}}$

Étape 4.1.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$- \frac{4 x}{\sqrt{4 - x^{2}}}$

Étape 4.1.2

Définissez le radicande dans $\sqrt{4 - x^{2}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$4 - x^{2} \geq 0$

Étape 4.1.3

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1.3.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x^{2} \geq - 4$

Étape 4.1.3.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} \geq - 4$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.1.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} \geq - 4$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Étape 4.1.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1.3.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Étape 4.1.3.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Étape 4.1.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1.3.2.3.1

Divisez $- 4$ par $- 1$ .

$x^{2} \leq 4$

Étape 4.1.3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{4}$

Étape 4.1.3.4

Simplifiez l’équation.

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Étape 4.1.3.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1.3.4.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \leq \sqrt{4}$

Étape 4.1.3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1.3.4.2.1

Simplifiez $\sqrt{4}$ .

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Étape 4.1.3.4.2.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{2^{2}}$

Étape 4.1.3.4.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \leq | 2 |$

Étape 4.1.3.4.2.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$| x | \leq 2$

Étape 4.1.3.5

Écrivez $| x | \leq 2$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 4.1.3.5.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 4.1.3.5.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x \leq 2$

Étape 4.1.3.5.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 4.1.3.5.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x \leq 2$

Étape 4.1.3.5.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x \leq 2 & x \geq 0 \\ - x \leq 2 & x < 0 \end{cases}$

Étape 4.1.3.6

Déterminez l’intersection de $x \leq 2$ et $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 2$

Étape 4.1.3.7

Résolvez $- x \leq 2$ quand $x < 0$ .

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Étape 4.1.3.7.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq 2$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.1.3.7.1.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq 2$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{2}{- 1}$

Étape 4.1.3.7.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1.3.7.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \geq \frac{2}{- 1}$

Étape 4.1.3.7.1.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{2}{- 1}$

Étape 4.1.3.7.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1.3.7.1.3.1

Divisez $2$ par $- 1$ .

$x \geq - 2$

Étape 4.1.3.7.2

Déterminez l’intersection de $x \geq - 2$ et $x < 0$ .

$- 2 \leq x < 0$

Étape 4.1.3.8

Déterminez l’union des solutions.

$- 2 \leq x \leq 2$

Étape 4.1.4

Définissez le dénominateur dans $\frac{4 x}{\sqrt{4 - x^{2}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt{4 - x^{2}} = 0$

Étape 4.1.5

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1.5.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{4 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Étape 4.1.5.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.1.5.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{4 - x^{2}}$ comme ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 4.1.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1.5.2.2.1

Simplifiez ${({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.1.5.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.1.5.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 4.1.5.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.5.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 4.1.5.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(4 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Étape 4.1.5.2.2.1.2

Simplifiez

$4 - x^{2} = 0^{2}$

Étape 4.1.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1.5.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$4 - x^{2} = 0$

Étape 4.1.5.3

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1.5.3.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} = - 4$

Étape 4.1.5.3.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 4$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.5.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 4$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 4.1.5.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1.5.3.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 4.1.5.3.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 4.1.5.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1.5.3.2.3.1

Divisez $- 4$ par $- 1$ .

$x^{2} = 4$

Étape 4.1.5.3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{4}$

Étape 4.1.5.3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

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Étape 4.1.5.3.4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 4.1.5.3.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 2$

Étape 4.1.5.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.1.5.3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2$

Étape 4.1.5.3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2$

Étape 4.1.5.3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2, - 2$

Étape 4.1.6

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- 2, 2)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - 2 < x < 2}$

Notation d’intervalle :

$(- 2, 2)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - 2 < x < 2}$

Étape 4.2

$f' (x)$ est continu sur $(0, 2)$ .

La fonction est continue.

Étape 5

La fonction est différentiable sur $(0, 2)$ car la dérivée est continue sur $(0, 2)$ .

La fonction est différentiable.

Étape 6

$f (x)$ respecte les deux conditions du théorème de la moyenne. Il est continu sur $[0, 2]$ et différentiable sur $(0, 2)$ .

$f (x)$ est continu sur $[0, 2]$ et différentiable sur $(0, 2)$ .

Étape 7

Évaluez $f (a)$ à partir de l’intervalle $[0, 2]$ .

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = 4 \sqrt{4 - {(0)}^{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 4 \sqrt{4 - 0}$

Étape 7.2.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = 4 \sqrt{4 + 0}$

Étape 7.2.3

Additionnez $4$ et $0$ .

$f (0) = 4 \sqrt{4}$

Étape 7.2.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (0) = 4 \sqrt{2^{2}}$

Étape 7.2.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (0) = 4 \cdot 2$

Étape 7.2.6

Multipliez $4$ par $2$ .

$f (0) = 8$

Étape 7.2.7

La réponse finale est $8$ .

$8$

Étape 8

Évaluez $f (b)$ à partir de l’intervalle $[0, 2]$ .

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = 4 \sqrt{4 - {(2)}^{2}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (2) = 4 \sqrt{4 - 1 \cdot 4}$

Étape 8.2.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (2) = 4 \sqrt{4 - 4}$

Étape 8.2.3

Soustrayez $4$ de $4$ .

$f (2) = 4 \sqrt{0}$

Étape 8.2.4

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$f (2) = 4 \sqrt{0^{2}}$

Étape 8.2.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (2) = 4 \cdot 0$

Étape 8.2.6

Multipliez $4$ par $0$ .

$f (2) = 0$

Étape 8.2.7

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 9

Résolvez $- \frac{4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ pour $x$ . $- \frac{4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- (f (2) + f (0))}{- (2 + 0)}$ .

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Étape 9.1

Simplifiez $\frac{(0) - (8)}{(2) - (0)}$ .

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Étape 9.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$- \frac{4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{0 - 8}{2 - (0)}$

Étape 9.1.1.2

Soustrayez $8$ de $0$ .

$- \frac{4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 8}{2 - (0)}$

Étape 9.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- \frac{4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 8}{2 + 0}$

Étape 9.1.2.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$- \frac{4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 8}{2}$

Étape 9.1.3

Divisez $- 8$ par $2$ .

$- \frac{4 x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = - 4$

Étape 9.2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x = \sqrt{2}$

Étape 10

Il y a une droite tangente sur $x = \sqrt{2}$ parallèle à la droite qui passe par les points finaux $a = 0$ et $b = 2$ .

Il y a une droite tangente sur $x = \sqrt{2}$ parallèle à la droite qui passe par les points finaux $a = 0$ et $b = 2$

Étape 11