Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 \sin (x)$ , $[0, 2 π]$

Étape 1

Si $f$ est continu sur l’intervalle $[a, b]$ et différentiable sur $(a, b)$ , au moins un nombre réel $c$ existe sur l’intervalle $(a, b)$ de telle sorte que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Le théorème de la valeur moyenne exprime la relation entre la pente de la tangente à la courbe sur $x = c$ et la pente de la droite passant par les points $(a, f (a))$ et $(b, f (b))$ .

Si $f (x)$ est continu sur $[a, b]$

et si $f (x)$ différentiable sur $(a, b)$ ,

alors il existe au moins un point, $c$ dans $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Étape 2

Vérifiez si $f (x) = 2 \sin (x)$ est continu.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2.2

$f (x)$ est continu sur $[0, 2 π]$ .

La fonction est continue.

Étape 3

Déterminez la dérivée.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f' (x) = 2 \cos (x)$

Étape 3.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 \cos (x)$ .

$2 \cos (x)$

Étape 4

Déterminez si la dérivée est continue sur $(0, 2 π)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4.2

$f' (x)$ est continu sur $(0, 2 π)$ .

La fonction est continue.

Étape 5

La fonction est différentiable sur $(0, 2 π)$ car la dérivée est continue sur $(0, 2 π)$ .

La fonction est différentiable.

Étape 6

$f (x)$ respecte les deux conditions du théorème de la moyenne. Il est continu sur $[0, 2 π]$ et différentiable sur $(0, 2 π)$ .

$f (x)$ est continu sur $[0, 2 π]$ et différentiable sur $(0, 2 π)$ .

Étape 7

Évaluez $f (a)$ à partir de l’intervalle $[0, 2 π]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = 2 \sin (0)$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0$

Étape 7.2.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$f (0) = 0$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 8

Résolvez $2 \cos (x) = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ pour $x$ . $2 \cos (x) = \frac{- (f (2 π) + f (0))}{- (2 π + 0)}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$2 \cos (x) = \frac{0 + 0}{2 π - (0)}$

Étape 8.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$2 \cos (x) = \frac{0 + 0}{2 π + 0}$

Étape 8.1.3

Réduisez l’expression $\frac{0 + 0}{2 π + 0}$ en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$2 \cos (x) = \frac{2 (0) + 0}{2 π + 0}$

Étape 8.1.3.2

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$2 \cos (x) = \frac{2 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{2 π + 0}$

Étape 8.1.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 0 + 2 \cdot 0$ .

$2 \cos (x) = \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2 π + 0}$

Étape 8.1.3.4

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$2 \cos (x) = \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2 (π) + 0}$

Étape 8.1.3.5

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$2 \cos (x) = \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2 (π) + 2 (0)}$

Étape 8.1.3.6

Factorisez $2$ à partir de $2 (π) + 2 (0)$ .

$2 \cos (x) = \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2 (π + 0)}$

Étape 8.1.3.7

Annulez le facteur commun.

$2 \cos (x) = \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2 (π + 0)}$

Étape 8.1.3.8

Réécrivez l’expression.

$2 \cos (x) = \frac{0 + 0}{π + 0}$

Étape 8.1.4

Additionnez $0$ et $0$ .

$2 \cos (x) = \frac{0}{π + 0}$

Étape 8.1.5

Additionnez $π$ et $0$ .

$2 \cos (x) = \frac{0}{π}$

Étape 8.1.6

Divisez $0$ par $π$ .

$2 \cos (x) = 0$

Étape 8.2

Divisez chaque terme dans $2 \cos (x) = 0$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \cos (x) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 8.2.2.1.2

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{0}{2}$

Étape 8.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$\cos (x) = 0$

Étape 8.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (0)$

Étape 8.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 8.5

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 8.6

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.6.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 8.6.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.6.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 8.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 8.6.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.6.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 8.6.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 8.7

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 8.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 8.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 8.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 8.8

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8.9

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Il y a une droite tangente sur $x = \frac{π}{2} + π n$ parallèle à la droite qui passe par les points finaux $a = 0$ et $b = 2 π$ .

Il y a une droite tangente sur $x = \frac{π}{2} + π n$ parallèle à la droite qui passe par les points finaux $a = 0$ et $b = 2 π$

Étape 10