Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 6 \sqrt{x}$ , $[4, 9]$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$6 \sqrt{x} = 0$

Étape 1.2

Résolvez $6 \sqrt{x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(6 \sqrt{x})}^{2} = 0^{2}$

Étape 1.2.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.2.1

Simplifiez ${(6 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $6 x^{\frac{1}{2}}$ .

$6^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 1.2.2.2.1.2

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$36 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 1.2.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.2.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$36 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 1.2.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$36 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 1.2.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$36 x^{1} = 0^{2}$

Étape 1.2.2.2.1.4

Simplifiez

$36 x = 0^{2}$

Étape 1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$36 x = 0$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $36 x = 0$ par $36$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $36 x = 0$ par $36$ .

$\frac{36 x}{36} = \frac{0}{36}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $36$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{36 x}{36} = \frac{0}{36}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{36}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Divisez $0$ par $36$ .

$x = 0$

Étape 1.3

Remplacez $x$ par $0$ .

$y = 0$

Étape 1.4

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(0, 0)$

Étape 2

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{4}^{9} 6 \sqrt{x} d x - \int_{4}^{9} 0 d x$

Étape 3

Intégrez pour déterminer l’aire entre $4$ et $9$ .

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Étape 3.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{4}^{9} 6 \sqrt{x} - (0) d x$

Étape 3.2

Soustrayez $0$ de $6 \sqrt{x}$ .

$\int_{4}^{9} 6 \sqrt{x} d x$

Étape 3.3

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$6 \int_{4}^{9} \sqrt{x} d x$

Étape 3.4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 \int_{4}^{9} x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{4}^{9})$

Étape 3.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.6.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$6 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{4}^{9})$

Étape 3.6.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.6.2.1

Évaluez $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ sur $9$ et sur $4$ .

$6 ((\frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 3.6.2.2

Simplifiez

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Étape 3.6.2.2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$6 (\frac{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 3.6.2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 3.6.2.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.6.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$6 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 3.6.2.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$6 (\frac{2 \cdot 3^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 3.6.2.2.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$6 (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 3.6.2.2.5

Multipliez $2$ par $27$ .

$6 (\frac{54}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 3.6.2.2.6

Annulez le facteur commun à $54$ et $3$ .

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Étape 3.6.2.2.6.1

Factorisez $3$ à partir de $54$ .

$6 (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 3.6.2.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.6.2.2.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$6 (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 3.6.2.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$6 (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 3.6.2.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$6 (\frac{18}{1} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 3.6.2.2.6.2.4

Divisez $18$ par $1$ .

$6 (18 - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 3.6.2.2.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$6 (18 - \frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 3.6.2.2.8

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 (18 - \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Étape 3.6.2.2.9

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.6.2.2.9.1

Annulez le facteur commun.

$6 (18 - \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Étape 3.6.2.2.9.2

Réécrivez l’expression.

$6 (18 - \frac{2 \cdot 2^{3}}{3})$

Étape 3.6.2.2.10

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$6 (18 - \frac{2 \cdot 8}{3})$

Étape 3.6.2.2.11

Multipliez $2$ par $8$ .

$6 (18 - \frac{16}{3})$

Étape 3.6.2.2.12

Pour écrire $18$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$6 (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3})$

Étape 3.6.2.2.13

Associez $18$ et $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3})$

Étape 3.6.2.2.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$6 \frac{18 \cdot 3 - 16}{3}$

Étape 3.6.2.2.15

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.2.2.15.1

Multipliez $18$ par $3$ .

$6 \frac{54 - 16}{3}$

Étape 3.6.2.2.15.2

Soustrayez $16$ de $54$ .

$6 (\frac{38}{3})$

Étape 3.6.2.2.16

Associez $6$ et $\frac{38}{3}$ .

$\frac{6 \cdot 38}{3}$

Étape 3.6.2.2.17

Multipliez $6$ par $38$ .

$\frac{228}{3}$

Étape 3.6.2.2.18

Annulez le facteur commun à $228$ et $3$ .

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Étape 3.6.2.2.18.1

Factorisez $3$ à partir de $228$ .

$\frac{3 \cdot 76}{3}$

Étape 3.6.2.2.18.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.6.2.2.18.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot 76}{3 (1)}$

Étape 3.6.2.2.18.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 76}{3 \cdot 1}$

Étape 3.6.2.2.18.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{76}{1}$

Étape 3.6.2.2.18.2.4

Divisez $76$ par $1$ .

$76$

Étape 4