Calcul infinitésimal Exemples

$48 (x^{2} + y^{2}) = 625 x y^{2}$ ; $(3, 4)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (48 (x^{2} + y^{2})) = \frac{d}{d x} (625 x y^{2})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Comme $48$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $48 (x^{2} + y^{2})$ par rapport à $x$ est $48 \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$ .

$48 \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$48 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$48 (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$48 (2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$48 (2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$48 (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$48 (2 x + 2 y y')$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$48 (2 x) + 48 (2 y y')$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Multipliez $2$ par $48$ .

$96 x + 48 (2 y y')$

Étape 2.4.2.2

Multipliez $2$ par $48$ .

$96 x + 96 y y'$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$96 y y' + 96 x$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $625$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $625 x y^{2}$ par rapport à $x$ est $625 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$625 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y^{2}$ .

$625 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$625 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$625 (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$625 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$625 (2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.5

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$625 (2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$625 (2 x y y' + y^{2} \cdot 1)$

Étape 3.7

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$625 (2 x y y' + y^{2})$

Étape 3.8

Simplifiez

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Étape 3.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$625 (2 x y y') + 625 y^{2}$

Étape 3.8.2

Multipliez $2$ par $625$ .

$1250 x y y' + 625 y^{2}$

Étape 3.8.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$625 y^{2} + 1250 x y y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$96 y y' + 96 x = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $1250 x y y'$ des deux côtés de l’équation.

$96 y y' + 96 x - 1250 x y y' = 625 y^{2}$

Étape 5.2

Soustrayez $96 x$ des deux côtés de l’équation.

$96 y y' - 1250 x y y' = 625 y^{2} - 96 x$

Étape 5.3

Factorisez $2 y y'$ à partir de $96 y y' - 1250 x y y'$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $2 y y'$ à partir de $96 y y'$ .

$2 y y' \cdot 48 - 1250 x y y' = 625 y^{2} - 96 x$

Étape 5.3.2

Factorisez $2 y y'$ à partir de $- 1250 x y y'$ .

$2 y y' \cdot 48 + 2 y y' (- 625 x) = 625 y^{2} - 96 x$

Étape 5.3.3

Factorisez $2 y y'$ à partir de $2 y y' \cdot 48 + 2 y y' (- 625 x)$ .

$2 y y' (48 - 625 x) = 625 y^{2} - 96 x$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $2 y y' (48 - 625 x) = 625 y^{2} - 96 x$ par $2 y (48 - 625 x)$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $2 y y' (48 - 625 x) = 625 y^{2} - 96 x$ par $2 y (48 - 625 x)$ .

$\frac{2 y y' (48 - 625 x)}{2 y (48 - 625 x)} = \frac{625 y^{2}}{2 y (48 - 625 x)} + \frac{- 96 x}{2 y (48 - 625 x)}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y y' (48 - 625 x)}{2 y (48 - 625 x)} = \frac{625 y^{2}}{2 y (48 - 625 x)} + \frac{- 96 x}{2 y (48 - 625 x)}$

Étape 5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y' (48 - 625 x)}{y (48 - 625 x)} = \frac{625 y^{2}}{2 y (48 - 625 x)} + \frac{- 96 x}{2 y (48 - 625 x)}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y' (48 - 625 x)}{y (48 - 625 x)} = \frac{625 y^{2}}{2 y (48 - 625 x)} + \frac{- 96 x}{2 y (48 - 625 x)}$

Étape 5.4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (48 - 625 x)}{48 - 625 x} = \frac{625 y^{2}}{2 y (48 - 625 x)} + \frac{- 96 x}{2 y (48 - 625 x)}$

Étape 5.4.2.3

Annulez le facteur commun de $48 - 625 x$ .

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Étape 5.4.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (48 - 625 x)}{48 - 625 x} = \frac{625 y^{2}}{2 y (48 - 625 x)} + \frac{- 96 x}{2 y (48 - 625 x)}$

Étape 5.4.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{625 y^{2}}{2 y (48 - 625 x)} + \frac{- 96 x}{2 y (48 - 625 x)}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.3.1.1

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

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Étape 5.4.3.1.1.1

Factorisez $y$ à partir de $625 y^{2}$ .

$y' = \frac{y (625 y)}{2 y (48 - 625 x)} + \frac{- 96 x}{2 y (48 - 625 x)}$

Étape 5.4.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.3.1.1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $2 y (48 - 625 x)$ .

$y' = \frac{y (625 y)}{y (2 (48 - 625 x))} + \frac{- 96 x}{2 y (48 - 625 x)}$

Étape 5.4.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{y (625 y)}{y (2 (48 - 625 x))} + \frac{- 96 x}{2 y (48 - 625 x)}$

Étape 5.4.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{625 y}{2 (48 - 625 x)} + \frac{- 96 x}{2 y (48 - 625 x)}$

Étape 5.4.3.1.2

Annulez le facteur commun à $- 96$ et $2$ .

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Étape 5.4.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 96 x$ .

$y' = \frac{625 y}{2 (48 - 625 x)} + \frac{2 (- 48 x)}{2 y (48 - 625 x)}$

Étape 5.4.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.3.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y (48 - 625 x)$ .

$y' = \frac{625 y}{2 (48 - 625 x)} + \frac{2 (- 48 x)}{2 (y (48 - 625 x))}$

Étape 5.4.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{625 y}{2 (48 - 625 x)} + \frac{2 (- 48 x)}{2 (y (48 - 625 x))}$

Étape 5.4.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{625 y}{2 (48 - 625 x)} + \frac{- 48 x}{y (48 - 625 x)}$

Étape 5.4.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{625 y}{2 (48 - 625 x)} - \frac{48 x}{y (48 - 625 x)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{625 y}{2 (48 - 625 x)} - \frac{48 x}{y (48 - 625 x)}$

Étape 7

Remplacez $x$ par $3$ et $y$ par $4$ dans l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{625 (4)}{2 (48 - 625 \cdot 3)} - \frac{48 (3)}{(4) (48 - 625 \cdot 3)}$

Étape 8

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.1

Multipliez $625$ par $4$ .

$\frac{2500}{2 (48 - 625 \cdot 3)} - \frac{48 (3)}{(4) (48 - 625 \cdot 3)}$

Étape 8.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun à $2500$ et $2$ .

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Étape 8.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2500$ .

$\frac{2 \cdot 1250}{2 (48 - 625 \cdot 3)} - \frac{48 (3)}{(4) (48 - 625 \cdot 3)}$

Étape 8.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1250}{2 (48 - 625 \cdot 3)} - \frac{48 (3)}{(4) (48 - 625 \cdot 3)}$

Étape 8.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1250}{48 - 625 \cdot 3} - \frac{48 (3)}{(4) (48 - 625 \cdot 3)}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.2.1

Multipliez $- 625$ par $3$ .

$\frac{1250}{48 - 1875} - \frac{48 (3)}{(4) (48 - 625 \cdot 3)}$

Étape 8.2.2.2

Soustrayez $1875$ de $48$ .

$\frac{1250}{- 1827} - \frac{48 (3)}{(4) (48 - 625 \cdot 3)}$

Étape 8.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1250}{1827} - \frac{48 (3)}{(4) (48 - 625 \cdot 3)}$

Étape 8.2.4

Annulez le facteur commun à $48$ et $4$ .

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Étape 8.2.4.1

Factorisez $4$ à partir de $48 (3)$ .

$- \frac{1250}{1827} - \frac{4 (12 \cdot 3)}{(4) (48 - 625 \cdot 3)}$

Étape 8.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1250}{1827} - \frac{4 (12 \cdot 3)}{4 (48 - 625 \cdot 3)}$

Étape 8.2.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1250}{1827} - \frac{12 \cdot 3}{48 - 625 \cdot 3}$

Étape 8.2.5

Annulez le facteur commun à $12$ et $48 - 625 \cdot 3$ .

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Étape 8.2.5.1

Réécrivez $48$ comme $- 1 (- 48)$ .

$- \frac{1250}{1827} - \frac{12 \cdot 3}{- 1 (- 48) - 625 \cdot 3}$

Étape 8.2.5.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 625 \cdot 3$ .

$- \frac{1250}{1827} - \frac{12 \cdot 3}{- 1 (- 48) - (625 \cdot 3)}$

Étape 8.2.5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 48) - (625 \cdot 3)$ .

$- \frac{1250}{1827} - \frac{12 \cdot 3}{- 1 (- 48 + 625 \cdot 3)}$

Étape 8.2.5.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1250}{1827} - \frac{12 \cdot 3}{- 1 (3 \cdot 625 - 48)}$

Étape 8.2.5.5

Factorisez $3$ à partir de $12 \cdot 3$ .

$- \frac{1250}{1827} - \frac{3 (4 \cdot 3)}{- 1 (3 \cdot 625 - 48)}$

Étape 8.2.5.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.5.6.1

Factorisez $3$ à partir de $- 1 (3 \cdot 625 - 48)$ .

$- \frac{1250}{1827} - \frac{3 (4 \cdot 3)}{3 (- 1 (625 - 16))}$

Étape 8.2.5.6.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1250}{1827} - \frac{3 (4 \cdot 3)}{3 (- 1 (625 - 16))}$

Étape 8.2.5.6.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1250}{1827} - \frac{4 \cdot 3}{- 1 (625 - 16)}$

Étape 8.2.6

Multipliez $4$ par $3$ .

$- \frac{1250}{1827} - \frac{12}{- 1 (625 - 16)}$

Étape 8.2.7

Soustrayez $16$ de $625$ .

$- \frac{1250}{1827} - \frac{12}{- 1 \cdot 609}$

Étape 8.2.8

Multipliez $- 1$ par $609$ .

$- \frac{1250}{1827} - \frac{12}{- 609}$

Étape 8.2.9

Annulez le facteur commun à $12$ et $- 609$ .

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Étape 8.2.9.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$- \frac{1250}{1827} - \frac{3 (4)}{- 609}$

Étape 8.2.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.9.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 609$ .

$- \frac{1250}{1827} - \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot - 203}$

Étape 8.2.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1250}{1827} - \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot - 203}$

Étape 8.2.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1250}{1827} - \frac{4}{- 203}$

Étape 8.2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1250}{1827} - - \frac{4}{203}$

Étape 8.2.11

Multipliez $- - \frac{4}{203}$ .

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Étape 8.2.11.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{1250}{1827} + 1 (\frac{4}{203})$

Étape 8.2.11.2

Multipliez $\frac{4}{203}$ par $1$ .

$- \frac{1250}{1827} + \frac{4}{203}$

Étape 8.3

Pour écrire $\frac{4}{203}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{1250}{1827} + \frac{4}{203} \cdot \frac{9}{9}$

Étape 8.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $1827$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.4.1

Multipliez $\frac{4}{203}$ par $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{1250}{1827} + \frac{4 \cdot 9}{203 \cdot 9}$

Étape 8.4.2

Multipliez $203$ par $9$ .

$- \frac{1250}{1827} + \frac{4 \cdot 9}{1827}$

Étape 8.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 1250 + 4 \cdot 9}{1827}$

Étape 8.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.6.1

Multipliez $4$ par $9$ .

$\frac{- 1250 + 36}{1827}$

Étape 8.6.2

Additionnez $- 1250$ et $36$ .

$\frac{- 1214}{1827}$

Étape 8.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1214}{1827}$