Calcul infinitésimal Exemples

$y^{2} + 4 y + 7 x = 0$ ; $(- 3, 3)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (y^{2} + 4 y + 7 x) = \frac{d}{d y} (0)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} + 4 y + 7 x$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [7 x]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [7 x]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [7 x]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d y} [4 y]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $4 y$ par rapport à $y$ est $4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 y + 4 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [7 x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 y + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [7 x]$

Étape 2.2.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$2 y + 4 + \frac{d}{d y} [7 x]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [7 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $7$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $y$ est $7 \frac{d}{d y} [x]$ .

$2 y + 4 + 7 \frac{d}{d y} [x]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$2 y + 4 + 7 x'$

Étape 2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 y + 7 x' + 4$

Étape 3

Comme $0$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $0$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 y + 7 x' + 4 = 0$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $2 y$ des deux côtés de l’équation.

$7 x' + 4 = - 2 y$

Étape 5.1.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$7 x' = - 2 y - 4$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $7 x' = - 2 y - 4$ par $7$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $7 x' = - 2 y - 4$ par $7$ .

$\frac{7 x'}{7} = \frac{- 2 y}{7} + \frac{- 4}{7}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 x'}{7} = \frac{- 2 y}{7} + \frac{- 4}{7}$

Étape 5.2.2.1.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{- 2 y}{7} + \frac{- 4}{7}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = - \frac{2 y}{7} + \frac{- 4}{7}$

Étape 5.2.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = - \frac{2 y}{7} - \frac{4}{7}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{2 y}{7} - \frac{4}{7}$

Étape 7

Remplacez $x$ par $- 3$ et $y$ par $3$ dans l’expression.

$\frac{d x}{d y} = - \frac{2 (3)}{7} - \frac{4}{7}$

Étape 8

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 2 \cdot 3 - 4}{7}$

Étape 8.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.2.1

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{- 6 - 4}{7}$

Étape 8.2.2

Soustrayez $4$ de $- 6$ .

$\frac{- 10}{7}$

Étape 8.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{10}{7}$