Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} y + x y^{2} = 0$ , $(- 1, 1)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (x^{2} y + x y^{2}) = \frac{d}{d y} (0)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} y + x y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d y} [x^{2} y]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = x^{2}$ et $g (y) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{2}$ et $g (y) = x$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 u \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$

Étape 2.2.4

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 x x') + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$

Étape 2.2.5

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + y (2 x x') + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$

Étape 2.2.6

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$x^{2} + 2 y x x' + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = x$ et $g (y) = y^{2}$ .

$x^{2} + 2 y x x' + x \frac{d}{d y} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d y} [x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} + 2 y x x' + x (2 y) + y^{2} \frac{d}{d y} [x]$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$x^{2} + 2 y x x' + x (2 y) + y^{2} x'$

Étape 2.3.4

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$x^{2} + 2 y x x' + 2 x y + y^{2} x'$

Étape 2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$x^{2} + 2 x y x' + 2 x y + y^{2} x'$

Étape 3

Comme $0$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $0$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$x^{2} + 2 x y x' + 2 x y + y^{2} x' = 0$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x y x' + 2 x y + y^{2} x' = - x^{2}$

Étape 5.1.2

Soustrayez $2 x y$ des deux côtés de l’équation.

$2 x y x' + y^{2} x' = - x^{2} - 2 x y$

Étape 5.2

Factorisez $y x'$ à partir de $2 x y x' + y^{2} x'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $y x'$ à partir de $2 x y x'$ .

$y x' (2 x) + y^{2} x' = - x^{2} - 2 x y$

Étape 5.2.2

Factorisez $y x'$ à partir de $y^{2} x'$ .

$y x' (2 x) + y x' y = - x^{2} - 2 x y$

Étape 5.2.3

Factorisez $y x'$ à partir de $y x' (2 x) + y x' y$ .

$y x' (2 x + y) = - x^{2} - 2 x y$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $y x' (2 x + y) = - x^{2} - 2 x y$ par $y (2 x + y)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $y x' (2 x + y) = - x^{2} - 2 x y$ par $y (2 x + y)$ .

$\frac{y x' (2 x + y)}{y (2 x + y)} = \frac{- x^{2}}{y (2 x + y)} + \frac{- 2 x y}{y (2 x + y)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y x' (2 x + y)}{y (2 x + y)} = \frac{- x^{2}}{y (2 x + y)} + \frac{- 2 x y}{y (2 x + y)}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x' (2 x + y)}{2 x + y} = \frac{- x^{2}}{y (2 x + y)} + \frac{- 2 x y}{y (2 x + y)}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2 x + y$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' (2 x + y)}{2 x + y} = \frac{- x^{2}}{y (2 x + y)} + \frac{- 2 x y}{y (2 x + y)}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{- x^{2}}{y (2 x + y)} + \frac{- 2 x y}{y (2 x + y)}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = - \frac{x^{2}}{y (2 x + y)} + \frac{- 2 x y}{y (2 x + y)}$

Étape 5.3.3.1.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x' = - \frac{x^{2}}{y (2 x + y)} + \frac{- 2 x y}{y (2 x + y)}$

Étape 5.3.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x' = - \frac{x^{2}}{y (2 x + y)} + \frac{- 2 x}{2 x + y}$

Étape 5.3.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = - \frac{x^{2}}{y (2 x + y)} - \frac{2 x}{2 x + y}$

Étape 5.3.3.2

Pour écrire $- \frac{2 x}{2 x + y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$x' = - \frac{x^{2}}{y (2 x + y)} - \frac{2 x}{2 x + y} \cdot \frac{y}{y}$

Étape 5.3.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $y (2 x + y)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Multipliez $\frac{2 x}{2 x + y}$ par $\frac{y}{y}$ .

$x' = - \frac{x^{2}}{y (2 x + y)} - \frac{2 x y}{(2 x + y) y}$

Étape 5.3.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(2 x + y) y$ .

$x' = - \frac{x^{2}}{y (2 x + y)} - \frac{2 x y}{y (2 x + y)}$

Étape 5.3.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x' = \frac{- x^{2} - 2 x y}{y (2 x + y)}$

Étape 5.3.3.5

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2} - 2 x y$ .

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Étape 5.3.3.5.1

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2}$ .

$x' = \frac{x (- x) - 2 x y}{y (2 x + y)}$

Étape 5.3.3.5.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x y$ .

$x' = \frac{x (- x) + x (- 2 y)}{y (2 x + y)}$

Étape 5.3.3.5.3

Factorisez $x$ à partir de $x (- x) + x (- 2 y)$ .

$x' = \frac{x (- x - 2 y)}{y (2 x + y)}$

Étape 5.3.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$x' = \frac{x (- (x) - 2 y)}{y (2 x + y)}$

Étape 5.3.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 y$ .

$x' = \frac{x (- (x) - (2 y))}{y (2 x + y)}$

Étape 5.3.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - (2 y)$ .

$x' = \frac{x (- (x + 2 y))}{y (2 x + y)}$

Étape 5.3.3.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.3.9.1

Réécrivez $- (x + 2 y)$ comme $- 1 (x + 2 y)$ .

$x' = \frac{x (- 1 (x + 2 y))}{y (2 x + y)}$

Étape 5.3.3.9.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = - \frac{x (x + 2 y)}{y (2 x + y)}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x (x + 2 y)}{y (2 x + y)}$

Étape 7

Remplacez $x$ par $- 1$ et $y$ par $1$ dans l’expression.

$\frac{d x}{d y} = - \frac{(- 1) ((- 1) + 2 (1))}{1 (2 (- 1) + 1)}$

Étape 8

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.1

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 8.1.1

Supprimez les parenthèses.

$- \frac{(- 1) ((- 1) + 2 (1))}{1 (2 (- 1) + 1)}$

Étape 8.1.2

Annulez le facteur commun à $- 1$ et $1$ .

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Étape 8.1.2.1

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$- \frac{- 1 (1) ((- 1) + 2 (1))}{1 (2 (- 1) + 1)}$

Étape 8.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{- 1 \cdot 1 (- 1 + 2 (1))}{1 (2 (- 1) + 1)}$

Étape 8.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{- 1 (- 1 + 2 (1))}{2 (- 1) + 1}$

Étape 8.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$- \frac{- 1 (- 1 + 2)}{2 (- 1) + 1}$

Étape 8.2.2

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$- \frac{- 1 \cdot 1}{2 (- 1) + 1}$

Étape 8.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.3.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{- 1 \cdot 1}{- 2 + 1}$

Étape 8.3.2

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$- \frac{- 1 \cdot 1}{- 1}$

Étape 8.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{- 1}{- 1}$

Étape 8.5

Annulez le facteur commun.

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Étape 8.5.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$- \frac{1}{1}$

Étape 8.5.2

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 8.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{1}$

Étape 8.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$- 1 \cdot 1$

Étape 8.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$