Calcul infinitésimal Exemples

$y = (x^{2} - 143) e^{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2} - 143$ et $g (x) = e^{x}$ .

$(x^{2} - 143) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 143]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$(x^{2} - 143) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 143]$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 143$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 143]$ .

$(x^{2} - 143) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 143])$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(x^{2} - 143) e^{x} + e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [- 143])$

Étape 1.1.3.3

Comme $- 143$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 143$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x^{2} - 143) e^{x} + e^{x} (2 x + 0)$

Étape 1.1.3.4

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$(x^{2} - 143) e^{x} + e^{x} (2 x)$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} e^{x} - 143 e^{x} + e^{x} (2 x)$

Étape 1.1.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x - 143 e^{x}$

Étape 1.1.4.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x - 143 e^{x}$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 143 e^{x}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 143 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 143 e^{x}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 143 e^{x} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 143 e^{x} = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 143 e^{x}$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $x^{2} e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + 2 x e^{x} - 143 e^{x} = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $2 x e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + e^{x} (2 x) - 143 e^{x} = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- 143 e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 143 = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} x^{2} + e^{x} (2 x)$ .

$e^{x} (x^{2} + 2 x) + e^{x} \cdot - 143 = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} (x^{2} + 2 x) + e^{x} \cdot - 143$ .

$e^{x} (x^{2} + 2 x - 143) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $x^{2} + 2 x - 143$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 143$ et dont la somme est $2$ .

$- 11, 13$

Étape 2.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$e^{x} ((x - 11) (x + 13)) = 0$

Étape 2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$e^{x} (x - 11) (x + 13) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 11 = 0$

$x + 13 = 0$

Étape 2.4

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ .

$e^{x} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $e^{x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Étape 2.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 2.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = 0$

Aucune solution

Étape 2.5

Définissez $x - 11$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 11$ égal à $0$ .

$x - 11 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $11$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 11$

Étape 2.6

Définissez $x + 13$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.6.1

Définissez $x + 13$ égal à $0$ .

$x + 13 = 0$

Étape 2.6.2

Soustrayez $13$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 13$

Étape 2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{x} (x - 11) (x + 13) = 0$ vraie.

$x = 11, - 13$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $(x^{2} - 143) e^{x}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 11$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $11$ .

$({(11)}^{2} - 143) \cdot e^{11}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Élevez $11$ à la puissance $2$ .

$(121 - 143) \cdot e^{11}$

Étape 4.1.2.2

Soustrayez $143$ de $121$ .

$- 22 e^{11}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - 13$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- 13$ .

$({(- 13)}^{2} - 143) \cdot e^{- 13}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Élevez $- 13$ à la puissance $2$ .

$(169 - 143) \cdot e^{- 13}$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $143$ de $169$ .

$26 \cdot e^{- 13}$

Étape 4.2.2.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$26 \cdot \frac{1}{e^{13}}$

Étape 4.2.2.4

Associez $26$ et $\frac{1}{e^{13}}$ .

$\frac{26}{e^{13}}$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(11, - 22 e^{11}), (- 13, \frac{26}{e^{13}})$

Étape 5