Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin^{2} (\cos (π - x))}{{(\frac{π}{2} - x)}^{2}}$

Étape 1

Associez des termes.

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Étape 1.1

Pour écrire $- x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin^{2} (\cos (π - x))}{{(\frac{π}{2} - x \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Étape 1.2

Associez $- x$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin^{2} (\cos (π - x))}{{(\frac{π}{2} + \frac{- x \cdot 2}{2})}^{2}}$

Étape 1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin^{2} (\cos (π - x))}{{(\frac{π - x \cdot 2}{2})}^{2}}$

Étape 2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin^{2} (\cos (π - x))}{{(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (\cos (π - x))}{lim_{x \to \frac{π}{2}} {(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}}$

Étape 3.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 3.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 3.1.2.1.1

Déplacez l’exposant $2$ de $\sin^{2} (\cos (π - x))$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (\cos (π - x)))}^{2}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} {(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}}$

Étape 3.1.2.1.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (π - x))}{lim_{x \to \frac{π}{2}} {(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}}$

Étape 3.1.2.1.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{\sin^{2} (\cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} π - x))}{lim_{x \to \frac{π}{2}} {(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}}$

Étape 3.1.2.1.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{\sin^{2} (\cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x))}{lim_{x \to \frac{π}{2}} {(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}}$

Étape 3.1.2.1.5

Évaluez la limite de $π$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{\sin^{2} (\cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x))}{lim_{x \to \frac{π}{2}} {(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}}$

Étape 3.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{\sin^{2} (\cos (π - \frac{π}{2}))}{lim_{x \to \frac{π}{2}} {(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}}$

Étape 3.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.2.3.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sin^{2} (\cos (π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}))}{lim_{x \to \frac{π}{2}} {(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}}$

Étape 3.1.2.3.2

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sin^{2} (\cos (\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}))}{lim_{x \to \frac{π}{2}} {(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}}$

Étape 3.1.2.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sin^{2} (\cos (\frac{π \cdot 2 - π}{2}))}{lim_{x \to \frac{π}{2}} {(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}}$

Étape 3.1.2.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.2.3.4.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$\frac{\sin^{2} (\cos (\frac{2 \cdot π - π}{2}))}{lim_{x \to \frac{π}{2}} {(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}}$

Étape 3.1.2.3.4.2

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$\frac{\sin^{2} (\cos (\frac{π}{2}))}{lim_{x \to \frac{π}{2}} {(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}}$

Étape 3.1.2.3.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{\sin^{2} (0)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} {(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}}$

Étape 3.1.2.3.6

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} {(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}}$

Étape 3.1.2.3.7

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} {(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}}$

Étape 3.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 3.1.3.1.1

Déplacez l’exposant $2$ de ${(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{π - 2 x}{2})}^{2}}$

Étape 3.1.3.1.2

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{{(\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} π - 2 x)}^{2}}$

Étape 3.1.3.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0}{{(\frac{1}{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} π - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x))}^{2}}$

Étape 3.1.3.1.4

Évaluez la limite de $π$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0}{{(\frac{1}{2} (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x))}^{2}}$

Étape 3.1.3.1.5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{{(\frac{1}{2} (π - 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x))}^{2}}$

Étape 3.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{0}{{(\frac{1}{2} (π - 2 \frac{π}{2}))}^{2}}$

Étape 3.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.3.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.3.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{0}{{(\frac{1}{2} (π + 2 (- 1) \frac{π}{2}))}^{2}}$

Étape 3.1.3.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{0}{{(\frac{1}{2} (π + 2 \cdot - 1 \frac{π}{2}))}^{2}}$

Étape 3.1.3.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{0}{{(\frac{1}{2} (π - π))}^{2}}$

Étape 3.1.3.3.2

Soustrayez $π$ de $π$ .

$\frac{0}{{(\frac{1}{2} \cdot 0)}^{2}}$

Étape 3.1.3.3.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $0$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Étape 3.1.3.3.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 3.1.3.3.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 3.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 3.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 3.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin^{2} (\cos (π - x))}{{(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (\cos (π - x))]}{\frac{d}{d x} [{(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (\cos (π - x))]}{\frac{d}{d x} [{(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}]}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (\cos (π - x))$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sin (\cos (π - x))$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (\cos (π - x))]}{\frac{d}{d x} [{(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}]}$

Étape 3.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (\cos (π - x))]}{\frac{d}{d x} [{(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}]}$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sin (\cos (π - x))$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin (\cos (π - x)) \frac{d}{d x} [\sin (\cos (π - x))]}{\frac{d}{d x} [{(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}]}$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \cos (π - x)$ .

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Étape 3.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\cos (π - x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin (\cos (π - x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (π - x)])}{\frac{d}{d x} [{(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}]}$

Étape 3.3.3.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin (\cos (π - x)) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [\cos (π - x)])}{\frac{d}{d x} [{(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}]}$

Étape 3.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\cos (π - x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin (\cos (π - x)) (\cos (\cos (π - x)) \frac{d}{d x} [\cos (π - x)])}{\frac{d}{d x} [{(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}]}$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = π - x$ .

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Étape 3.3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $π - x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin (\cos (π - x)) \cos (\cos (π - x)) (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [π - x])}{\frac{d}{d x} [{(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}]}$

Étape 3.3.4.2

La dérivée de $\cos (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $- \sin (u_{3})$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin (\cos (π - x)) \cos (\cos (π - x)) (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [π - x])}{\frac{d}{d x} [{(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}]}$

Étape 3.3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $π - x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin (\cos (π - x)) \cos (\cos (π - x)) (- \sin (π - x) \frac{d}{d x} [π - x])}{\frac{d}{d x} [{(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}]}$

Étape 3.3.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \sin (\cos (π - x)) \cos (\cos (π - x)) (\sin (π - x) \frac{d}{d x} [π - x])}{\frac{d}{d x} [{(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}]}$

Étape 3.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $π - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \sin (\cos (π - x)) \cos (\cos (π - x)) \sin (π - x) (\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [{(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}]}$

Étape 3.3.7

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \sin (\cos (π - x)) \cos (\cos (π - x)) \sin (π - x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [{(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}]}$

Étape 3.3.8

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \sin (\cos (π - x)) \cos (\cos (π - x)) \sin (π - x) \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [{(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}]}$

Étape 3.3.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \sin (\cos (π - x)) \cos (\cos (π - x)) \sin (π - x) (- \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [{(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}]}$

Étape 3.3.10

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin (\cos (π - x)) \cos (\cos (π - x)) \sin (π - x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [{(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}]}$

Étape 3.3.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin (\cos (π - x)) \cos (\cos (π - x)) \sin (π - x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [{(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}]}$

Étape 3.3.12

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin (\cos (π - x)) \cos (\cos (π - x)) \sin (π - x)}{\frac{d}{d x} [{(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}]}$

Étape 3.3.13

Simplifiez

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Étape 3.3.13.1

Réorganisez les facteurs de $2 \sin (\cos (π - x)) \cos (\cos (π - x)) \sin (π - x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos (\cos (π - x)) \sin (\cos (π - x)) \sin (π - x)}{\frac{d}{d x} [{(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}]}$

Étape 3.3.13.2

Remettez dans l’ordre $2 \cos (\cos (π - x))$ et $\sin (\cos (π - x))$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (\cos (π - x)) (2 \cos (\cos (π - x))) \sin (π - x)}{\frac{d}{d x} [{(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}]}$

Étape 3.3.13.3

Remettez dans l’ordre $\sin (\cos (π - x))$ et $2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cdot \sin (\cos (π - x)) \cos (\cos (π - x)) \sin (π - x)}{\frac{d}{d x} [{(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}]}$

Étape 3.3.13.4

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{\frac{d}{d x} [{(\frac{π - 2 x}{2})}^{2}]}$

Étape 3.3.14

Appliquez la règle de produit à $\frac{π - 2 x}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{\frac{d}{d x} [\frac{{(π - 2 x)}^{2}}{2^{2}}]}$

Étape 3.3.15

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{\frac{d}{d x} [\frac{{(π - 2 x)}^{2}}{4}]}$

Étape 3.3.16

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{{(π - 2 x)}^{2}}{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(π - 2 x)}^{2}]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(π - 2 x)}^{2}]}$

Étape 3.3.17

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = π - 2 x$ .

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Étape 3.3.17.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $π - 2 x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{\frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [π - 2 x])}$

Étape 3.3.17.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{\frac{1}{4} (2 u \frac{d}{d x} [π - 2 x])}$

Étape 3.3.17.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $π - 2 x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{\frac{1}{4} (2 (π - 2 x) \frac{d}{d x} [π - 2 x])}$

Étape 3.3.18

Associez $2$ et $\frac{1}{4}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{\frac{2}{4} ((π - 2 x) \frac{d}{d x} [π - 2 x])}$

Étape 3.3.19

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 3.3.19.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{\frac{2 (1)}{4} ((π - 2 x) \frac{d}{d x} [π - 2 x])}$

Étape 3.3.19.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.19.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} ((π - 2 x) \frac{d}{d x} [π - 2 x])}$

Étape 3.3.19.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} ((π - 2 x) \frac{d}{d x} [π - 2 x])}$

Étape 3.3.19.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{\frac{1}{2} ((π - 2 x) \frac{d}{d x} [π - 2 x])}$

Étape 3.3.20

Selon la règle de la somme, la dérivée de $π - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{\frac{1}{2} (π - 2 x) (\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- 2 x])}$

Étape 3.3.21

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{\frac{1}{2} (π - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])}$

Étape 3.3.22

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{\frac{1}{2} (π - 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Étape 3.3.23

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{\frac{1}{2} (π - 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x])}$

Étape 3.3.24

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{\frac{- 2}{2} (π - 2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.25

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 3.3.25.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{\frac{2 \cdot - 1}{2} (π - 2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.25.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.25.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} (π - 2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.25.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} (π - 2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.25.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{\frac{- 1}{1} (π - 2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.25.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{- (π - 2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.26

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{- (π - 2 x) \cdot 1}$

Étape 3.3.27

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{- (π - 2 x)}$

Étape 3.3.28

Simplifiez

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Étape 3.3.28.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{- π - (- 2 x)}$

Étape 3.3.28.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{- π + 2 x}$

Étape 3.3.28.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{2 x - π}$

Étape 4

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 4.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 4.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Étape 4.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 4.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (2 \cos (π - x)) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (π - x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Étape 4.1.2.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cos (π - x)) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (π - x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Étape 4.1.2.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (π - x)) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (π - x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Étape 4.1.2.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{\sin (2 \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} π - x)) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (π - x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Étape 4.1.2.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{\sin (2 \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (π - x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Étape 4.1.2.6

Évaluez la limite de $π$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{\sin (2 \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (π - x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Étape 4.1.2.7

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sin (2 \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} π - x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Étape 4.1.2.8

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{\sin (2 \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Étape 4.1.2.9

Évaluez la limite de $π$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{\sin (2 \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) \cdot \sin (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Étape 4.1.2.10

Évaluez les limites en insérant $\frac{π}{2}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 4.1.2.10.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{\sin (2 \cos (π - \frac{π}{2})) \cdot \sin (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Étape 4.1.2.10.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{\sin (2 \cos (π - \frac{π}{2})) \cdot \sin (π - \frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Étape 4.1.2.11

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1.2.11.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sin (2 \cos (π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})) \cdot \sin (π - \frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Étape 4.1.2.11.2

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sin (2 \cos (\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})) \cdot \sin (π - \frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Étape 4.1.2.11.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sin (2 \cos (\frac{π \cdot 2 - π}{2})) \cdot \sin (π - \frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Étape 4.1.2.11.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.11.4.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$\frac{\sin (2 \cos (\frac{2 \cdot π - π}{2})) \cdot \sin (π - \frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Étape 4.1.2.11.4.2

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$\frac{\sin (2 \cos (\frac{π}{2})) \cdot \sin (π - \frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Étape 4.1.2.11.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (π - \frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Étape 4.1.2.11.6

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{\sin (0) \cdot \sin (π - \frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Étape 4.1.2.11.7

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0 \cdot \sin (π - \frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Étape 4.1.2.11.8

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{0 \cdot \sin (π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Étape 4.1.2.11.9

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{0 \cdot \sin (\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Étape 4.1.2.11.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{0 \cdot \sin (\frac{π \cdot 2 - π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Étape 4.1.2.11.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.11.11.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$\frac{0 \cdot \sin (\frac{2 \cdot π - π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Étape 4.1.2.11.11.2

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$\frac{0 \cdot \sin (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Étape 4.1.2.11.12

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$\frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Étape 4.1.2.11.13

Multipliez $0$ par $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Étape 4.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 4.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 4.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}$

Étape 4.1.3.1.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}$

Étape 4.1.3.1.3

Évaluez la limite de $π$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - π}$

Étape 4.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{0}{2 \frac{π}{2} - π}$

Étape 4.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1.3.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0}{2 \frac{π}{2} - π}$

Étape 4.1.3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{0}{π - π}$

Étape 4.1.3.3.2

Soustrayez $π$ de $π$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 4.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 4.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 4.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 4.2

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)}{2 x - π} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 4.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 4.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 \cos (π - x)) \sin (π - x)]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin (2 \cos (π - x))$ et $g (x) = \sin (π - x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \frac{d}{d x} [\sin (π - x)] + \sin (π - x) \frac{d}{d x} [\sin (2 \cos (π - x))]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 4.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = π - x$ .

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Étape 4.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $π - x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [π - x]) + \sin (π - x) \frac{d}{d x} [\sin (2 \cos (π - x))]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 4.3.3.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [π - x]) + \sin (π - x) \frac{d}{d x} [\sin (2 \cos (π - x))]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 4.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $π - x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) (\cos (π - x) \frac{d}{d x} [π - x]) + \sin (π - x) \frac{d}{d x} [\sin (2 \cos (π - x))]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 4.3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $π - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x) (\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- x]) + \sin (π - x) \frac{d}{d x} [\sin (2 \cos (π - x))]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 4.3.5

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + \sin (π - x) \frac{d}{d x} [\sin (2 \cos (π - x))]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 4.3.6

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x) \frac{d}{d x} [- x] + \sin (π - x) \frac{d}{d x} [\sin (2 \cos (π - x))]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 4.3.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x) (- \frac{d}{d x} [x]) + \sin (π - x) \frac{d}{d x} [\sin (2 \cos (π - x))]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 4.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x) (- 1 \cdot 1) + \sin (π - x) \frac{d}{d x} [\sin (2 \cos (π - x))]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 4.3.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x) \cdot - 1 + \sin (π - x) \frac{d}{d x} [\sin (2 \cos (π - x))]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 4.3.10

Déplacez $- 1$ à gauche de $\sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 1 \cdot (\sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x)) + \sin (π - x) \frac{d}{d x} [\sin (2 \cos (π - x))]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 4.3.11

Réécrivez $- 1 \sin (2 \cos (π - x))$ comme $- \sin (2 \cos (π - x))$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x) + \sin (π - x) \frac{d}{d x} [\sin (2 \cos (π - x))]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 4.3.12

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 \cos (π - x)$ .

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Étape 4.3.12.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 \cos (π - x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x) + \sin (π - x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 \cos (π - x)])}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 4.3.12.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x) + \sin (π - x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 \cos (π - x)])}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 4.3.12.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 \cos (π - x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x) + \sin (π - x) (\cos (2 \cos (π - x)) \frac{d}{d x} [2 \cos (π - x)])}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 4.3.13

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \cos (π - x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\cos (π - x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x) + \sin (π - x) \cos (2 \cos (π - x)) (2 \frac{d}{d x} [\cos (π - x)])}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 4.3.14

Déplacez $2$ à gauche de $\sin (π - x) \cos (2 \cos (π - x))$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x) + 2 \cdot (\sin (π - x) \cos (2 \cos (π - x))) \frac{d}{d x} [\cos (π - x)]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 4.3.15

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = π - x$ .

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Étape 4.3.15.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $π - x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x) + 2 \sin (π - x) \cos (2 \cos (π - x)) (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [π - x])}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 4.3.15.2

La dérivée de $\cos (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $- \sin (u_{3})$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x) + 2 \sin (π - x) \cos (2 \cos (π - x)) (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [π - x])}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 4.3.15.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $π - x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x) + 2 \sin (π - x) \cos (2 \cos (π - x)) (- \sin (π - x) \frac{d}{d x} [π - x])}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 4.3.16

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x) - 2 \sin (π - x) \cos (2 \cos (π - x)) (\sin (π - x) \frac{d}{d x} [π - x])}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 4.3.17

Élevez $\sin (π - x)$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x) - 2 (\sin^{1} (π - x) \sin (π - x)) \cos (2 \cos (π - x)) \frac{d}{d x} [π - x]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 4.3.18

Élevez $\sin (π - x)$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x) - 2 (\sin^{1} (π - x) \sin^{1} (π - x)) \cos (2 \cos (π - x)) \frac{d}{d x} [π - x]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 4.3.19

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x) - 2 {\sin (π - x)}^{1 + 1} \cos (2 \cos (π - x)) \frac{d}{d x} [π - x]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 4.3.20

Additionnez $1$ et $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x) - 2 \sin^{2} (π - x) \cos (2 \cos (π - x)) \frac{d}{d x} [π - x]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 4.3.21

Selon la règle de la somme, la dérivée de $π - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x) - 2 \sin^{2} (π - x) \cos (2 \cos (π - x)) (\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 4.3.22

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x) - 2 \sin^{2} (π - x) \cos (2 \cos (π - x)) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 4.3.23

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x) - 2 \sin^{2} (π - x) \cos (2 \cos (π - x)) \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 4.3.24

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x) - 2 \sin^{2} (π - x) \cos (2 \cos (π - x)) (- \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 4.3.25

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x) + 2 \sin^{2} (π - x) \cos (2 \cos (π - x)) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 4.3.26

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x) + 2 \sin^{2} (π - x) \cos (2 \cos (π - x)) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 4.3.27

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (2 \cos (π - x)) \cos (π - x) + 2 \sin^{2} (π - x) \cos (2 \cos (π - x))}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 4.3.28

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (π - x) \sin (2 \cos (π - x)) + 2 \sin^{2} (π - x) \cos (2 \cos (π - x))}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 4.3.29

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - π$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (π - x) \sin (2 \cos (π - x)) + 2 \sin^{2} (π - x) \cos (2 \cos (π - x))}{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Étape 4.3.30

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 4.3.30.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (π - x) \sin (2 \cos (π - x)) + 2 \sin^{2} (π - x) \cos (2 \cos (π - x))}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Étape 4.3.30.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (π - x) \sin (2 \cos (π - x)) + 2 \sin^{2} (π - x) \cos (2 \cos (π - x))}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- π]}$

Étape 4.3.30.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (π - x) \sin (2 \cos (π - x)) + 2 \sin^{2} (π - x) \cos (2 \cos (π - x))}{2 + \frac{d}{d x} [- π]}$

Étape 4.3.31

Comme $- π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- π$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (π - x) \sin (2 \cos (π - x)) + 2 \sin^{2} (π - x) \cos (2 \cos (π - x))}{2 + 0}$

Étape 4.3.32

Additionnez $2$ et $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (π - x) \sin (2 \cos (π - x)) + 2 \sin^{2} (π - x) \cos (2 \cos (π - x))}{2}$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} - \cos (π - x) \sin (2 \cos (π - x)) + 2 \sin^{2} (π - x) \cos (2 \cos (π - x))$

Étape 5.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (π - x) \sin (2 \cos (π - x)) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (π - x) \cos (2 \cos (π - x)))$

Étape 5.3

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (π - x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (2 \cos (π - x)) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (π - x) \cos (2 \cos (π - x)))$

Étape 5.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{2} (- \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} π - x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (2 \cos (π - x)) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (π - x) \cos (2 \cos (π - x)))$

Étape 5.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (2 \cos (π - x)) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (π - x) \cos (2 \cos (π - x)))$

Étape 5.6

Évaluez la limite de $π$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (2 \cos (π - x)) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (π - x) \cos (2 \cos (π - x)))$

Étape 5.7

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{2} (- \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cos (π - x)) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (π - x) \cos (2 \cos (π - x)))$

Étape 5.8

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (π - x)) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (π - x) \cos (2 \cos (π - x)))$

Étape 5.9

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{2} (- \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (2 \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} π - x)) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (π - x) \cos (2 \cos (π - x)))$

Étape 5.10

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (2 \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (π - x) \cos (2 \cos (π - x)))$

Étape 5.11

Évaluez la limite de $π$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (2 \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) + lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (π - x) \cos (2 \cos (π - x)))$

Étape 5.12

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (2 \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) + 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (π - x) \cos (2 \cos (π - x)))$

Étape 5.13

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (2 \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) + 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (π - x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (2 \cos (π - x)))$

Étape 5.14

Déplacez l’exposant $2$ de $\sin^{2} (π - x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{2} (- \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (2 \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) + 2 {(lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (π - x))}^{2} \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (2 \cos (π - x)))$

Étape 5.15

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{2} (- \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (2 \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) + 2 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} π - x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (2 \cos (π - x)))$

Étape 5.16

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (2 \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) + 2 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (2 \cos (π - x)))$

Étape 5.17

Évaluez la limite de $π$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (2 \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) + 2 \sin^{2} (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (2 \cos (π - x)))$

Étape 5.18

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{2} (- \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (2 \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) + 2 \sin^{2} (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cos (π - x)))$

Étape 5.19

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (2 \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) + 2 \sin^{2} (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \cos (2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (π - x)))$

Étape 5.20

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{2} (- \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (2 \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) + 2 \sin^{2} (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \cos (2 \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} π - x)))$

Étape 5.21

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

Étape 5.22

Évaluez la limite de $π$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \sin (2 \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) + 2 \sin^{2} (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \cos (2 \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x)))$

Étape 6

Évaluez les limites en insérant $\frac{π}{2}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (π - \frac{π}{2}) \cdot \sin (2 \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) + 2 \sin^{2} (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \cos (2 \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x)))$

Étape 6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (π - \frac{π}{2}) \cdot \sin (2 \cos (π - \frac{π}{2})) + 2 \sin^{2} (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \cos (2 \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x)))$

Étape 6.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (π - \frac{π}{2}) \cdot \sin (2 \cos (π - \frac{π}{2})) + 2 \sin^{2} (π - \frac{π}{2}) \cdot \cos (2 \cos (π - lim_{x \to \frac{π}{2}} x)))$

Étape 6.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (π - \frac{π}{2}) \cdot \sin (2 \cos (π - \frac{π}{2})) + 2 \sin^{2} (π - \frac{π}{2}) \cdot \cos (2 \cos (π - \frac{π}{2})))$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}) \cdot \sin (2 \cos (π - \frac{π}{2})) + 2 \sin^{2} (π - \frac{π}{2}) \cdot \cos (2 \cos (π - \frac{π}{2})))$

Étape 7.1.2

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}) \cdot \sin (2 \cos (π - \frac{π}{2})) + 2 \sin^{2} (π - \frac{π}{2}) \cdot \cos (2 \cos (π - \frac{π}{2})))$

Étape 7.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} (- \cos (\frac{π \cdot 2 - π}{2}) \cdot \sin (2 \cos (π - \frac{π}{2})) + 2 \sin^{2} (π - \frac{π}{2}) \cdot \cos (2 \cos (π - \frac{π}{2})))$

Étape 7.1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.4.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (\frac{2 \cdot π - π}{2}) \cdot \sin (2 \cos (π - \frac{π}{2})) + 2 \sin^{2} (π - \frac{π}{2}) \cdot \cos (2 \cos (π - \frac{π}{2})))$

Étape 7.1.4.2

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (\frac{π}{2}) \cdot \sin (2 \cos (π - \frac{π}{2})) + 2 \sin^{2} (π - \frac{π}{2}) \cdot \cos (2 \cos (π - \frac{π}{2})))$

Étape 7.1.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{1}{2} (- 0 \cdot \sin (2 \cos (π - \frac{π}{2})) + 2 \sin^{2} (π - \frac{π}{2}) \cdot \cos (2 \cos (π - \frac{π}{2})))$

Étape 7.1.6

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1}{2} (0 \cdot \sin (2 \cos (π - \frac{π}{2})) + 2 \sin^{2} (π - \frac{π}{2}) \cdot \cos (2 \cos (π - \frac{π}{2})))$

Étape 7.1.7

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (0 \cdot \sin (2 \cos (π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})) + 2 \sin^{2} (π - \frac{π}{2}) \cdot \cos (2 \cos (π - \frac{π}{2})))$

Étape 7.1.8

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (0 \cdot \sin (2 \cos (\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})) + 2 \sin^{2} (π - \frac{π}{2}) \cdot \cos (2 \cos (π - \frac{π}{2})))$

Étape 7.1.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} (0 \cdot \sin (2 \cos (\frac{π \cdot 2 - π}{2})) + 2 \sin^{2} (π - \frac{π}{2}) \cdot \cos (2 \cos (π - \frac{π}{2})))$

Étape 7.1.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.10.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$\frac{1}{2} (0 \cdot \sin (2 \cos (\frac{2 \cdot π - π}{2})) + 2 \sin^{2} (π - \frac{π}{2}) \cdot \cos (2 \cos (π - \frac{π}{2})))$

Étape 7.1.10.2

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$\frac{1}{2} (0 \cdot \sin (2 \cos (\frac{π}{2})) + 2 \sin^{2} (π - \frac{π}{2}) \cdot \cos (2 \cos (π - \frac{π}{2})))$

Étape 7.1.11

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{1}{2} (0 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 2 \sin^{2} (π - \frac{π}{2}) \cdot \cos (2 \cos (π - \frac{π}{2})))$

Étape 7.1.12

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{1}{2} (0 \cdot \sin (0) + 2 \sin^{2} (π - \frac{π}{2}) \cdot \cos (2 \cos (π - \frac{π}{2})))$

Étape 7.1.13

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{2} (0 \cdot 0 + 2 \sin^{2} (π - \frac{π}{2}) \cdot \cos (2 \cos (π - \frac{π}{2})))$

Étape 7.1.14

Multipliez $0$ par $0$ .

$\frac{1}{2} (0 + 2 \sin^{2} (π - \frac{π}{2}) \cdot \cos (2 \cos (π - \frac{π}{2})))$

Étape 7.1.15

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (0 + 2 \sin^{2} (π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}) \cdot \cos (2 \cos (π - \frac{π}{2})))$

Étape 7.1.16

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (0 + 2 \sin^{2} (\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}) \cdot \cos (2 \cos (π - \frac{π}{2})))$

Étape 7.1.17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} (0 + 2 \sin^{2} (\frac{π \cdot 2 - π}{2}) \cdot \cos (2 \cos (π - \frac{π}{2})))$

Étape 7.1.18

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.18.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$\frac{1}{2} (0 + 2 \sin^{2} (\frac{2 \cdot π - π}{2}) \cdot \cos (2 \cos (π - \frac{π}{2})))$

Étape 7.1.18.2

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$\frac{1}{2} (0 + 2 \sin^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \cos (2 \cos (π - \frac{π}{2})))$

Étape 7.1.19

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$\frac{1}{2} (0 + 2 \cdot 1^{2} \cdot \cos (2 \cos (π - \frac{π}{2})))$

Étape 7.1.20

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{2} (0 + 2 \cdot 1 \cdot \cos (2 \cos (π - \frac{π}{2})))$

Étape 7.1.21

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (0 + 2 \cdot \cos (2 \cos (π - \frac{π}{2})))$

Étape 7.1.22

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (0 + 2 \cdot \cos (2 \cos (π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})))$

Étape 7.1.23

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (0 + 2 \cdot \cos (2 \cos (\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})))$

Étape 7.1.24

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} (0 + 2 \cdot \cos (2 \cos (\frac{π \cdot 2 - π}{2})))$

Étape 7.1.25

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.25.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$\frac{1}{2} (0 + 2 \cdot \cos (2 \cos (\frac{2 \cdot π - π}{2})))$

Étape 7.1.25.2

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$\frac{1}{2} (0 + 2 \cdot \cos (2 \cos (\frac{π}{2})))$

Étape 7.1.26

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{1}{2} (0 + 2 \cdot \cos (2 \cdot 0))$

Étape 7.1.27

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{1}{2} (0 + 2 \cdot \cos (0))$

Étape 7.1.28

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{2} (0 + 2 \cdot 1)$

Étape 7.1.29

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (0 + 2)$

Étape 7.2

Additionnez $0$ et $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2$

Étape 7.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \cdot 2$

Étape 7.3.2

Réécrivez l’expression.

$1$