Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = - 5 \sec (x)$ , $- \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 \sec (x)$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Étape 1.1.1.2

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$f' (x) = - 5 \sec (x) \tan (x)$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $g (x)$ par rapport à $x$ est $- 5 \sec (x) \tan (x)$ .

$- 5 \sec (x) \tan (x)$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 5 \sec (x) \tan (x) = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 5 \sec (x) \tan (x) = 0$

Étape 1.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\sec (x) = 0$

$\tan (x) = 0$

Étape 1.2.3

Définissez $\sec (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.3.1

Définissez $\sec (x)$ égal à $0$ .

$\sec (x) = 0$

Étape 1.2.3.2

La plage de la sécante est $y \leq - 1$ et $y \geq 1$ . Comme $0$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 1.2.4

Définissez $\tan (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez $\tan (x)$ égal à $0$ .

$\tan (x) = 0$

Étape 1.2.4.2

Résolvez $\tan (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.4.2.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (0)$

Étape 1.2.4.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.2.1

La valeur exacte de $\arctan (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.4.2.3

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + 0$

Étape 1.2.4.2.4

Additionnez $π$ et $0$ .

$x = π$

Étape 1.2.4.2.5

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 1.2.4.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 1.2.4.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 1.2.4.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 1.2.4.2.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 1.2.4.2.6

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = π n, π + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 5 \sec (x) \tan (x) = 0$ vraie.

$x = π n, π + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.2.6

Consolidez les réponses.

$x = π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Définissez l’argument dans $\sec (x)$ égal à $\frac{π}{2} + π n$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.3.2

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

${x | x = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.4

Évaluez $- 5 \sec (x)$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$- 5 \sec (0)$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$- 5 \cdot 1$

Étape 1.4.1.2.2

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$- 5$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = π$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $π$ .

$- 5 \sec (π)$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la sécante est négative dans le deuxième quadrant.

$- 5 (- \sec (0))$

Étape 1.4.2.2.2

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$- 5 (- 1 \cdot 1)$

Étape 1.4.2.2.3

Multipliez $- 5 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 1.4.2.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 5 \cdot - 1$

Étape 1.4.2.2.3.2

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$5$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(0 + 2 π n, - 5), (π + 2 π n, 5)$ , pour tout entier $n$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

$(0, - 5), (π, 5)$

Étape 3

Utilisez le test de la dérivée seconde pour déterminer quels points peuvent être des maximums ou des minimums.

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Étape 3.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 3.1.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 \sec (x) \tan (x)$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = \tan (x)$ .

$- 5 (\sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Étape 3.1.3

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$- 5 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Étape 3.1.4

Multipliez $\sec (x)$ par $\sec^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.4.1

Multipliez $\sec (x)$ par $\sec^{2} (x)$ .

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Étape 3.1.4.1.1

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$- 5 (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Étape 3.1.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 5 ({\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Étape 3.1.4.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Étape 3.1.5

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Étape 3.1.6

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x))$

Étape 3.1.7

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x))$

Étape 3.1.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 5 (\sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x))$

Étape 3.1.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x))$

Étape 3.1.10

Simplifiez

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Étape 3.1.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 5 \sec^{3} (x) - 5 (\tan^{2} (x) \sec (x))$

Étape 3.1.10.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 5 \tan^{2} (x) \sec (x) - 5 \sec^{3} (x)$

Étape 3.2

Remplacez $x$ par $0$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$- 5 \tan^{2} (0) \sec (0) - 5 \sec^{3} (0)$

Étape 3.2.2

Évaluez $\tan (0)$ .

$- 5 \cdot 0^{2} \sec (0) - 5 \sec^{3} (0)$

Étape 3.2.3

Élevez $0$ à la puissance $2$ .

$- 5 \cdot 0 \sec (0) - 5 \sec^{3} (0)$

Étape 3.2.4

Multipliez $- 5$ par $0$ .

$0 \sec (0) - 5 \sec^{3} (0)$

Étape 3.2.5

Évaluez $\sec (0)$ .

$0 \cdot 1 - 5 \sec^{3} (0)$

Étape 3.2.6

Multipliez $0$ par $1$ .

$0 - 5 \sec^{3} (0)$

Étape 3.2.7

Évaluez $\sec (0)$ .

$0 - 5 \cdot 1^{3}$

Étape 3.2.8

Élevez $1$ à la puissance $3$ .

$0 - 5 \cdot 1$

Étape 3.2.9

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$0 - 5$

Étape 3.2.10

Soustrayez $5$ de $0$ .

$- 5$

Étape 3.3

La dérivée seconde étant négative à $0$ , il s'agit d'un maximum.

$0$ est un maximum local

Étape 3.4

Remplacez $x$ par $π$ et simplifiez.

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Étape 3.4.1

Remplacez $x$ par $π$ .

$- 5 \tan^{2} (π) \sec (π) - 5 \sec^{3} (π)$

Étape 3.4.2

Évaluez $\tan (π)$ .

$- 5 {(0)}^{2} \sec (π) - 5 \sec^{3} (π)$

Étape 3.4.3

Élevez $0$ à la puissance $2$ .

$- 5 \cdot 0 \sec (π) - 5 \sec^{3} (π)$

Étape 3.4.4

Multipliez $- 5$ par $0$ .

$0 \sec (π) - 5 \sec^{3} (π)$

Étape 3.4.5

Évaluez $\sec (π)$ .

$0 \cdot - 1 - 5 \sec^{3} (π)$

Étape 3.4.6

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$0 - 5 \sec^{3} (π)$

Étape 3.4.7

Évaluez $\sec (π)$ .

$0 - 5 {(- 1)}^{3}$

Étape 3.4.8

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$0 - 5 \cdot - 1$

Étape 3.4.9

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$0 + 5$

Étape 3.4.10

Additionnez $0$ et $5$ .

$5$

Étape 3.5

La dérivée seconde étant positive à $π$ , il s'agit d'un minimum.

$π$ est un minimum local

Étape 3.6

Lister les extremums locaux

$0$ est un maximum local

$π$ est un minimum local

$0$ est un maximum local

$π$ est un minimum local

Étape 4

Comparez les valeurs $g (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $g (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $g (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(0, - 5)$

Minimum absolu : $(π, 5)$

Étape 5