Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x + 8 \cos (x)$ , $[0, 2 π]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 8 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8 \cos (x)]$

Étape 1.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [8 \cos (x)]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 \cos (x)]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$1 + 8 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.1.1.2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$1 + 8 (- \sin (x))$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$f' (x) = 1 - 8 \sin (x)$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $1 - 8 \sin (x)$ .

$1 - 8 \sin (x)$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $1 - 8 \sin (x) = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$1 - 8 \sin (x) = 0$

Étape 1.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 8 \sin (x) = - 1$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $- 8 \sin (x) = - 1$ par $- 8$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $- 8 \sin (x) = - 1$ par $- 8$ .

$\frac{- 8 \sin (x)}{- 8} = \frac{- 1}{- 8}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 8$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 8 \sin (x)}{- 8} = \frac{- 1}{- 8}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 8}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\sin (x) = \frac{1}{8}$

Étape 1.2.4

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{1}{8})$

Étape 1.2.5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.1

Évaluez $\arcsin (\frac{1}{8})$ .

$x = 0.12532783$

Étape 1.2.6

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = (3.14159265) - 0.12532783$

Étape 1.2.7

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.7.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 3.14159265 - 0.12532783$

Étape 1.2.7.2

Supprimez les parenthèses.

$x = (3.14159265) - 0.12532783$

Étape 1.2.7.3

Soustrayez $0.12532783$ de $3.14159265$ .

$x = 3.01626482$

Étape 1.2.8

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 1.2.8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 1.2.8.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 1.2.8.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 1.2.8.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 1.2.9

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 0.12532783 + 2 π n, 3.01626482 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $x + 8 \cos (x)$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 0.12532783$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $0.12532783$ .

$(0.12532783) + 8 \cos (0.12532783)$

Étape 1.4.1.2

Additionnez $0.12532783$ et $8 \cos (0.12532783)$ .

$8.06258176$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = 0.12532783 + 2 π$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $0.12532783 + 2 π$ .

$(0.12532783 + 2 π) + 8 \cos (0.12532783 + 2 π)$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Additionnez $0.12532783$ et $2 π$ .

$0.12532783 + 2 π + 8 \cos (6.40851313)$

Étape 1.4.2.2.2

Additionnez $0.12532783$ et $2 π$ .

$6.40851313 + 8 \cos (6.40851313)$

Étape 1.4.2.2.3

Additionnez $6.40851313$ et $8 \cos (6.40851313)$ .

$14.34576707$

Étape 1.4.3

Évaluez sur $x = 0.12532783 + 4 π$ .

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Étape 1.4.3.1

Remplacez $x$ par $0.12532783 + 4 π$ .

$(0.12532783 + 4 π) + 8 \cos (0.12532783 + 4 π)$

Étape 1.4.3.2

Simplifiez

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Étape 1.4.3.2.1

Additionnez $0.12532783$ et $4 π$ .

$0.12532783 + 4 π + 8 \cos (12.69169844)$

Étape 1.4.3.2.2

Additionnez $0.12532783$ et $4 π$ .

$12.69169844 + 8 \cos (12.69169844)$

Étape 1.4.3.2.3

Additionnez $12.69169844$ et $8 \cos (12.69169844)$ .

$20.62895237$

Étape 1.4.4

Évaluez sur $x = 0.12532783 + 6 π$ .

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Étape 1.4.4.1

Remplacez $x$ par $0.12532783 + 6 π$ .

$(0.12532783 + 6 π) + 8 \cos (0.12532783 + 6 π)$

Étape 1.4.4.2

Simplifiez

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Étape 1.4.4.2.1

Additionnez $0.12532783$ et $6 π$ .

$0.12532783 + 6 π + 8 \cos (18.97488375)$

Étape 1.4.4.2.2

Additionnez $0.12532783$ et $6 π$ .

$18.97488375 + 8 \cos (18.97488375)$

Étape 1.4.4.2.3

Additionnez $18.97488375$ et $8 \cos (18.97488375)$ .

$26.91213768$

Étape 1.4.5

Évaluez sur $x = 0.12532783 + 8 π$ .

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Étape 1.4.5.1

Remplacez $x$ par $0.12532783 + 8 π$ .

$(0.12532783 + 8 π) + 8 \cos (0.12532783 + 8 π)$

Étape 1.4.5.2

Simplifiez

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Étape 1.4.5.2.1

Additionnez $0.12532783$ et $8 π$ .

$0.12532783 + 8 π + 8 \cos (25.25806905)$

Étape 1.4.5.2.2

Additionnez $0.12532783$ et $8 π$ .

$25.25806905 + 8 \cos (25.25806905)$

Étape 1.4.5.2.3

Additionnez $25.25806905$ et $8 \cos (25.25806905)$ .

$33.19532299$

Étape 1.4.6

Évaluez sur $x = 3.01626482$ .

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Étape 1.4.6.1

Remplacez $x$ par $3.01626482$ .

$(3.01626482) + 8 \cos (3.01626482)$

Étape 1.4.6.2

Additionnez $3.01626482$ et $8 \cos (3.01626482)$ .

$- 4.92098911$

Étape 1.4.7

Évaluez sur $x = 3.01626482 + 2 π$ .

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Étape 1.4.7.1

Remplacez $x$ par $3.01626482 + 2 π$ .

$(3.01626482 + 2 π) + 8 \cos (3.01626482 + 2 π)$

Étape 1.4.7.2

Simplifiez

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Étape 1.4.7.2.1

Additionnez $3.01626482$ et $2 π$ .

$3.01626482 + 2 π + 8 \cos (9.29945012)$

Étape 1.4.7.2.2

Additionnez $3.01626482$ et $2 π$ .

$9.29945012 + 8 \cos (9.29945012)$

Étape 1.4.7.2.3

Additionnez $9.29945012$ et $8 \cos (9.29945012)$ .

$1.36219619$

Étape 1.4.8

Évaluez sur $x = 3.01626482 + 4 π$ .

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Étape 1.4.8.1

Remplacez $x$ par $3.01626482 + 4 π$ .

$(3.01626482 + 4 π) + 8 \cos (3.01626482 + 4 π)$

Étape 1.4.8.2

Simplifiez

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Étape 1.4.8.2.1

Additionnez $3.01626482$ et $4 π$ .

$3.01626482 + 4 π + 8 \cos (15.58263543)$

Étape 1.4.8.2.2

Additionnez $3.01626482$ et $4 π$ .

$15.58263543 + 8 \cos (15.58263543)$

Étape 1.4.8.2.3

Additionnez $15.58263543$ et $8 \cos (15.58263543)$ .

$7.6453815$

Étape 1.4.9

Évaluez sur $x = 3.01626482 + 6 π$ .

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Étape 1.4.9.1

Remplacez $x$ par $3.01626482 + 6 π$ .

$(3.01626482 + 6 π) + 8 \cos (3.01626482 + 6 π)$

Étape 1.4.9.2

Simplifiez

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Étape 1.4.9.2.1

Additionnez $3.01626482$ et $6 π$ .

$3.01626482 + 6 π + 8 \cos (21.86582074)$

Étape 1.4.9.2.2

Additionnez $3.01626482$ et $6 π$ .

$21.86582074 + 8 \cos (21.86582074)$

Étape 1.4.9.2.3

Additionnez $21.86582074$ et $8 \cos (21.86582074)$ .

$13.92856681$

Étape 1.4.10

Évaluez sur $x = 3.01626482 + 8 π$ .

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Étape 1.4.10.1

Remplacez $x$ par $3.01626482 + 8 π$ .

$(3.01626482 + 8 π) + 8 \cos (3.01626482 + 8 π)$

Étape 1.4.10.2

Simplifiez

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Étape 1.4.10.2.1

Additionnez $3.01626482$ et $8 π$ .

$3.01626482 + 8 π + 8 \cos (28.14900605)$

Étape 1.4.10.2.2

Additionnez $3.01626482$ et $8 π$ .

$28.14900605 + 8 \cos (28.14900605)$

Étape 1.4.10.2.3

Additionnez $28.14900605$ et $8 \cos (28.14900605)$ .

$20.21175211$

Étape 1.4.11

Indiquez tous les points.

$(0.12532783, 8.06258176), (0.12532783 + 2 π, 14.34576707), (0.12532783 + 4 π, 20.62895237), (0.12532783 + 6 π, 26.91213768), (0.12532783 + 8 π, 33.19532299), (3.01626482, - 4.92098911), (3.01626482 + 2 π, 1.36219619), (3.01626482 + 4 π, 7.6453815), (3.01626482 + 6 π, 13.92856681), (3.01626482 + 8 π, 20.21175211)$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

$(0.12532783, 8.06258176), (3.01626482, - 4.92098911)$

Étape 3

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 3.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$(0) + 8 \cos (0)$

Étape 3.1.2

Simplifiez

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$0 + 8 \cdot 1$

Étape 3.1.2.1.2

Multipliez $8$ par $1$ .

$0 + 8$

Étape 3.1.2.2

Additionnez $0$ et $8$ .

$8$

Étape 3.2

Évaluez sur $x = 2 π$ .

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Étape 3.2.1

Remplacez $x$ par $2 π$ .

$(2 π) + 8 \cos (2 π)$

Étape 3.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$2 π + 8 \cos (0)$

Étape 3.2.2.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$2 π + 8 \cdot 1$

Étape 3.2.2.3

Multipliez $8$ par $1$ .

$2 π + 8$

Étape 3.3

Indiquez tous les points.

$(0, 8), (2 π, 2 π + 8)$

Étape 4

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(2 π, 2 π + 8)$

Minimum absolu : $(3.01626482, - 4.92098911)$

Étape 5