Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{4} (3 x - 1)$ , $x \leq 3$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{4} (3 x - 1)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [3 x - 1]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Étape 1.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 1.1.1.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 1.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{4} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 1.1.1.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{1}{4} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 1.1.1.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{4} (3 + 0)$

Étape 1.1.1.7

Associez les fractions.

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Étape 1.1.1.7.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 3$

Étape 1.1.1.7.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $3$ .

$f' (x) = \frac{3}{4}$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{3}{4} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{3}{4} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$3 = 0$

Étape 1.2.3

Comme $3 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 1.3

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Aucun point critique n’a été trouvé

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $x = 3$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot (3 (3) - 1)$

Étape 2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.2.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot (9 - 1)$

Étape 2.1.2.1.2

Soustrayez $1$ de $9$ .

$\frac{1}{4} \cdot 8$

Étape 2.1.2.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{1}{4} \cdot (4 (2))$

Étape 2.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 2)$

Étape 2.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$2$

Étape 2.2

Indiquez tous les points.

$(3, 2)$

Étape 3

Comme il n’y a pas de valeur de $x$ qui rende la dérivée première égale à $0$ , il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 4

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(3, 2)$

Aucun minimum absolu

Étape 5