Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 6 x^{5} - 5 x^{6}$ ; $(- \infty, \infty)$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x^{5} - 5 x^{6}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{6}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{6}]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{5}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{6}]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{6}]$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $5$ par $6$ .

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{6}]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x^{6}]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{6}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$30 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$30 x^{4} - 5 (6 x^{5})$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $6$ par $- 5$ .

$30 x^{4} - 30 x^{5}$

Étape 1.1.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 30 x^{5} + 30 x^{4}$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 30 x^{5} + 30 x^{4}$ .

$- 30 x^{5} + 30 x^{4}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 30 x^{5} + 30 x^{4} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 30 x^{5} + 30 x^{4} = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $- 30 x^{4}$ à partir de $- 30 x^{5} + 30 x^{4}$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $- 30 x^{4}$ à partir de $- 30 x^{5}$ .

$- 30 x^{4} x + 30 x^{4} = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $- 30 x^{4}$ à partir de $30 x^{4}$ .

$- 30 x^{4} x - 30 x^{4} \cdot - 1 = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez $- 30 x^{4}$ à partir de $- 30 x^{4} (x) - 30 x^{4} (- 1)$ .

$- 30 x^{4} (x - 1) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{4} = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x^{4}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez $x^{4}$ égal à $0$ .

$x^{4} = 0$

Étape 1.2.4.2

Résolvez $x^{4} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Étape 1.2.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt[4]{0}$ .

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Étape 1.2.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Étape 1.2.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 1.2.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.5

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 1.2.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 30 x^{4} (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 0, 1$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $6 x^{5} - 5 x^{6}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$6 {(0)}^{5} - 5 {(0)}^{6}$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$6 \cdot 0 - 5 {(0)}^{6}$

Étape 1.4.1.2.1.2

Multipliez $6$ par $0$ .

$0 - 5 {(0)}^{6}$

Étape 1.4.1.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 5 \cdot 0$

Étape 1.4.1.2.1.4

Multipliez $- 5$ par $0$ .

$0 + 0$

Étape 1.4.1.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$6 {(1)}^{5} - 5 {(1)}^{6}$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$6 \cdot 1 - 5 {(1)}^{6}$

Étape 1.4.2.2.1.2

Multipliez $6$ par $1$ .

$6 - 5 {(1)}^{6}$

Étape 1.4.2.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$6 - 5 \cdot 1$

Étape 1.4.2.2.1.4

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$6 - 5$

Étape 1.4.2.2.2

Soustrayez $5$ de $6$ .

$1$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(0, 0), (1, 1)$

Étape 2

Utilisez le test de la dérivée afin de déterminer quels points peuvent être des maxima ou des minima.

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Étape 2.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 2.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée première $- 30 x^{5} + 30 x^{4}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 2.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = - 30 {(- 2)}^{5} + 30 {(- 2)}^{4}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $5$ .

$f' (- 2) = - 30 \cdot - 32 + 30 {(- 2)}^{4}$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $- 30$ par $- 32$ .

$f' (- 2) = 960 + 30 {(- 2)}^{4}$

Étape 2.2.2.1.3

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$f' (- 2) = 960 + 30 \cdot 16$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez $30$ par $16$ .

$f' (- 2) = 960 + 480$

Étape 2.2.2.2

Additionnez $960$ et $480$ .

$f' (- 2) = 1440$

Étape 2.2.2.3

La réponse finale est $1440$ .

$1440$

Étape 2.3

Remplacez tout nombre, tel que $0.5$ , de l’intervalle $(0, 1)$ dans la dérivée première $- 30 x^{5} + 30 x^{4}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 2.3.1

Remplacez la variable $x$ par $0.5$ dans l’expression.

$f' (0.5) = - 30 {(0.5)}^{5} + 30 {(0.5)}^{4}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.2.1.1

Élevez $0.5$ à la puissance $5$ .

$f' (0.5) = - 30 \cdot 0.03125 + 30 {(0.5)}^{4}$

Étape 2.3.2.1.2

Multipliez $- 30$ par $0.03125$ .

$f' (0.5) = - 0.9375 + 30 {(0.5)}^{4}$

Étape 2.3.2.1.3

Élevez $0.5$ à la puissance $4$ .

$f' (0.5) = - 0.9375 + 30 \cdot 0.0625$

Étape 2.3.2.1.4

Multipliez $30$ par $0.0625$ .

$f' (0.5) = - 0.9375 + 1.875$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $- 0.9375$ et $1.875$ .

$f' (0.5) = 0.9375$

Étape 2.3.2.3

La réponse finale est $0.9375$ .

$0.9375$

Étape 2.4

Remplacez tout nombre, tel que $4$ , de l’intervalle $(1, \infty)$ dans la dérivée première $- 30 x^{5} + 30 x^{4}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 2.4.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f' (4) = - 30 {(4)}^{5} + 30 {(4)}^{4}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $5$ .

$f' (4) = - 30 \cdot 1024 + 30 {(4)}^{4}$

Étape 2.4.2.1.2

Multipliez $- 30$ par $1024$ .

$f' (4) = - 30720 + 30 {(4)}^{4}$

Étape 2.4.2.1.3

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$f' (4) = - 30720 + 30 \cdot 256$

Étape 2.4.2.1.4

Multipliez $30$ par $256$ .

$f' (4) = - 30720 + 7680$

Étape 2.4.2.2

Additionnez $- 30720$ et $7680$ .

$f' (4) = - 23040$

Étape 2.4.2.3

La réponse finale est $- 23040$ .

$- 23040$

Étape 2.5

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = 0$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 2.6

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = 1$ , $x = 1$ est un maximum local.

$x = 1$ est un maximum local

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(1, 1)$

Aucun minimum absolu

Étape 4