Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sin (x) \cos (x) + 7$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (x) \cos (x) + 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 1.2.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 1.2.4

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 1.2.5

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 1.2.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 1.2.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 1.2.8

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 1.2.9

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 1.2.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 1.2.11

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 1.3

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 0$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Additionnez $- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$ et $0$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

Étape 1.4.2

Remettez dans l’ordre $- \sin^{2} (x)$ et $\cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Étape 1.4.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \cos (x)$ et $b = \sin (x)$ .

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Étape 1.4.4

Développez $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.4.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Étape 1.4.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Étape 1.4.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 1.4.5

Associez les termes opposés dans $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Étape 1.4.5.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $\cos (x) (- \sin (x))$ et $\sin (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 1.4.5.2

Additionnez $- \cos (x) \sin (x)$ et $\cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 1.4.5.3

Additionnez $\cos (x) \cos (x)$ et $0$ .

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 1.4.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.6.1

Multipliez $\cos (x) \cos (x)$ .

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Étape 1.4.6.1.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 1.4.6.1.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 1.4.6.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 1.4.6.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 1.4.6.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)$

Étape 1.4.6.3

Multipliez $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Étape 1.4.6.3.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Étape 1.4.6.3.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Étape 1.4.6.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

Étape 1.4.6.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Étape 1.4.7

Appliquez l’identité d’angle double du cosinus.

$\cos (2 x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x)$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = - \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x)$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$f'' (x) = - \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} x$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Étape 2.2.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\cos (2 x) = 0$

Étape 4

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$2 x = \arccos (0)$

Étape 5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{2}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{2}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 6.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 6.3.2

Multipliez $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 6.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Étape 6.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 7

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 8

Résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Simplifiez

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Étape 8.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 8.1.2

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 8.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 8.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 8.1.5

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Étape 8.2

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{3 π}{2}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 8.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{3 π}{2}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Étape 8.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Étape 8.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 8.2.3.2

Multipliez $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 8.2.3.2.1

Multipliez $\frac{3 π}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Étape 8.2.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 9

La solution de l’équation est $2 x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{π}{4}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 2 \sin (2 (\frac{π}{4}))$

Étape 11

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 11.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- 2 \sin (2 \frac{π}{2 (2)})$

Étape 11.1.2

Annulez le facteur commun.

$- 2 \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Étape 11.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 2 \sin (\frac{π}{2})$

Étape 11.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- 2 \cdot 1$

Étape 11.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2$

Étape 12

$x = \frac{π}{4}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{π}{4}$ est un maximum local

Étape 13

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{π}{4}$ .

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Étape 13.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4}) + 7$

Étape 13.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 13.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.2.1.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{π}{4}) + 7$

Étape 13.2.1.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 7$

Étape 13.2.1.3

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 13.2.1.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 7$

Étape 13.2.1.3.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 7$

Étape 13.2.1.3.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 7$

Étape 13.2.1.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + 7$

Étape 13.2.1.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2} + 7$

Étape 13.2.1.3.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4} + 7$

Étape 13.2.1.4

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 13.2.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + 7$

Étape 13.2.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + 7$

Étape 13.2.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + 7$

Étape 13.2.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.2.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + 7$

Étape 13.2.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2}{4} + 7$

Étape 13.2.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2}{4} + 7$

Étape 13.2.1.5

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 13.2.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 (1)}{4} + 7$

Étape 13.2.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.2.1.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + 7$

Étape 13.2.1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + 7$

Étape 13.2.1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} + 7$

Étape 13.2.2

Pour écrire $7$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} + 7 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 13.2.3

Associez $7$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} + \frac{7 \cdot 2}{2}$

Étape 13.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1 + 7 \cdot 2}{2}$

Étape 13.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.2.5.1

Multipliez $7$ par $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1 + 14}{2}$

Étape 13.2.5.2

Additionnez $1$ et $14$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{15}{2}$

Étape 13.2.6

La réponse finale est $\frac{15}{2}$ .

$y = \frac{15}{2}$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{3 π}{4}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 2 \sin (2 (\frac{3 π}{4}))$

Étape 15

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 15.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- 2 \sin (2 \frac{3 π}{2 (2)})$

Étape 15.1.2

Annulez le facteur commun.

$- 2 \sin (2 \frac{3 π}{2 \cdot 2})$

Étape 15.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 15.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$- 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Étape 15.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- 2 (- 1 \cdot 1)$

Étape 15.4

Multipliez $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 15.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 2 \cdot - 1$

Étape 15.4.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$2$

Étape 16

$x = \frac{3 π}{4}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{3 π}{4}$ est un minimum local

Étape 17

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{3 π}{4}$ .

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Étape 17.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3 π}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{3 π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4}) + 7$

Étape 17.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 17.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.2.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4}) + 7$

Étape 17.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{3 π}{4}) + 7$

Étape 17.2.1.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \cos (\frac{π}{4})) + 7$

Étape 17.2.1.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 7$

Étape 17.2.1.5

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Étape 17.2.1.5.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 7$

Étape 17.2.1.5.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 7$

Étape 17.2.1.5.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 7$

Étape 17.2.1.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + 7$

Étape 17.2.1.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2} + 7$

Étape 17.2.1.5.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4} + 7$

Étape 17.2.1.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 17.2.1.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + 7$

Étape 17.2.1.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + 7$

Étape 17.2.1.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + 7$

Étape 17.2.1.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 17.2.1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + 7$

Étape 17.2.1.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2}{4} + 7$

Étape 17.2.1.6.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2}{4} + 7$

Étape 17.2.1.7

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 17.2.1.7.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2 (1)}{4} + 7$

Étape 17.2.1.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 17.2.1.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + 7$

Étape 17.2.1.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + 7$

Étape 17.2.1.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{1}{2} + 7$

Étape 17.2.2

Pour écrire $7$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{1}{2} + 7 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 17.2.3

Associez $7$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{1}{2} + \frac{7 \cdot 2}{2}$

Étape 17.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{- 1 + 7 \cdot 2}{2}$

Étape 17.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 17.2.5.1

Multipliez $7$ par $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{- 1 + 14}{2}$

Étape 17.2.5.2

Additionnez $- 1$ et $14$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{13}{2}$

Étape 17.2.6

La réponse finale est $\frac{13}{2}$ .

$y = \frac{13}{2}$

Étape 18

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \sin (x) \cos (x) + 7$ .

$(\frac{π}{4}, \frac{15}{2})$ est un maximum local

$(\frac{3 π}{4}, \frac{13}{2})$ est un minimum local

Étape 19